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Facult´e des Sciences et Techniques Universit´e Paul C´ezanne
Formulaire : D´eriv´ees et primitives usuelles
Lyc´ee Blaise Pascal TSI 1 ann´ee
Fiche : D´ eriv´ ees et primitives des fonctions usuelles
Dans tout le formulaire, les quantit´ees situ´ees au d´enominateur sont suppos´ees non nulles
D´eriv´ees des fonctions usuelles
Dans chaque ligne, f′est la d´eriv´ee de la fonction fsur l’intervalle I.
f(x)I f′(x)
λ(constante) R0
xR1
xn(n∈N∗)Rnxn−1
1
x]−∞,0[ ou ]0,+∞[−1 x2
1
xno`u n∈N, n >2 ]−∞,0[ ou ]0,+∞[−n xn+1
√x]0,+∞[1
2√x
ln x]0,+∞[1
x
exRex
sin xRcos x
cos xR−sin x
tan xi−π
2+kπ, π 2+kπh, k ∈Z1 + tan2x=1 cos2x
Op´erations et d´eriv´ees
(f+g)′=f′+g′(f◦g)′=g′×(f′◦g)
(λf)′=λf′, λ d´esignant une constante (un)′=nun−1u′(n∈N, n >2)
(fg)′=f′g+f g′„1
un«′
=−nu′
un+1 (n∈N, n >1)
„1
g«′
=−g′
g2(eu)′=u′eu
„f
g«=f′g−fg′ g2(ln |u|)′=u′ u
En particulier,si u > 0 : ∀a∈R,(ua)′=αu′ua−1
Primitives des fonctions usuelles
Dans chaque ligne, Fest une primitive de fsur l’intervalle I. Ces primitives sont
uniques `a une constante pr`es not´ee C.
f(x)I F (x)
λ(constante) Rλx +C
xRx2
2+C
xn(n∈N∗)Rxn+1
n+ 1 +C
1
x]−∞,0[ ou ]0,+∞[ ln |x|+C
1
xno`u n∈N, n >2 ]−∞,0[ ou ]0,+∞[−1 (n−1) xn−1+C
1
√x]0,+∞[ 2√x+C
ln xR∗
+xln x−x+C
exRex+C
sin xR−cos x+C
cos xRsin x+C
1 + tan2x=1
cos2xi−π 2+kπ, π 2+kπh, k ∈Ztan x+C
Op´erations et primitives
On suppose que uest une fonction d´erivable sur un intervalle I
•Une primitive de u′unsur Iest un+1
n+ 1 (n∈N∗)
•Une primitive de u′
u2sur Iest −1 u.
•Une primitive de u′
unsur Iest −1 (n−1) un−1.(n∈N, n >2.
•Une primitive de u′
√usur Iest 2√u(En supposant u > 0 sur I.)
•Une primitive de u′
usur Iest ln |u|.
•Une primitive de u′eusur Iest eu.
En particulier, si u > 0 sur Iet si a∈R\ {−1}, une primitive de u′uasur Iest :
Zu′ua=8
<
:
1
a+ 1 ua+1 +Csi a∈R\ {−1}
ln u+Csi a=−1
Module MA109 - Outils math´ematiques 1 Ann´ee 2010/2011