PS

dernière édition : 26 novembre 2019 Notes prises par Téofil Adamski
PHYSIQUE STATISTIQUE
(PS)
Jérôme Crassous
1A maths 2019, ENS de Rennes
Chapitre 1– Espace des phases et postulats 1
1.1Espacedesphases ..................... 1
1.2Postulats de la physique statistique . . . . . . . . . . 2
1.3Fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chapitre 2– Ensemble micro-canonique 6
2.1Ensemble micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2Gaz parfait classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chapitre 3– Ensemble canonique 12
3.1Ensemblecanonique .................... 12
3.2Grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3L’exemple du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chapitre 4– Système de particules en interactions,
approximation de champ moyen 16
4.1Comportement phénoménologique . . . . . . . . . . . 16
4.2Équation d’état de van der Walls .......... 16
4.3Transition liquide-vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chapitre 5– Ensemble grand-canonique 20
5.1Ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2Grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . 21
Chapitre 6– Statistique quantique 23
6.1Fonction de partition quantique . . . . . . . . . . . . . 23
6.2Exemple : molécule diatomique . . . . . . . . . . . . . 24
6.3Indiscernabilité....................... 25
6.4Corps noir, gaz de photon . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chapitre 1
Espace des phases et postulats
1.1Espacedesphases ...................... 1
1.1.1Définition......................... 1
1.1.2Espace de Gibbs .................... 1
1.1.3Micro-état classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2Postulats de la physique statistique . . . . . . . . . . . 2
1.2.1Équiprobabilité ..................... 2
1.2.2Hypothèse ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3Moyennes d’ensemble et temporelles . . . . . . . . 2
1.3Fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1Définition......................... 2
1.3.2Distribution la plus probable . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.3Exemple : distribution de Maxwell-Boltzmann 4
1.3.4Fluctuations autour de l’état le plus probable . . 5
Objets de la physique statistique. Microscopiquement, dans un volume de gaz, on a environ N'6×1023
molécules. Pour prédire l’évolution du système, il va falloir connaître chaque position
−→
ri et chaque quantité de
mouvement −→ pi. On a alors les équations d−→
pi
dt=X
j
−−−−→
Fj→i.
et il y en a beaucoup, ce qui est impossible à résoudre aussi bien analytiquement que numériquement.
Macroscopiquement, on peut considérer, pour ce même volume, la pression P et la température T . Dans ce
cas, on pose de plusieurs milliers de variable à plus que quelques variables. L’objectif est alors de faire le lien
entre le microscopique et le macroscopique.
1.1Espace des phases
1.1.1Définition
Système à deux degrés de liberté. On considère un système régit par x et ˙x . On note px=mx sa
quantité de mouvement. Ces deux quantités sont reliées par l’équation
md ˙x
dt=F=−∂V ∂x .
On peut alors représenter ce système dans le plan (x, ˙x)qui est appelé espace des phases.
Exemple. Pour un oscillateur harmonique, on a
1
2m˙x2+1 2kx2=cte,
donc le portrait de phase est une ellipse.
Cas général. On considère un système ayant N1 atomes. Il a donc 6N degrés de libertés qui sont les
coordonnées rx
i
, ry
i
, rz
i
, px
i
, py
i
et pz
i
pour i∈J1, NK . L’espace de phase est alors la superposition des espaces
(x1,˙x1,), . . ., (xN,˙xN)appelée espace Γ.
1.1.2Espace de Gibbs
On considère N atomes dans un volume V fixé. On isole le système, donc son énergie E est fixé. Comme le
volume est fixé, des zones de l’espace des phases sont interdites. Les points figuratifs (accessible) du système sont
alors dans un sous-espace appelé ensemble de Gibbs.
1.1.3Micro-état classique
On va vouloir discrétiser l’espace des phases. À quel point deux états du système proche dans le temps sont-ils
similaires ? Cependant, en mécanique quantité, il n’est pas possible d’obtenir avec précision la position et la
vitesse. En effet, l’inégalité d’Heisenberg donne ∆x∆px≈h où h= 6 ×10−34 Js est la constante de Planck.
Ainsi, deux points suffisamment proche en position sont, en fait, le même état. On peut alors représenter un
petit volume autour des points correspondant à l’incertitude. Chacun des petits volumes de l’espace des phases
est un micro-état.
Remarques. – On a alors discrétisé l’espace de phase. Dans la suite, on justifiera plus proprement cela.
– La taille du volume de discrétisation est relativement peu important.
Espace des phases et postulats – Chapitre 11

1.2. POSTULATS DE LA PHYSIQUE STATISTIQUE
1.2Postulats de la physique statistique
1.2.1Équiprobabilité
On considère toujours un système à N atomes dans un volume V fixé et possédant une énergie E à ∆E près.
On discrétise alors l’espace des phases en des boîtes de volume h3N . On note Ω(N, V, E, E + ∆E)1 le nombre
de micro-état du système
Postulat 1.1(équiprobabilité). Tous les micro-états d’un système à l’équilibre sont occupés avec la même
probabilité.
1.2.2Hypothèse ergodique
Si on tire plusieurs fois des systèmes, alors ces systèmes rempliront l’espace des phases accessible tout entier.
Si on prend un système et qu’on le laisse dériver, alors il va occuper également l’espace tout entier. L’hypothèse
ergodique dit que ces deux opérations sont équivalentes.
1.2.3Moyennes d’ensemble et temporelles
Soit {−→ ri,−→ pi}={rx
i, px i, ry
i, py i, rz
i, pz i}16i6N
un micro-état. On note ρ({−→ ri,−→ pi}) la probabilité d’occupation de ce
micro-état. Pour un système isolé à l’équilibre, on a ρ({−→ ri,−→ pi})=1/Ω . Soit ϕ({−→ ri,−→ pi}) une quantité. Initialement,
on a des quantités −→ ri(t= 0) et −→ pi(t= 0).
Définition 1.2.On définit la moyenne temporelle de ϕpar
ϕ= lim
T→+∞
1
TˆT
0
ϕ({−→ ri(t),−→ pi(t)}) dt.
On définit la moyenne d’ensemble de ϕpar
hϕi=ˆacc
ϕ({−→ ri,−→ pi})ρ({−→ ri,−→ pi}) dΓ
ˆacc
ϕ({−→ ri,−→ pi}) dΓ
où dΓ est l’élément de volume dans l’espace des phases. si tout les micro-états sont équiprobables, alors
hϕi=1
ΩX
micro-état
ϕ(micro-état).
Propriété 1.3.L’hypothèse ergodique dit que ϕ=hϕi.
1.3Fonction de distribution
1.3.1Définition
On veut s’intéresser au nombre de particule dN tel que la position
−→
r0 et la quantité de mouvement
−→
p sont
telles que
−→
r < −→ r0<d−→ r et
−→
p < −→ p0<−→ p+ d−→ p , i. e. autour de la position (−→ r , −→ p) , on doit avoir dN∝d−→ r·d−→ p et
dN∝N. Finalement, la quantité dNvérifie
dN
N=f(−→
r , −→ p) d−→ r·d−→ p
où f(−→ r , −→ p)est la fonction de distribution. En intégrant sur l’espace, on a
N=ˆdN=ˆNf(−→ r , −→ p) d−→ r·d−→ p , donc ˆf(−→ r , −→ p) d−→ r·d−→ p= 1.
1.3.2Distribution la plus probable
Quelle est la distribution f(−→ r , −→ p)la plus probable sachant l’équiprobabilité dans l’espace des phases ? Pour
cela, on va discrétiser l’espace des phases (−→ r , −→ p) en pleins de cellules. On note M le nombre de cellules. Pour
chaque cellule j∈J1, MK , on note nj le nombre de particule dans le cellules et εj l’énergie d’une particule dans
la cellule. Si l’énergie est purement cinétique, alors εj=1
2m−→
pj2. On a alors
M
X
j=1
nj=Net
M
X
j=1
njεj=E.
2Espace des phases et postulats – Chapitre 1

1.3. FONCTION DE DISTRIBUTION
L’ensemble {nj} est appelé une distribution. On note Ω({nj}) le nombre de dispositions. On considère que les
particules sont discernables. On a alors
Ω({nj}) = N!
n1!(N−n1)!
(N−n1)!
n2!(N−n2)! ··· =N!
Qjnj!.
Cherchons la fonction de distribution la plus probable sachant les contraintes. Pour tout j, on doit avoir
∂
∂nj"ln Ω({nj})−αX
j
nj−βX
j
njεj#= 0.
Le terme
Pjnj
est la manière de traduire la contrainte
Pjnj=N
et le terme α est le multiplicateur de
Lagrange associé à cette contrainte.
Multiplicateur de Lagrange. Soit F(x1, . . . , xN)une fonction de classe C∞. On a
dF=
N
X
i=1
∂F
∂xi
dxi.
On cherche à avoir dF= 0 . On impose une contrainte f(x1, . . . , xN) = c où (x1, . . . , xN) est une solution. Alors
les vecteurs
d−→ r=
N
X
i=1
dxi
−→
xiet −→ n:=
N
X
i=1
∂f
∂xi
−→
xi
sont perpendiculaires, donc d−→ r·−→ n= 0, donc
N
X
i=1
∂f
∂xi
dxi= 0.
Alors pour tout λ, on a
d(F−λf) =
N
X
i=1 Å∂F
∂xi−λ∂f ∂xiãdxi.
Exemple. On suppose que F(x, y) = x2+y2 . On impose la contrainte x+y= 1 . Alors on cherche à minimiser
en imposant
∂[F−λ(1 −x−y)]
∂x = 2x+λ= 0 et ∂[F−λ(1 −x−y)] ∂y = 2y+λ= 0.
On a donc λ=−1, donc x= 1/2et y= 1/2.
La distribution la plus probable vérifie donc, pour tout j,
∂
∂nj"ln N!
Qjnj!−αX
j
nj−N−βX
j
njεj#= 0.(∗)
On a nj1. La formule de Stirling donne ln nj!'njln nj−nj, donc
∂(ln nj!)
∂nj
= ln nj.
La condition (∗)donne, en notant n∗
jla solution la plus probable,
−ln n∗
j−α−βεj= 0,donc n∗ j= exp(−α−βεj).
Remarques. – C’est bien un maximum car
∂(ln Ω)
∂nj
=−ln nj,donc ∂2(ln Ω)
∂n2
j
=−1
nj
<0.
– Les constantes αet βvérifient
N=X
j
e−αe−βεjet E=X
j
e−αεje−βεj.
– On a également δln Ω −αδN−βδE= 0, donc
δln Ω
β−α βδN=δE.
Cette relation ressemble au premier principe dU=δW+δQ=µdN+TdS. En identifiant, on a
µ=−α
βet TdS=δln Ω β.
Espace des phases et postulats – Chapitre 13

1.3. FONCTION DE DISTRIBUTION
Dans la suite, on montrera que S=kBln Ω, donc β= 1/kBTet α=−µ/kBT. Finalement, on a
n∗
j= expŵ−εj
kBTã.
1.3.3Exemple : distribution de Maxwell-Boltzmann
Dans ce modèle, la seule énergie sera l’énergie cinétique, i. e. pour tout j, on a
εj=p2
j
2m=1 2mv2
j.
En notant c=e−α, on a
dN=cexpÅ−βp2
2mã=Nf(−→
r , −→ p) ∆−→ r∆−→ p , donc f(−→ r , −→ p) = c0expÅ−βp2
2mã.
où c0est une constante. La fonction de distribution ne dépend pas de la position. La normalisation donne
¨f(−→
r , −→ p) d−→ rd−→ p= 1,donc c0ˆd−→ rˆexpÅ−βp2
2mãd−→
p= 1.
On a V=´d−→ r. Par ailleurs, on a p2=p2
x+p2 y+p2 zet d−→
p= dpxdpydpz, donc
ˆexpÅ−βp2
2mãd−→
p=Y
i=x,y,z ˆexpÅ−βp2
i
2mãdpi.
En effectuant le changement de variable u=βpi/2m, on a
ˆexpÅ−βp2
i
2mãdpi=ˆ2m βexp(−u2) du=Å2πm βã3/2
.
Finalement, la distribution de Maxwell-Boltzmann est
f(−→ r , −→ p) = 1
VÅβ 2πmã3/2
expÅ−βp2
2mã.
On écrit alors β= 1/kBT.
Relation 1.4(distribution de Maxwell-Boltzmann). On obtient
f(−→ r , −→ p) = 1
V
1
(2πmkBT)3/2expÅ−mv2
2kBTã.
Remarque. – Cette distribution est une distribution à l’équilibre, on n’a pas d’informations sur la manière
dont l’équilibre est atteint.
– On veut calculer la moyenne
≠p2
2m∑=˜f(−→
r , −→ p)p2
2md−→
rd−→ p
˜f(−→
r , −→ p) d−→ rd−→ p
=´expÄ−p2
2mkBTäp2 2md−→
p
´expÄ−p2
2mkBTäd−→
p.
Or d−→ p=p2dpdϕsin θdθ, donc
≠p2
2m∑=´expÄ−p2
2mkBTäp2 2mp2dp×4π
´expÄ−p2
2mkBTäp2dp×4π.
En posant u=p/√2mkBT, on a
≠p2
2m∑=1 2m´e−αp2p4dp
´e−αp2p2dpavec α=1
2mkBT.
En dérivant deux fois la relation ˆe−αp2dp=…π
α
par rapport à α, on obtient
ˆe−αp2p2dp=1
2π1/2α−3/2et ˆe−αp2p4dp=3 4π1/2α−5/2.
On a donc
≠p2
2m∑=1 2m
3
4π1/2α−5/2
1
2π1/2α−3/2=3
2kBT.
4Espace des phases et postulats – Chapitre 1