Etudier la courbe paramétrée par x(t) = t2 + 2 t, y(t) = (t + 1 t

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Etudier la courbe paramétrée par
x(t) = t2+2
t, y(t) = t+1 t2
.
Domaine de définition
Les fonctions xet yne sont pas définies en 0. On a donc D=R∗.
Dérivées
On a
x′(t) = 2 t3−1
t2et y′(t) = 2 t+1 tt2−1 t2.
La fonction x′s’annule en 1, et y′en −1et 1.
On a donc un point singulier en t= 1.
Point singulier
On effectue les développements limités de xet de yà l’ordre 3 au voisinage de 1. Posons h=t−1.
Alors
x(t) = (1 + h)2+2
1 + h= 1 + 2h+h2+ 2(1 −h+h2−h3) + ◦(h3) = 3 + 3h2−2h3+◦(h3),
et
y(t) = 1 + h+1
1 + h2
= (2 + h2−h3+◦(h3))2= 4 + 4h2−4h3+◦(h3).
On a alors −−→
OM(t) = −−→ OM(1) + h2−→ U2+h3−→ U3+◦(h3),
où −→
U2= 3−→ ı+ 4−→ et −→ U3=−2−→ ı−4−→  .
Comme les vecteurs −→ U2et −→ U3ne sont pas colinéaires, on obtient un point de rebroussement de
première espèce de coordonnées (3,4). Le coefficient directeur de la tangente vaut 4/3.
Intersection avec 0y
L’abscisse xs’annule en t=−3
√2et l’ordonnée vaut alors
y(t) = 3
√4 + 2 + 1
3
√4≈4,22 .

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Tableau de variation
t
x′
x
y
y′
y′/x′
−∞ −1 0 1 +∞
q
q~
>
~
>
~
>
0− − − +
−+−+0 0
0 4/3
+∞
−1
−∞
+∞
3
+∞
+∞
4
+∞+∞
4
+∞
Asymptote
Lorsque ttend vers l’infini, l’abscisse xet l’ordonnée ytendent vers +∞. En écrivant
y(t) = t2+ 2 + 1
t2,
on a immédiatement
y(t)−x(t) = 2 −2
t+1 t2,
et ceci tend vers 2. La courbe admet comme asymptote la droite d’équation
y=x+ 2 .
Pour étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote, on étudie le signe de
y(t)−x(t)−2 = 1
t2−2 t=1−2t t2.
Cette expression est positive lorsque tappartient à l’intervalle
I1= ] −∞,1/2 [ ,

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et la courbe est au-dessus de l’asymptote si tappartient à I1. Elle est en dessous dans le cas
contraire.
La courbe coupe l’asymptote si t= 1/2, au point de coordonnées (17/4,25/4).
Parabole asymptote
Lorsque ttend vers 0, l’abscisse xet l’ordonnée ytendent vers l’infini. On peut éliminer les
termes en 1/t2. En effet
x(t)2=4
t2+ 4t+t4,
donc
4y(t)−x(t)2= 8 −4t+ 4t2−t4,
et cette expression tend vers 8. La courbe admet une parabole asymptote d’équation
y=x2
4+ 2 .
Pour étudier la position de la courbe par rapport à cette parabole, on étudie le signe de
y(t)−x(t)2
4−2 = −t 4(t3−4t+ 4) .
L’étude des variations de la fonction qui à tassocie t3−4t+ 4 montre qu’elle s’annule une seule
fois, pour une valeur αcomprise entre −3et −2. La courbe est à l’intérieur de la parabole lorsque
tappartient à l’intervalle
I2= ] α, 0 [ .
Point d’inflexion
On a
x′(t) = 2t−2
t2et y′(t) = 2t−2 t3,
puis
x′′ (t) = 2 + 4
t3et y′′(t) = 2 + 6 t4,
et l’on en déduit
x′(t)y′′ (t)−y′(t)x′′ (t) = −43t4−4t3+ 1
t6.
On doit retrouver le point de rebroussement, donc t−1se met en facteur et
x′(t)y′′ (t)−y′(t)x′′ (t) = −4(t−1)2(3t2+ 2t+ 1)
t6.
On n’obtient aucun point d’inflexion.

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Point double
On considère le système
t2
1+2
t1
=t2
2+2
t2
t1+1
t12
=t2+1
t22,
avec t1différent de t2.
En regroupant tous les termes dans le membre de gauche et en réduisant au même dénominateur,
on peut simplifier par t1−t2, et le système devient
(t1+t2)t1t2−2 = 0
(t1t2−1)(t1t2+ 1) = 0 .
Si l’on pose
S=t1+t2et P=t1t2,
les nombres t1et t2sont racines du trinôme T(X) = X2−SX +P.
On peut exprimer le système en fonction de Set P.
SP −2 = 0
S(P−1)(P+ 1) = 0 .
On ne peut avoir S= 0. Lorsque P= 1, on trouve S= 2 et le trinôme
T(X) = X2−SX +P=X2−2X+ 1
a une racine double qui vaut 1. On retrouve le point singulier.
Lorsque P=−1, on trouve S=−2et le trinôme
T(X) = X2−SX +P=X2+ 2X−1
a un discriminant positif et admet donc des racines réelles. On peut obtenir les valeurs de xet
ysans calculer ces racines. Si test une de ces racines, on a
t2=−2t+ 1 ,
donc
t3=−2t2+t= 5t−2.
Alors
x(t) = t3+ 2
t= 5 ,

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et
y(t) = t2+ 1
t2
=(−2t+ 2)2
t2= 4 t2−2t+ 1 t2= 4 2t2 t2= 8 .
Le point double a donc pour coordonnées (5,8).