Issac Newton:1642 -1726 MECANIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES Professeur K. Bouabid Filière SMP3, Année 2021/22 Sommaire: I. Les torseurs II. Géométrie des masses III. Cinématique du solide IV. Cinétique du solide V. Théorèmes généraux Galilée:1564 -1642 Chapitre I : Les Torseurs Un torseur est un outil mathématique qui permet de modéliser et de représenter un champ de vecteurs équiprojectifs : champ des vitesses, champ des moments, champs des moments cinétique, champ des moments dynamique… Autrement, c’est un outil mathématique utilisé en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu’ils subissent de la part d’un environnement extérieur. Les prérequis: - Produit scalaire - Produit vectoriel - Produit mixte ▪ Les espaces vectoriel (𝐸) et affine (ℰ) considérés dans ce cours sont des espaces de dimension 3 (sauf mention contraire) ▪ E est représenté dans un repère orthonormé direct R d’origine O de base (𝑥, Ԧ 𝑦, Ԧ 𝑧) Ԧ : R(O,𝒙, 𝒚, 𝒛) I. Applications antisymétriques I.1 Définition 𝑬→𝑬 𝒇 une application de E dans E 𝒂 𝒇 𝒇(𝒂) E est associé à un espace affine ℰ qui a chaque point M de ℰ associe le vecteur 𝒂 (𝑴) appelé champ des vecteurs. (Exemples : Champ des vitesses, champ des accélérations, champ de forces, champ électrique, champ magnétique,…etc.) 𝒇 est aussi une application linéaire : ∀(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )𝝐𝑬𝟐 , 𝜶𝒊 𝝐𝑹 𝒇 𝜶𝟏 𝒂𝟏 + 𝜶𝟐 𝒂𝟐 = 𝜶𝟏 . 𝒇 𝒂𝟏 + 𝜶𝟐 𝒇 𝒂𝟐 𝒇 est antisymétrique si ∀ 𝒂 𝝐 𝑬 et 𝒃 𝝐 𝑬, on a : 𝒃 𝒇 𝒂 = −𝒂 𝒇 𝒃 I.2 Expression analytique d’une fonction linéaire antisymétrique La représentation analytique de l’application f dans la base (𝑥, Ԧ 𝑦, Ԧ 𝑧) Ԧ est une matrice L donnée par : 𝒇 𝒙 𝒇 𝒚 𝒇 𝒛 𝛼11 𝐿 = 𝛼21 𝛼31 𝛼12 𝛼22 𝛼32 𝛼13 𝛼23 𝛼33 Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 𝒇 est antisymétrique ⟹ 𝒙 𝒇 𝒙 = −𝒙 𝒇 𝒙 𝛼11 = −𝛼11 donc 𝛼11 = 0 Donc : 𝜶𝟏𝟏 = 𝜶𝟐𝟐 = 𝜶𝟑𝟑 = 𝟎 De même : 𝑦Ԧ 𝑓 𝑥Ԧ = −𝑥Ԧ 𝑓 𝑦Ԧ ⟺ 𝑦. Ԧ 𝛼11 𝑥Ԧ + 𝛼21 𝑦Ԧ + 𝛼31 𝑧Ԧ = 𝛼21 = −𝑥( Ԧ 𝛼12 𝑥Ԧ + 𝛼22 𝑦Ԧ + 𝛼32 𝑧Ԧ = −𝛼12 𝜶𝟐𝟏 = −𝜶𝟏𝟐 Donc : 𝜶𝒊𝒋 = −𝜶𝒋𝒊 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒊≠𝒋 La matrice d’une application antisymétrique(symétrique) est antisymétrique(symétrique) 0 𝐿 = − 𝛼12 −𝛼13 𝛼12 = −𝑠3 0 −𝛼23 𝛼13 = 𝑠2 𝛼23 = −𝑠1 0 Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 0 = 𝑠3 −𝑠2 −𝑠3 0 𝑠1 𝑠2 −𝑠1 0 Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 𝑓 𝑎Ԧ = 𝑎′ 0 𝑠3 −𝑠2 −𝑠3 0 𝑠1 𝑎1 𝑎3 𝑠2 − 𝑎2 𝑠3 𝑠1 𝑎1 𝑠2 −𝑠1 ൭𝑎2 ൱ = 𝑎1 𝑠3 − 𝑎3 𝑠1 = ቌ𝑠2 ቍ ∧ ቌ𝑎2 ቍ = 𝑹 ∧ 𝒂 = 𝒂′ 𝑎3 𝑎2 𝑠1 − 𝑎1 𝑠2 𝑠3 𝑎3 0 Avec 𝑅 = 𝑠1 𝑥Ԧ + 𝑠2 𝑦Ԧ + 𝑠3 𝑧Ԧ est par définition le vecteur de l’application antisymétrique 𝒇. On montre que 𝑅 est unique . On peut déterminer 𝑅 par la relation : 𝑅 = 1Τ2 (σ31 𝑥𝑖 ∧ 𝑓(𝑥𝑖 ) I.3 Champ équiprojectif Soit 𝒂(𝑴) et 𝒂(𝑷) les vecteurs champ aux points M et P de l’espace affine ℰ. Par définition le champ est dit équiprojectif s’il existe une application antisymétrique 𝒇 telle que : 𝒂 𝑴 = 𝒂 𝑷 + 𝒇 𝑷𝑴 = 𝒂 𝑷 + 𝑹 ∧ 𝑷𝑴 On dit que 𝑹 est le vecteur du champ équiprojectif ou antisymétrique. Champ antisymétrique ⟺ Champ équiprojectif Démonstration : 𝑃𝑀. 𝑎Ԧ 𝑀 = 𝑃𝑀. 𝑎Ԧ 𝑃 + 𝑅 ∧ 𝑃𝑀 = 𝑃𝑀. 𝑎Ԧ 𝑃 + 𝑃𝑀. 𝑅 ∧ 𝑃𝑀 = 𝑃𝑀. 𝑎Ԧ 𝑃 𝑎Ԧ 𝑀 et 𝑎(𝑃) Ԧ ont la même projection sur la direction 𝑃𝑀. ((𝑎Ԧ 𝑀 - 𝑎(𝑃)) Ԧ ⊥ 𝑀𝑃) 𝑷𝑴. 𝒂 𝑴 = 𝑷𝑴. 𝒂 𝑷 Propriété d’équiprojectivité II. Torseurs Un torseur est un champ de vecteurs équiprojectifs. II.1 Définition et propriétés des torseurs On appelle torseur 𝒯 en un point O l’ensemble d’un champ antisymétrique ou moment 𝑴(𝑶) et de son vecteur ou résultante 𝑹 appelés éléments de réduction de 𝒯 en O; noté comme suit: 𝒯𝑂 = 𝑅 𝑀(𝑂) ou 𝒯 = 𝑅, 𝑀(𝑂) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, La connaissance de 𝑹 et de 𝑴 en un point de (ℰ) permet de déterminer le torseur 𝒯 en tout point P (x, y, z) de l’espace. 𝒯𝑃 = 𝑅 𝑴 𝑷 = 𝑴 𝑶 + 𝑹 ∧ 𝑶𝑷 Relation de Varignon ou de transport des moments Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 𝑥 𝐿 Expression analytique de 𝒯dans (𝑥, Ԧ 𝑦, Ԧ 𝑧) Ԧ : 𝑅 = ቌ𝑦 , 𝑀 𝑂 = ቌ𝑀 𝑧 𝑁 𝒙 𝑳 𝑒𝑡 𝒯 = ቐ𝒚 𝑴ቑ 𝒛 𝑵 (𝒙,𝒚,𝒛) Exemple de torseurs : 𝜔 ▪ Torseur cinématique d’un solide (S) dans (ℰ) :𝒯𝑣 (𝐴) = 𝑣(𝐴) Ԧ ▪ Torseur cinétique d’un solide (S) dans (ℰ):𝒯𝑐 (𝐴) = 𝜎Ԧ est le moment cinétique du système. 𝑎Ԧ ▪ Torseur dynamique :𝒯𝑑 (𝐴) = Ԧ 𝛿(𝐴) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 𝛿Ԧ est le moment dynamique du système. 𝐹Ԧ ▪ Torseur force :𝒯𝐹 (𝐴) = 𝑀(𝐴) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 𝑀(𝐴) est le moment de la force 𝐹Ԧ au point A. 𝑃 𝜎(𝐴) Ԧ Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, II.2 Propriétés des torseurs i. Torseur nul: Un torseur 𝒯est nul si son vecteur 𝑅 = 𝑂 et il existe un point P de l’espace où 𝑀 𝑃 = 0. ii. Egalité de deux torseurs: 𝑅1 Soit 𝒯1 (𝑂) = 𝑀1 (𝑂) 𝑅2 et 𝒯2 (𝑂) = 𝑀2 (𝑂) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, deux torseurs 𝒯1 et 𝒯2 sont égaux si et Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, seulement si, 𝑅1 = 𝑅2 et il existe un point de l’espace P où 𝑀1 𝑃 = 𝑀2 𝑃 . iii. Somme de deux torseurs: 𝒯(𝑂) = 𝒯1 (𝑂) + 𝒯2 (𝑂) = 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑀 𝑂 = 𝑀1 𝑂 + 𝑀2 (𝑂) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, iv. Multiplication par un scalaire: Soit 𝒯(𝑂) = 𝑅, 𝑀(𝑂) un torseur, pour 𝒯 ′ (𝑂) = 𝜆𝒯 = 𝜆𝑅, 𝜆𝑀(𝑂) avec 𝜆 un scalaire . 𝒯 ′ est aussi un torseur Donc l’ensemble des torseurs est un espace vectoriel de dimension 6. 𝑅 𝑅 v. Invariants scalaires 𝕴: 𝒯(𝑃) = et, 𝒯(𝑄) = 𝑀(𝑃) 𝑀(𝑄) ℑ =𝑅. 𝑀 𝑄 = 𝑅. 𝑀 𝑃 + 𝑅 ∧ 𝑃𝑄 = 𝑅. 𝑀 𝑃 + 𝑅. 𝑅 ∧ 𝑃𝑄 = 𝑅. 𝑀 𝑃 = ℑ′ ℑ = ℑ′ . 𝕴 est indépendant du choix du point P, c’est l’invariant scalaire du torseur. Donc : De même : 𝑃𝑄. 𝑀 𝑄 = 𝑃𝑄. 𝑀 𝑃 + 𝑅 ∧ 𝑃𝑄 = 𝑃𝑄. 𝑀 𝑃 =Cst Equiprojectivité vi. Invariant vectoriel: ▪ Si 𝑅 ≠ 0 l’invariant vectoriel est la projection orthogonale du moment sur 𝑅 𝐼𝑣 = (𝑀 𝑃 . 𝑢)𝑢=(𝑀 𝑃 . 𝑅 𝑅 ) 𝑅 𝑅 = 𝑅.𝑀(𝑃) 𝑅 2 𝐼𝑣 = 𝑅= ℑ 𝑅 ℑ 𝑅 2𝑅 2 𝑅 = 𝐶𝑠𝑡 𝐼𝑣 est invariant car ℑ et 𝑅 sont invariant. ▪ Si 𝑅 = 0, 𝑀 𝑃 = 𝑀 𝑄 On dit que le champ de vecteur est uniforme ∀ P et Q. vii. Produit de deux torseurs (comoment) 𝑅1 Soit 𝒯1 (𝑃) = 𝑀1 (𝑃) 𝑅2 et 𝒯2 (𝑃) = 𝑀2 (𝑃) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, deux torseurs définis au même point (P). Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, Le produit de ces deux torseurs noté 𝓟 𝑜𝑢 (𝒯1 , 𝒯2 ) ou 𝒯1 ⋇ 𝒯2 est défini par le scalaire : 𝒫 𝑃 = 𝑅1 . 𝑀2 𝑃 + 𝑅2 . 𝑀1 𝑃 = 𝑅1 . 𝑀2 𝑂 + 𝑅2 ∧ 𝑂𝑃 + 𝑅2 . 𝑀1 𝑂 + 𝑅1 ∧ 𝑂𝑃 = 𝑅1 . 𝑀2 𝑂 + 𝑅1 . 𝑅2 ∧ 𝑂𝑃 + 𝑅2 . 𝑀1 𝑂 + 𝑅2 . 𝑅1 ∧ 𝑂𝑃 = 𝑅1 . 𝑀2 𝑂 + 𝑅2 . 𝑀1 𝑂 = 𝒫 𝑂 Le comoment 𝓟 est indépendant du choix du point où on le calcule, c’est un invariant scalaire. Exemples : 𝑝Ԧ 𝜔 1. Energie cinétique d’un solide S: 2𝑬𝒄 = 𝒯𝑐𝑖𝑛é𝑚𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 , 𝒯𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑣(𝑃) . = 𝑣. Ԧ 𝑝Ԧ + 𝜎. Ԧ 𝜔 Ԧ 𝜎(𝑃) Ԧ 2. Puissance des forces : 𝑷 𝑺/ℰ = 𝒯𝑐𝑖𝑛é𝑚𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 , 𝒯𝐹 = 𝑣. Ԧ 𝐹Ԧ + 𝑀. 𝜔 vii. Dérivée d’un torseur 𝒯= 𝑅 𝑀(𝑂) 𝒯= et au point O’ 𝑅 𝑀(𝑂′) 𝑑𝑀(𝑂′) 𝑑[𝑀 𝑂 + 𝑅 ∧ 𝑂𝑂′ ] 𝑑𝑀 𝑂 𝑑𝑅 = = + ∧ 𝑂𝑂′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Donc la dérivée temporelle d’un torseur est un champ antisymétrique, donc torseur, de coordonnées au point O: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑑𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑀(𝑂) 𝑑𝑡 viii. Axe central d’un torseur Soit 𝒯 un torseur d’éléments de réduction en O 𝑅, 𝑀(𝑂) avec 𝑅 ≠ 0 et ℑ ≠0 L’axe central D de 𝒯 est l’ensemble des points P où 𝑅 et 𝑀(𝑃) sont colinéaires : 𝑴 𝑷 ⇈ 𝑹 ⟺ 𝑴 𝑷 = 𝝀𝑹 avec 𝝀 une constante de ℝ . D’après la relation de transport : 𝑀 𝑃 = 𝑀 𝑂 + 𝑅 ∧ 𝑂𝑃 = 𝜆𝑅 𝑂𝑃 ∧ 𝑅 = 𝑀 𝑂 − 𝜆𝑅 (1) En multipliant scalairement l’équation (1) par 𝑅, on obtient : 𝑅. 𝑂𝑃 ∧ 𝑅 = 𝑅. 𝑀 𝑂 − 𝜆𝑅 𝝀= 𝑹.𝑴 𝑶 𝑹𝟐 = 𝕴 𝑹𝟐 ⇒𝑴 𝑷 = 𝑹.𝑴 𝑶 𝑹𝟐 𝑹 𝝀 ∶ 𝒑𝒂𝒔 𝐝𝐮 𝐭𝐨𝐫𝐬𝐞𝐮𝐫 Pour 𝑅 ⊥ 𝑀 𝑂 on peut trouver une solution à l’équation (1). Solution particulière 𝑶𝑷𝟎 de l’équation (1) avec 𝑂𝑃0 ⊥ 𝑅 obtenue en multipliant vectoriellement (1) par 𝑅 : 𝑅 ∧ 𝑂𝑃0 ∧ 𝑅 = 𝑅 ∧ 𝑀 𝑂 − 𝜆𝑅 𝑅. 𝑅 𝑂𝑃0 − 𝑅. 𝑂𝑃0 𝑅 = 𝑅 ∧ 𝑀 𝑂 Ainsi : 𝑹∧𝑴 𝑶 𝑶𝑷𝟎 = 𝑹𝟐 Solution générale 𝑶𝑷 de l’équation (1): 𝑂𝑃 ∧ 𝑅 = 𝑂𝑃0 ∧ 𝑅 ⟺ 𝑂𝑃 − 𝑂𝑃0 ∧ 𝑅 = 0 Donc : 𝑂𝑃 − 𝑂𝑃0 = 𝛼𝑅 , 𝛼 constante de proportionnalité ∈ ℝ. Ainsi : 𝑶𝑷 = 𝑶𝑷𝟎 + 𝜶𝑹 = 𝑹∧𝑴 𝑶 𝑹𝟐 + 𝜶𝑹 aR équation vectorielle de l′ axe central avec : 𝜶 = 𝑹.𝑶𝑷 𝑹𝟐 III. Torseurs particuliers 1. Torseur Glisseur a- Définition d’un glisseur Un glisseur G est un torseur dont le moment en un point A est nul : 𝐺 𝐴 = 𝑅 0 ∀𝑃 , 𝑀 𝑃 = 𝑀 𝐴 + 𝑅 ∧ 𝐴𝑃 = 𝑅 ∧ 𝐴𝑃 ▪ Si en plus 𝑅 = 0, le glisseur 𝐺 est le torseur nul. ▪ Si 𝑅 ≠ 0, l’ensemble des points A où 𝑀 𝐴 est nul est la droite de l’axe central △ passant par A et parallèle à 𝑅 . Si P∉△, 𝑀 𝑃 = 𝑅 ∧ 𝐴𝑃 ⟹ 𝑀 𝑃 ⊥ au plan contenant ∆ 𝑒𝑡𝑃 et est proportionnel à la distance de P à △. - Le champ de vecteurs est invariant par rotation par rapport à △. - Il est invariant par translation parallèle à △. Remarques : - L’invariant scalaire (ℑ ) d’un glisseur est nul. - Si un torseur de vecteur 𝑅 a un moment nul en A, ce torseur est le glisseur associé au vecteur lié (A, 𝑅). Exemples de torseur glisseur : ❖ Torseur des vitesses d’un solide en rotation autour d’un point (O) ou d’une droite (D), fixes, est un glisseur dont l’axe central passe par O et D respectivement. Ԧ Ԧ et d’axe central ❖ Torseur d’une force 𝐹appliquée en un point A est le glisseur de vecteur (A, 𝐹) le support de cette force. Si B est un autre point tel que AB soit parallèle à 𝐹Ԧ en A et B ont même valeur 𝐹Ԧ est même support, donc le même glisseur comme torseur. b- Cas de champ de vecteurs glissants i. Vecteur glissant Soit un vecteur glissant (𝐴, 𝑉), 𝐴 et 𝑉 définissent une droite (𝐷). 𝑀 𝐴 = 𝐴𝐴 ∧ 𝑉 = 0 Le moment de 𝑉en un point P est : 𝑀 𝑃 = 𝑃𝐴 ∧ 𝑉 Moment en un point M différent de P est: 𝑀 𝑀 = 𝑀𝐴 ∧ 𝑉 = 𝑀𝑃 ∧ 𝑉 + 𝑃𝐴 ∧ 𝑉 = 𝑀 𝑃 + 𝑃𝐴 ∧ 𝑉 Donc le champ d’un vecteur glissant est antisymétrique, donc c’est un torseur qui est glisseur. ii. Ensemble de vecteurs glissants De façon générale, pour un ensemble de vecteurs glissants ((𝐴𝑖 , 𝑉𝑖 ) les éléments de réduction de ce champ de vecteurs sont : • La résultante : 𝑛 𝑅 = 𝑉𝑖 • Le moment en un point Q : 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑀 𝑄 = 𝑄𝐴𝑖 ∧ 𝑉𝑖 = 𝑄𝑃 ∧ 𝑉𝑖 + 𝑃𝐴𝑖 ∧ 𝑉𝑖 = 𝑀 𝑃 + 𝑄𝑃 ∧ 𝑉𝑖 = 𝑀 𝑃 + 𝑄𝑃 ∧ 𝑅 1 1 1 1 𝑀 étant antisymétrique ⟹ le système de vecteurs glissants est un torseur 𝑀 étant antisymétrique ⟹ le système de vecteurs glissants est un torseur Cas de torseur à répartition continue 𝒯un torseur défini sur un domaine (D) relative à une mesure élémentaire (ex : dx sur un intervalle [a,b]). Ses éléments de réductions sont définis par: avec 𝐹Ԧ 𝑥 une fonction vectorielle continue sur ce segment. Le champ 𝑀 en un point arbitraire P est défini par: 𝑏 𝑅 = න 𝐹Ԧ 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝒯𝐹 (𝑃) = 𝑏 𝑀 𝑃 = න 𝑃𝑀(𝑥) ∧ 𝐹Ԧ 𝑥 𝑑𝑥) 𝑎 Avec M(x) le point d’abscisse M(x) sur [a,b]. 𝑅 En un point Q on aura: 𝑀 𝑄 = 𝑏 𝑃𝑄 𝑎 𝑏 𝐹 𝑎Ԧ 𝑏 )𝑥(𝑀𝑄 𝑎 ∧ 𝐹Ԧ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑏 + 𝑃𝑀 𝑥 ∧ 𝐹Ԧ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑄𝑃 ∧ 𝐹 𝑎Ԧ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹 ∧ )𝑥(𝑀𝑃 𝑎Ԧ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑀 𝑃 + 𝑥 𝑑𝑥 ∧ 𝑃𝑄 Donc on montre que ce champ de vecteurs 𝑀 est un torseur de vecteur 𝑅 = 𝑏 𝐹 𝑎Ԧ 𝑥 𝑑𝑥 2. Torseur couple Un torseur est un couple si son vecteur 𝑅 = 0 , noté 𝐶. Ainsi, pour deux points P et Q quelconques de ℰ , on aura: 𝑀 𝑄 = 𝑀 𝑃 = 𝐶𝑠𝑡 Les couples sont donc des champs uniformes et réciproquement. C’es le cas de toutes les actions mécaniques en rotation par rapport à un axe ; roue, moteur… 0 𝐶 = 𝑀(𝑂) Ԧ 𝑧) Ԧ (𝑥,𝑦, 0 𝐿 = ቐ0 𝑀ቑ 0 𝑁 𝑭 −𝑭 Exemples: ❑ Le torseur des vitesses d’un solide en mouvement de translation est un couple ❑ Le torseur d’un système de forces dont la somme est nulle. Cas de deux forces concentrées opposées 𝐹Ԧ et –𝐹Ԧ appliquées en deux points A et B (origine de la terminologie couple). 3. Décomposition d’un torseur Un torseur peut être un glisseur, un couple ou les deux à la fois, en fonction des valeurs de ses éléments de réduction 𝑅 et 𝑀 𝑂 et de son invariant scalaire ℑ. • Cas où ℑ = 0 : i. Si 𝑅 = 0 et 𝑀 𝑂 = 0 torseur nul. ii. Si 𝑅 ≠ 0 et 𝑀 𝑂 = 0 , c’est un glisseur de vecteur associé (𝑂, 𝑅). iii. Si 𝑅 = 0 et 𝑀 𝑂 ≠ 0 le torseur est un couple. iv. Si 𝑅 ≠ 0 et 𝑀 𝑂 ≠ 0 avec 𝑅 ⊥ 𝑀 𝑂 . S’il existe un point M de l’espace où le moment est nul dans ce cas le torseur est un glisseur de vecteur glissant (𝑀, 𝑅) 𝑀 𝑂 = 𝑂𝑀 ∧ 𝑅 • Cas où ℑ ≠ 0: Le torseur (𝑅, 𝑀 𝑂 ) n’est ni glisseur ni couple mais peut être décomposé comme la somme d’un glisseur 𝑅, 0 𝑒𝑛 𝑂 et d’un couple 0, 𝑀 𝑂 en O tous deux différents du torseur nul. Représentation géométrique d’un torseur q1 q2 q3 𝑩 q4
