PREPAsup

Enseignant chargé du cours:DJEKOURBOUA Janvier
Tél:23566583370
Email:[email protected]
Il ne faut pas beaucoup d'esprit pour ce qu'on soit mais il en faut innement pour enseigner ce qu'on ignore.
* Prépa Concours Sup*
Préliminaire: Analyse
π
2
Z
In =
cosn xdx
(1)
0
a) Calculer I0 , I1
b) Exprimer In en fonction de n et In−2
c) En utilisant la question (b), calculer I2p+1 et I2p en fonction de p.
Jn =
n
X
1
k=1 k(k + 1)(k + 2)
a) Déterminer les réels a, b, c tels que :
1
k(k+1)(k+2)
(2)
=
a
k
+
b
k+1
+
c
k+2
b) En déduire l'expression de Jn en fonction de n.
n
Y
ωn =
(ekx )
(3)
k=0
a) Calculer ω0 , ω1 , ω2 et ω3
b) En déduire une expression de ωn en foction de n.
Sn =
n X
n
X
(
i=0
i
)
k=i k + 1
(4)
1
dx
(1 + x2 )n
(5)
Simplier l'expression de Sn
fn (x) =
Z 1
0
Calculer f0 , f1 et f2
Pn (x) = (1 + x)n =
n
X
k=0
1
Cnk xk
(6)
a) En utilisant Pn (x) démontrer que
Pn
k=1
kCnk = n2n−1
b) Même question nk=2 k(k − 1)Cnk = n(n − 1)2n−2 . En déduire la forme
′
la plus simple de P (x)
P
n Z 1
X
φn =
(−x)k dx
(7)
k=0 0
Démontrer que limn→+∞ φn = ln2
f (x) =
ex
1 + E(x)
(8)
Déterminer le domaine de dénition de f (x)
f (x) =
1 + x2
x + E(x)
(9)
Déterminer le domaine de dénition de f (x)
1
Pn (x) =
2n n!
D(n) (x2 − 1)n
(10)
Pn (x) est le polynôme de Legendre. D(n) représente la dérivée d'ordre
n. Caluler P0 (x), P1 (x), P2 (x) et P3 (x)
q
Un+1 =
Un − 1
(11)
On note : U0 = 26 le prémier terme de (Un ).
Vérier est ce que (Un ) est bien dénie.
Un =
n
X
1
k=0 p!
(12)
a) Montrer par récurrence que : ∀p ≥ 1 ,
1
p!
≤
1
2p−1
b) En déduire que la suite (Un ) est majorée par 3 et en déduire qu'elle
converge vers une limite l.
n
X
p
n
X
k=1
k=1
ak = (
ak ) p
(13)
Que pensez-vous de cette rélation?
Sn =
2n
X
2k cos(
k=0
2
kπ
)
2
(14)
En separant les termes de la somme suivant la parité de k, calculer:
a) Sn en fonction de n.
b) En déduire limn−→+∞ Sn .
Sn =
n
X
(−1)k k, Tn =
k=1
n
X
1
ln(1 + )
k
k=1
(15)
Simplier Sn et Tn puis en déduire leur limite lorsque n est plus grand.
zn+2 = zn+1 +
n
zn
(16)
∀nϵIN ∗ on donne les termes z1 = 1 et z2 = 2
a) Montrer que la suite (zn ) est bien dénie.
b) Caculer les six prémiers termes de la suite (zn ).
c) Conjecturer alors une expression de (zn ) en fonction de n.
d) Démontrer cette conjecture.
vn =
n
X
(−1)p
p=0 p + 1
(17)
a) Calculer vn+2 − vn .
b) Montrer que les deux suites extraites (v2n )nϵIN (v2n+1 )nϵIN sont adjascentes.
c) En déduire que la suite (vn ) est convergente.
P (t) = (f (x)t + g(x))2
On pose:
h(t) =
Z
(18)
P (t)
a) Montrer que:
h(t) =
Z
2 2
(f (x)) t + 2
Z
(f (x)g(x))t +
Z
g(x)2
b) Démontrer que:
Z
(f (x)g(x))2 ≤
Z
2 Z
f (x)
3
2
g(x)
In =
a) Calculer:
I0 , I1
et
Z 1
xn ln(1 + x2 )dx
(19)
0
I2 .
b) Montrer que:
lim In = 0.
n−→+∞
c) Soit c
ϵ
]0,1[ on note:
An =
Z c
0
xn ln(1 + x2 )dx, Bn =
Z 1
xn ln(1 + x2 )dx
c
d) Montrer que:
An
=0
n−→+∞ Bn
lim
g(x) = (1 + x)n
En utilisant la forme de g(x), montrer que :
n
X
Cnk
2n+1 − 1
=
n+1
k=0 k + 1
4
(20)