Etudier la courbe paramétrée par x(t) = t2 + 2 t, y(t) = (t + 1 t

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Etudier la courbe paramétrée par
x(t) = t2 +
2
t
,
y(t) =
t+
1
t
2
.
Domaine de définition
Les fonctions x et y ne sont pas définies en 0. On a donc D = R∗ .
Dérivées
On a
t3 − 1
et y ′ (t) = 2
x (t) = 2
t2
La fonction x′ s’annule en 1, et y ′ en −1 et 1.
′
1
t+
t
t2 − 1
.
t2
On a donc un point singulier en t = 1.
Point singulier
On effectue les développements limités de x et de y à l’ordre 3 au voisinage de 1. Posons h = t−1.
Alors
2
= 1 + 2h + h2 + 2(1 − h + h2 − h3 ) + ◦(h3 ) = 3 + 3h2 − 2h3 + ◦(h3 ) ,
x(t) = (1 + h)2 +
1+h
et
2
1
= (2 + h2 − h3 + ◦(h3 ))2 = 4 + 4h2 − 4h3 + ◦(h3 ) .
y(t) = 1 + h +
1+h
On a alors
−−→
−−→
−
→
−
→
OM (t) = OM (1) + h2 U2 + h3 U3 + ◦(h3 ) ,
où
−
→
−
→
→
→
→
→
U2 = 3−
ı + 4−
 et U3 = −2−
ı − 4−
 .
−
→
−
→
Comme les vecteurs U2 et U3 ne sont pas colinéaires, on obtient un point de rebroussement de
première espèce de coordonnées (3, 4). Le coefficient directeur de la tangente vaut 4/3.
Intersection avec 0y
√
L’abscisse x s’annule en t = − 3 2 et l’ordonnée vaut alors
√
1
3
≈ 4, 22 .
y(t) = 4 + 2 + √
3
4
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Tableau de variation
t
−∞
x′
0
−1
−
1
−
0
−
+∞
+∞
+
+∞
+∞
>
q
x
−1
~
q
3
−∞
+∞
+∞
+∞
+∞
>
>
y
~
~
4
y′
−
y ′ /x′
0
4
+
−
0
0
+
4/3
Asymptote
Lorsque t tend vers l’infini, l’abscisse x et l’ordonnée y tendent vers +∞. En écrivant
y(t) = t2 + 2 +
1
,
t2
on a immédiatement
2
1
+ 2,
t
t
et ceci tend vers 2. La courbe admet comme asymptote la droite d’équation
y(t) − x(t) = 2 −
y = x + 2.
Pour étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote, on étudie le signe de
y(t) − x(t) − 2 =
1
2
1 − 2t
− =
.
2
t
t
t2
Cette expression est positive lorsque t appartient à l’intervalle
I1 = ] −∞, 1/2 [ ,
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et la courbe est au-dessus de l’asymptote si t appartient à I1 . Elle est en dessous dans le cas
contraire.
La courbe coupe l’asymptote si t = 1/2, au point de coordonnées (17/4, 25/4).
Parabole asymptote
Lorsque t tend vers 0, l’abscisse x et l’ordonnée y tendent vers l’infini. On peut éliminer les
termes en 1/t2 . En effet
4
x(t)2 = 2 + 4t + t4 ,
t
donc
4y(t) − x(t)2 = 8 − 4t + 4t2 − t4 ,
et cette expression tend vers 8. La courbe admet une parabole asymptote d’équation
y=
x2
+ 2.
4
Pour étudier la position de la courbe par rapport à cette parabole, on étudie le signe de
y(t) −
x(t)2
t
− 2 = − (t3 − 4t + 4) .
4
4
L’étude des variations de la fonction qui à t associe t3 − 4t + 4 montre qu’elle s’annule une seule
fois, pour une valeur α comprise entre −3 et −2. La courbe est à l’intérieur de la parabole lorsque
t appartient à l’intervalle
I2 = ] α, 0 [ .
Point d’inflexion
On a
x′ (t) = 2t −
2
t2
et y ′ (t) = 2t −
2
,
t3
x′′ (t) = 2 +
4
t3
et y ′′ (t) = 2 +
6
,
t4
puis
et l’on en déduit
3t4 − 4t3 + 1
.
t6
On doit retrouver le point de rebroussement, donc t − 1 se met en facteur et
x′ (t)y ′′ (t) − y ′ (t)x′′ (t) = −4
x′ (t)y ′′ (t) − y ′ (t)x′′ (t) = −4
On n’obtient aucun point d’inflexion.
(t − 1)2 (3t2 + 2t + 1)
.
t6
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Point double
On considère le système

2
2


= t22 +
t21 +


t
t

1
2
avec t1 différent de t2 .
2 2 ,


1
1


= t2 +
 t1 +
t1
t2
En regroupant tous les termes dans le membre de gauche et en réduisant au même dénominateur,
on peut simplifier par t1 − t2 , et le système devient
(t1 + t2 )t1 t2 − 2 = 0
.
(t1 t2 − 1)(t1 t2 + 1) = 0
Si l’on pose
S = t1 + t2
et P = t1 t2 ,
les nombres t1 et t2 sont racines du trinôme T (X) = X 2 − SX + P .
On peut exprimer le système en fonction de S et P .
SP − 2 = 0
.
S(P − 1)(P + 1) = 0
On ne peut avoir S = 0. Lorsque P = 1, on trouve S = 2 et le trinôme
T (X) = X 2 − SX + P = X 2 − 2X + 1
a une racine double qui vaut 1. On retrouve le point singulier.
Lorsque P = −1, on trouve S = −2 et le trinôme
T (X) = X 2 − SX + P = X 2 + 2X − 1
a un discriminant positif et admet donc des racines réelles. On peut obtenir les valeurs de x et
y sans calculer ces racines. Si t est une de ces racines, on a
t2 = −2t + 1 ,
donc
t3 = −2t2 + t = 5t − 2 .
Alors
x(t) =
t3 + 2
= 5,
t
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et
y(t) =
t2 + 1
t
2
=
(−2t + 2)2
t2 − 2t + 1
2t2
=
4
=
4
= 8.
t2
t2
t2
Le point double a donc pour coordonnées (5, 8).
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Tracé de la courbe
6
2
-