Fonctions polynômes : Études de degré et analyse

Études de fonctions polynômes de degré
I - Fonctions de références
1) Les fonctions affines
1
1
p
O
1
m
A
y=mx +p
Il s’agit des fonctions définies sur Rpar : x7−→ mx +p
-p= 0, fonction dite linéaire (ex, f(x) = −3x)
-m= 0, fonction dite constante (ex, f(x)=3,∀x∈R)
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine
f:x7−→ mx +pest une droite. On dit que cette droite a pour
équation y=mx +pet que mest son coefficient directeur, pson
ordonnée à l’origine.
∗Cas fonction linéaire x7−→ mx, droite d’équation y=mx passe par l’origine du repère. L’image
∗f(x)et xsont proportionnels (coefficient égal à m).
∗Cas fonction constante, droite d’équation y=pparallèle à l’axe des abscisses. ∀x, f(x) = p.
Propriété
Si fest une fonction affine définie par f(x) = mx +p, alors, ∀uet vtels que u̸=v,f(u)−f(v)
u−v=m.
Ce rapport est appelé taux de variation de fentre uet v.
Réciproque : Si fest une fonction définie sur Rtelle que les réels f(u)−f(v)
u−v, où u̸=v, sont tous
égaux à un réel m. Alors fest la fonction affine définie par f(x) = mx +f(0).
2) La fonction carrée
−3−2−1 1 2 3
1
2
3
4Il s’agit de la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x) = x2
La courbe représentative graphique de fadmet l’axe des ordon-
nées pour axe de symétrie.
La courbe représentative de fs’appelle une parabole.
x
f
−∞ 0+∞
00
3) La fonction inverse
−8−4 4 8
−8
−4
4
8Il s’agit de fonction gdéfinie sur R\{0}par : g(x) = 1
x
La courbe représentative graphique de gadmet l’origine du re-
père pour axe de symétrie.
La courbe représentative de gs’appelle une hyperbole.
x
g
−∞ 0+∞

4) La fonction valeur absolue
Il s’agit de la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x) = |x|(distance entre xet 0)
Propriété
∀x∈]− ∞; 0] :f(x) = |x|=−x
fest strictement décroissante sur ]− ∞; 0] ∀x∈[0; +∞[:f(x) = |x|=x fest strictement croissante sur [0; +∞[
−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
5) La fonction racine carrée
Il s’agit de la fonction définie sur [0; +∞[par : f(x) = √x
Définition
Soit xun nombre positif ou nul. √xest le
nombre positif ou nul dont le carré est égal
àx.
Conséquence
∀x≥0⇒√x≥0
Propriété
a, b deux réels strictement positif
√a×b=√a×√b√a2=|a|qa
b=√a
√b√a+b̸=√a+√b
Courbe représentative de la fonction racine carré.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
4

II - Variations d’une fonction
1) Définitions
Définition
123456789
1
2
3
4
5
6
Cf
f(a)
a
f(b)
b
La fonction fest croissante sur lsignifie que : ∀
réels aet b∈l, si a≤b, alors f(a)≤f(b)
Les nombres f(a)et f(b)sont rangés dans le
même ordre que aet b: on dit que fconserve
l’ordre. lest ici un intervalle.
123456789
1
2
3
4
5
6
f(b)
b
f(a)
a
La fonction fest décroissante sur lsignifie que :
∀réels aet b∈l, si a≤b, alors f(a)≥f(b)
Les nombres f(a)et f(b)sont rangés dans l’ordre
contraire de aet b: on dit que fchange d’ordre.
Méthode
Utiliser les variations d’une fonction
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction fdéfinie sur [−10; 1]
x
Variation
de f
−10 −30 1
−6−6
44
−1−1
22
1. Soient aet bdeux réels tels que : 3≤a < b ≤10. Comparer f(−a)et f(−b).
On sait que 3≤a < b ≤10. Donc, en multipliant par −1chaque membre, on obtient :
−3≥ −a > −b≥ −10. Or, la fonction fest strictement croissante sur [−10; −3]. Donc :
f(−a)> f(−b).
2. Soit aun réel tel que : −1≤a≤0. Encadrer f(a2).
On sait que : −1≤a≤0. Or, la fonction carrée est décroissante sur [−1; 0]. Donc : 1≥a2≥0.
Or, la fonction fest croissante sur [0,1]. Donc : f(1) ≥f(a2)≥f(0) soit : 2≥f(a2)≥ −1.
3. Soient aet bdeux réels tels que : 0≤a≤b≤1. Peut-on à l’aide de ce tableau de variation,
comparer f(2√a−1) et f(2√b−1) ? Justifier la réponse.
On sait que : 0≤a≤b≤1. Or, la fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[
Donc : 0≤√a≤√b≤1
D’où, en multipliant par 2et en soustrayant 1dans chaque membre : −1≤2√a−1≤2√b−1≤1

2) Extrema d’une fonction
Définition
Le maximum (respectivement minimum) d’une fonction f, sur un intervalle donné, est la plus grande
valeur (respectivement plus petite) valeur prise par fsur cet intervalle.
g
1
1
f(b)min
b
f(a)max
a
Soit aet bdeux réels de l’intervalle l.
1. fadmet un maximum en asur lsignifie que ∀Rx∈l,
f(x)≤f(a).
2. fadmet un minimum en bsur lsignifie que ∀Rx∈l,
f(x)≥f(b).
III - Signe d’une fonction
1) Graphiquement
Application
−2−1 1 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
f(x)
g(x)
f(x)×g(x)
−∞ −2−1012+∞
−0+0−0+
+0−0+0−
−0+0−0+0−
2) Algébriquement
Application
Soit fla fonction définie sur Rpar : f(x) = −5(−3x−4)(10x+ 13).
Étudier le signe de l’expression f(x)sur R.

1. On détermine le signe de chacun des facteurs du produit
On résout :
−3x−4=0
⇔x=−4
3
−3x−4≥0
⇔x≤ −4
3
−3x−4≤0
⇔x≥ −4
3
On résout :
10x+ 13 = 0
⇔x=−13
10
10x+ 13 ≥0
⇔x≥ −13
10
10x= 13 ≤0
⇔x≤ −13
10
2. On résume ces résultats dans un tableau de signes
x
−3x−4
10x+ 13
−5
f(x)
−∞ −4
3−13 10 +∞
+0−
−0+
−
+0−0+
IV - Fonction trinômes du second degré
Dans la suite du chapitre, fdésigne une fonction polynôme de degré 2définie sur Rpar : f(x) =
ax2+bx +coù a, b et csont des nombres réels avec a̸= 0.
On note ∆le discriminant de ce trinôme : ∆ = b2−4ac
1) Variation et courbe représentative
Propriété : ADMISE
La courbe représentative de fest une parabole, que l’on peut noter P. Démonstration Sésamath p85.
Si a > 0
Pest "orientée vers le haut"
SSommet de
la parabole
y
x
f−b
2a
Axe de
la parabole
−b
2a
P:y=f(x)
O I
J
x
f(x) =
ax2+bx +c
−∞ −b
2a+∞
f−b
2a
f−b
2a
Si a < 0
Pest "orientée vers le bas"
SSommet de
la parabole
y
x
f−b
2a
Axe de
la parabole
−b
2a
P:y=f(x)
O I
J
x
f(x) =
ax2+bx +c
−∞ −b
2a+∞
f−b
2a
f−b
2a