SEQ2 3 3 Résumé3 arguments et formes trigonométriques.

Séquence 2
Nombres complexes (point de vue géométrique) Résumé 3Arguments et
formes trigonométriques d’un
nombre complexe
Tale maths expertes
2022/2023
Le plan complexe sera muni d’un repère orthonormé direct (O ; ܝ
ሬ
ሬ
⃗
,ܞ
ሬ
⃗
)
1. Définition et conséquences.
Soit un point M d’affixe z = a + i b (z non nul)
Soit une mesure en radians de l’angle orienté ሺܝ
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ሬ
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Ǣ۽ۻ
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)
෣. [on écrit = (u
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;OM
ሬ
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ሬ
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⃗
) ]
On note OM = r où r>0.
En fait, M a pour coordonnées polaires [ …. …….; …………].
ou encore M a pour coordonnées (………… ;……. …..) dans (O ; u
ሬ
⃗
,v
ሬ
⃗
) ainsi OM
ሬ
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ሬ
ሬ
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⃗
= ………… . . u
ሬ
⃗
+ …………..v
ሬ
⃗
Alors z = ………………+ i …………………..
z0, z = r (cos ()+ i sin ()) : c’est une forme trigonométrique de z.
r = | |
zet est un argument de z
On note : arg(z) = = (u
ሬ
⃗
;OM
ሬ
ሬ
ሬ
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ሬ
ሬ
⃗
) ou encore arg(z) = + 2k où k est élément de ℤ.
Exemples : arg (5) = …..
arg (-1,2) = …..
arg (i) = …..
arg ( - 2i ) = …..
arg (1+i) = ….. (Lecture graphique)
arg (1
2+ i 3 2) = ……
arg (- 2
2+ i 2 2) = …..
Construction : Placer M1(z1) et M2(z2) dans le plan complexe,
avec z1=3
2൭܋ܗܛቆ3p
4ቇ൅ܑܛܑܖቆ3p 4ቇ൱et z2=൬܋ܗܛቀ૛࣊
૜ቁ൅ܑܛܑܖቀ૛࣊ ૜ቁ൰

Conséquences : z étant un réel non nul
z est un réel strictement positif si et seulement si arg(z) = ………
z est un réel strictement négatif si et seulement si arg(z) = ………
z est un réel non nul si et seulement si arg(z) = ………………
z est un imaginaire pur non nul si et seulement si arg(z) = ………………
pensez à faire des schémas pour apprendre
2. Lien entre forme algébrique et formes trigonométriques d’un complexe non nul.
z0 , z = a + i b = r (cos() + i sin()) avec r = a² + b²
donc ൜ܽ=ݎcos (ߙ)
ܾ=ݎsin (ߙ)alors ൜܋ܗܛ(ࢻ)= ⋯
ܛܑܖ(ࢻ)= ⋯
Exemple : écrire sous forme trigonométrique 1 + i
1+ i = r(cos() + i sin())
r = …………………….. ; ൜cos(ߙ)= ⋯
sin(ߙ)= ⋯ donc 1 + i = ……….
3. Propriétés des arguments
Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même
argument (modulo 2)
z0, z = r(cos() + i sin()) donc - z = ……………
= ……………
arg( - z ) = arg (z) + ………(2)(facile géométriquement !)
z0, z = r(cos() + i sin()) donc z = ……………
= ……………
arg( z ) = - arg (z) (2)(facile géométriquement !)
z et z’ non nuls, z = r(cos() + i sin()) et z’= r’(cos(’) + i sin(’))
zz’ = …………………………………………..
= …………………………………………..
= …………………………………………..
arg( zz’ ) = arg (z) + arg (z’) (2)
L’argument d’un produit est la somme des arguments (modulo 2࣊)
Exercice : soit u = 1 – i et v = - 1 + i 3. Écrire u ×v sous forme trigonométrique.
(Pour cela, donner auparavant les formes trigonométriques de u et de v)

Remarque 1 : z0, z = r(cos() + i sin()) avec réel
n entier naturel non nul, arg (zn) = n arg (z) (2)
Exemple : quelle est l’écriture trigonométrique de Z 2021avec Z = 3
2+1 2i ?
Remarque 2 :étant un réel et p un entier naturel
[cos () + i sin ()]p= cos (p) + i sin (p) (2)
Exemple : (cos() +i sin() )4= ……………………...
EXERCICE :p étant un entier strictement négatif,
(cos() + i sin() )p= (cos() +i sin() )-n’
= …………………..
= …………………..
= …………………..
= …………………..
[cos() + i sin()]p= cos(p) + i sin(p) , pour p entier relatif (Formule de Moivre)
z non nul, z = r(cos() + i sin())
1
z= …………………………=………………………….
arg( 1
z) = - arg (z) (2)
L’argument d’un inverse est l’opposé de l’argument.
z et z’ non nuls, z
z’ = z 1 z’
arg( z
z’ ) = arg (z) – arg (z’) (2)
L’argument d’un quotient est la différence des arguments.
Exercice : Étant donné z = (1 + i)4et z’ = ( 3 + i)3, écrire une forme
trigonométrique de Z = z
z’ .
4. Remarque géométrique : -> schémas !
AB et CD, avec A(a) B(b) C(c) D(d)
arg (b – a) = (࢛
ሬ
ሬ
⃗
;࡭࡮
ሬ
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⃗
)
arg ( d – c
b - a ) = (࡭࡮
ሬ
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;࡯ࡰ
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⃗
)En effet, (ܣܤ
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⃗
;ܥܦ
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ሬ
ሬ
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⃗
) = (ܣܤ
ሬ
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;ݑሬ
⃗
) + (ݑሬ
⃗
;ܥܦ
ሬ
ሬ
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⃗
) d’après la relation de Chasles
= ………………