Mathématiques Etudes de fonctions polynômes de degré 2

Études de fonctions polynômes de degré
I - Fonctions de références
1) Les fonctions affines
A
p
m
1
1
O
y = mx + p
1
Il s’agit des fonctions définies sur R par : x 7−→ mx + p
- p = 0, fonction dite linéaire (ex, f (x) = −3x)
- m = 0, fonction dite constante (ex, f (x) = 3, ∀x ∈ R)
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine
f : x 7−→ mx + p est une droite. On dit que cette droite a pour
équation y = mx + p et que m est son coefficient directeur, p son
ordonnée à l’origine.
∗ Cas fonction linéaire x 7−→ mx, droite d’équation y = mx passe par l’origine du repère. L’image
∗ f (x) et x sont proportionnels (coefficient égal à m).
∗ Cas fonction constante, droite d’équation y = p parallèle à l’axe des abscisses. ∀x, f (x) = p.
Propriété
Si f est une fonction affine définie par f (x) = mx + p, alors, ∀u et v tels que u ̸= v,
Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v.
f (u)−f (v)
u−v
= m.
(v)
Réciproque : Si f est une fonction définie sur R telle que les réels f (u)−f
, où u ̸= v, sont tous
u−v
égaux à un réel m. Alors f est la fonction affine définie par f (x) = mx + f (0).
2) La fonction carrée
4
Il s’agit de la fonction f définie sur R par : f (x) = x2
La courbe représentative graphique de f admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
La courbe représentative de f s’appelle une parabole.
3
2
x
−∞
0
+∞
1
f
−3
−2
−1
1
2
0
3
3) La fonction inverse
8
Il s’agit de fonction g définie sur R\{0} par : g(x) = x1
La courbe représentative graphique de g admet l’origine du repère pour axe de symétrie.
La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.
4
−8
−4
4
8
x
−4
g
−8
−∞
0
+∞
4) La fonction valeur absolue
Il s’agit de la fonction f définie sur R par : f (x) = |x| (distance entre x et 0)
Propriété
∀x ∈] − ∞; 0] : f (x) = |x| = −x
f est strictement décroissante sur ] − ∞; 0]
∀x ∈ [0; +∞[ : f (x) = |x| = x
f est strictement croissante sur [0; +∞[
6
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
5) La fonction racine carrée
Il s’agit de la fonction définie sur [0; +∞[ par : f (x) =
√
x
Conséquence
Définition
√
Soit x un nombre positif ou nul. x est le
nombre positif ou nul dont le carré est égal
à x.
∀x ≥ 0 ⇒
√
x≥0
Propriété
a, b deux réels strictement positif
√
a×b=
√
a×
√
√
b
q
a2 = |a|
a
b
=
√
√
√a
b
a + b ̸=
√
a+
√
b
Courbe représentative de la fonction racine carré.
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
II - Variations d’une fonction
1) Définitions
Définition
6
6
5
5
4
Cf
f (b)
4
3
2
f (a)
3
f (a)
2
1
f (b)
1
a
1
2
3
4
a
b
5
6
7
8
9
1
2
3
b
4
5
6
7
8
9
La fonction f est décroissante sur l signifie que :
La fonction f est croissante sur l signifie que : ∀ ∀ réels a et b ∈ l, si a ≤ b, alors f (a) ≥ f (b)
Les nombres f (a) et f (b) sont rangés dans l’ordre
réels a et b ∈ l, si a ≤ b, alors f (a) ≤ f (b)
Les nombres f (a) et f (b) sont rangés dans le contraire de a et b : on dit que f change d’ordre.
même ordre que a et b : on dit que f conserve
l’ordre. l est ici un intervalle.
Méthode
Utiliser les variations d’une fonction
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction f définie sur [−10; 1]
x
−10
−3
0
4
1
2
Variation
de f
−6
−1
1. Soient a et b deux réels tels que : 3 ≤ a < b ≤ 10. Comparer f (−a) et f (−b).
On sait que 3 ≤ a < b ≤ 10. Donc, en multipliant par −1 chaque membre, on obtient :
−3 ≥ −a > −b ≥ −10. Or, la fonction f est strictement croissante sur [−10; −3]. Donc :
f (−a) > f (−b).
2. Soit a un réel tel que : −1 ≤ a ≤ 0. Encadrer f (a2 ).
On sait que : −1 ≤ a ≤ 0. Or, la fonction carrée est décroissante sur [−1; 0]. Donc : 1 ≥ a2 ≥ 0.
Or, la fonction f est croissante sur [0, 1]. Donc : f (1) ≥ f (a2 ) ≥ f (0) soit : 2 ≥ f (a2 ) ≥ −1.
3. Soient a et b deux réels tels √
que : 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. Peut-on à l’aide de ce tableau de variation,
√
comparer f (2 a − 1) et f (2 b − 1) ? Justifier la réponse.
On sait que : 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. Or, la fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[
√
√
Donc : 0 ≤ a ≤ b ≤ 1
√
√
D’où, en multipliant par 2 et en soustrayant 1 dans chaque membre : −1 ≤ 2 a−1 ≤ 2 b−1 ≤ 1
2) Extrema d’une fonction
Définition
Le maximum (respectivement minimum) d’une fonction f , sur un intervalle donné, est la plus grande
valeur (respectivement plus petite) valeur prise par f sur cet intervalle.
g
Soit a et b deux réels de l’intervalle l.
f (a) max
1. f admet un maximum en a sur l signifie que ∀Rx ∈ l,
f (x) ≤ f (a).
2. f admet un minimum en b sur l signifie que ∀Rx ∈ l,
f (x) ≥ f (b).
1
a
1
b
f (b) min
III - Signe d’une fonction
1) Graphiquement
Application
4
3
2
1
−2
−1
1
2
−1
−2
−3
−4
x
−∞
f (x)
−2
−1
−
0
−
0
g(x)
+
0
f (x)×g(x)
−
0
+
0
+
+∞
1
2
0
+
0
+
0
−
−
0
0
−
0
−
2) Algébriquement
Application
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = −5(−3x − 4)(10x + 13).
Étudier le signe de l’expression f (x) sur R.
+
1. On détermine le signe de chacun des facteurs du produit
On résout :
On résout :
−3x − 4 = 0
−3x − 4 ≥ 0
−3x − 4 ≤ 0
10x + 13 = 0
10x + 13 ≥ 0
10x = 13 ≤ 0
⇔ x = − 43
⇔ x ≤ − 43
⇔ x ≥ − 34
⇔ x = − 13
10
⇔ x ≥ − 13
10
⇔ x ≤ − 13
10
2. On résume ces résultats dans un tableau de signes
−∞
x
−3x − 4
− 43
− 13
10
0
−
−
0
+
0
+
+
10x + 13
+∞
−
−5
f (x)
+
0
−
IV - Fonction trinômes du second degré
Dans la suite du chapitre, f désigne une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par : f (x) =
ax2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels avec a ̸= 0.
On note ∆ le discriminant de ce trinôme : ∆ = b2 − 4ac
1) Variation et courbe représentative
Propriété : ADMISE
La courbe représentative de f est une parabole, que l’on peut noter P. Démonstration Sésamath p85.
Si a > 0
P est "orientée vers le haut"
Si a < 0
P est "orientée vers le bas"
y
y
b
f − 2a
S Sommet de
la parabole
J
P : y = f (x)
Axe de
la parabole
O
I−
x
b
2a
P : y = f (x)
b
f − 2a
O
x
−∞
Axe de
la parabole
S Sommet de
la parabole
J
I−
x
b
2a
b
− 2a
+∞
x
−∞
b
− 2a
f (x) =
2
ax + bx + c
b
f − 2a
f (x) =
2
ax + bx + c
b
f − 2a
+∞
2) Signe d’une fonction trinôme
Propriété
CAS : ∆ > 0
On peut utiliser la forme factorisée ; ∀x ∈ R, f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
Supposons que : x1 < x2
x1
x2
x
−∞
+∞
x − x1
−
x − x2
0
+
−
0
+
(x − x1 )(x − x2 )
+
0
−
0
+
a
signe de a −+
0
signe de a −+
0
signe de a −+
Signe de f (x)
signe de a −+
0 signe de − a +− 0
signe de a −+
Conclusion : Le trinôme f (x) est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de −a ou contraire
de a à l’intérieur des racines.
CAS : ∆ = 0
b
∀x ∈ R, f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 avec x0 = − 2a
Puisqu’un carré est toujours positif, on obtient alors :
x0
−∞
x
Signe de f (x)
signe de a
0
+∞
signe de a
Conclusion : Le trinôme f (x) est du signe de a ∀x ̸= x0
CAS : ∆ < 0
−∞
x
f ne s’annule pas sur R
x0
Signe de f (x)
signe de a
Conclusion : Le trinôme f (x) est du signe de a ∀x ∈ R
Application
CAS : ∆ > 0
1. Etudier le signe de f (x) = −x2 − 4x + 5 sur R
On a : f (1) = −12 − 4 × 1 + 5
=0
1 est une racine évidente.
D’après une relation de Viète, en notant x1 et x2 les deux racines, on a :
x1 × x2 =
c
a
⇔ 1 × x2 =
⇔ x2 = −5
5
−1
+∞
Donc −5 et 1 sont les racines de f .
D’après ce qui précède : −x2 − 4x + 5 = −1(x + 5)(x − 1)
Le trinôme f est du signe de a = −1 (< 0) à l’extérieur des racines et du signe de −a à l’intérieur
des racines.
On en déduit :
−∞
x
−5
−
−x2 − 4x + 5
0
+∞
1
+
−
0
CAS : ∆ = 0
2. Résoudre l’inéquation : −2x + 6x −
9
2
>0
On note ∆ le discriminant de ce trinôme
∆ = 62 − 4 × (−2) × (− 92 )
= 36 − 36
=0
b
On calcule : x0 = − 2a
3
2
6
=
= − 2×(−2)
Le trinôme est du signe de a = −2 (< 0) ∀x ̸=
3
2
On en déduit :
−2x2 + 6x −
3
2
−∞
x
9
2
−
Les solutions de l’inéquation −2x2 + 6x −
égalité est vraie.
9
2
0
+∞
−
> 0 sont les nombres réels x pour lesquels cette
D’après le tableau de signe, en notant S l’ensemble des solutions, on a : S = {∅}
CAS : ∆ < 0
3. Résoudre l’inéquation : 3x2 −
√
2x + 4 > 0
On note ∆ le discriminant de ce trinôme
√
∆ = (− 2)2 − 4 × 3 × 4
= 2 − 48
= −46
∆ < 0 donc le trinôme est du signe de a = 3 (> 0) ∀x ∈ R
On en déduit :
3
2
−∞
x
−2x2 + 6x −
9
2
+∞
+
En notant S l’ensemble des solutions, alors : S =] − ∞; +∞[ ou S = R
4. Résoudre l’inéquation 1 +
x
x−6
< 3x − 1 (i)
(a) On détermine le domaine de résolution. On résout dans R\{6}
(b) On transforme l’inéquation (i) jusqu’à observer la forme
signe.
x
− 3x + 1 < 0
(i) ⇔ 1 + x−6
x
⇔ x−6 − 3x + 2 < 0
⇔
⇔
⇔
⇔
3x(x−6)
2(x−6)
x
x−6 − x−6 + x−6
x−3x(x−6)+2(x−6)
<0
x−6
x−3x2 +18x+2x−12
<0
x−6
2
−3x +21x−12
<0
x−6
···
···
< 0 pour réaliser le tableau de
<0
(c) On étudie les signes des numérateurs et dénominateurs.
Numérateur : On note ∆ le discriminant
∆ = 212 − 4 × (−3) × (−12)
= 297
∆ > 0, alors le trinôme admet deux solutions
x1 =
x1 =
√
−21− 297
2×(−3)
√
7+ 33
2
x2 =
x2 =
√
−21+ 297
2×(−3)
√
7− 33
2
Ce trinôme est de signe a = −3 (> 0) à l’extérieur des racines.
Dénominateur : On résout
x−6=0
⇔x=6
x−6≥0
⇔x≥6
x−6≤0
⇔x≤6
(d) On résume ces résultats dans un tableau de signes.
x
Numérateur
−∞
−
Dénominateur
Quotient
+
√
7− 33
2
6
√
7+ 33
2
0
+
0
−
0
+
−
0
√
+
√
On note S l’ensemble des solutions : S =] 7−2 33 ; 6[∪] 7+2 33 ; +∞[
0
+∞
−
−
Factorisation
Aucune racine réelle
Représentation : parabole
a(x − x0 )2
Aucune
factorisation
dans R
√
−b+ ∆
2a
Signe de ax2 + bx + c
a(x − x1 )(x − x2 )
Une racine
b
x0 = − 2a
x2 =
Deux racines
√ :
∆
x1 = −b−
2a
Nombre de racines
Valeur des racines
aa
∆ > 0 aai
∆ = 0 ai
∆ < 0 ai