polycope COURS MATHS 6

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Mr : ALLOUCHE Rachid
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
COURS DES METHODES NUMERIQUES
0
1
3
2
2,2
1,1
Newton

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Mr : ALLOUCHE Rachid
Table des matières
1. LES ERREURS EN ANALYSE NUMERIQUE
1
1.1. Introduction
1
1.2. Les Erreurs de Modélisation
1
1.3. Les Erreurs Liées à L'utilisation de L'ordinateur
1
1.4. Les Erreurs de Troncature
2
1.5. Définitions des Erreurs absolues et relatives
2
1.5.1. Majoration des erreurs absolues et relatives
2
1.6. Chiffres significatifs
4
2. ÉQUATIONS NON LINEAIRES
5
2.1. Définition
5
2.2. Méthode de la bissection (dichotomie)
5
2.2.1. Explication graphique
6
2.2.2.   é ()
7
2.2.3. Les Cas pathologique de la Méthode de Dichotomie
10
2.3. METHODE DE LA FAUSSE POSITION (Régula Falsi)
11
2.4. LES METHODES OUVERTES
12
2.4.1. METHODES DES POINTS FIXES
12
2.4.1.1. Algorithme des points fixes
12
2.4.1.2. Etude de la Convergence de la Méthode des Points Fixes
14
2.4.1.3. Interprétation géométrique
16
2.4.2. METHODE DE NEWTON
18
2.4.2.1. Algorithme de la méthode de Newton
19
2.4.2.2. Interprétation géométrique
20
2.4.2.3. Etude De La Convergence De La Méthode De Newton
21
2.4.2.4. Racines Multiples
22
2.4.2.5. Accélération de la Convergence
23
2.4.3. ETHODE DE LA SECANTE
24
2.4.3.1. Algorithme de la méthode de la sécante
24

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Mr : ALLOUCHE Rachid
2.4.3.2. Interprétation géométrique
25
3. SYSTEMES D'EQUATIONS ALGEBRIQUES
26
3.1. Introduction
26
3.2. SYSTEMES LINEAIRES
26
3.3. Choix des systèmes linéaires
28
3.3.2. Les Systèmes Diagonaux
28
3.3.3. Les Systèmes Triangulaires
28
3.4. METHODES DIRECTES
30
3.4.1. Opérations Elémentaires Sur Les Lignes
30
3.4.2. Transformation D’un Système Linéaire a une Forme Triangulaire
31
3.4.2.1. Multiplication d'une ligne par un scalaire :
32
3.4.2.2. Permutation de deux lignes :
33
3.4.2.3.Opération pour L’élimination d’un Coefficient dans une Matrice
33
3.4.3. METHODE D’ELIMINATION DE GAUSS
35
3.4.3.1. Matrice Augmentée D’un Système Linéaire
35
3.4.3.2. Échelonnement de la matrice augmentée
36
3.4.4. Rappel sur le Choix de Pivot
37
3.4.5. METHODE DE LA DECOMPOSITION :
37
3.4.5.1.Décomposition De CROUT
38
3.5. RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES PAR DES METHODES ITERATIVES
39
3.5.1. METHODE DE JACOBI
40
3.5.1.1. Condition De La Convergence De La Méthode De Jacobi
42
3.5.2. METHODE DE GAUSS-SEIDEL
43
3.5.2.1.Convergence De La Méthode De Gauss-Seidel
43
4. INTERPOLATION
44
4.1. Introduction
44
4.4.1. Théorème d’approximation de Weierstrass
44
4.2. MATRICE DE VANDERMONDE
45
4.3. INTERPOLATION DE LAGRANGE
46
4.3.1. Construction d’un Polynôme de Degré 1
47
4.3.2. Construction d’un Polynôme de Degré 2
48
4.3.3. Construction d’un Polynôme de Degré 
49

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Mr : ALLOUCHE Rachid
4.4. POLYNOME DE NEWTON
51
4.4.1. Détermination des coefficients de polynôme de degré 
52
4.4.1.1. Détermination de coefficient 0 
52
4.4.1.2. Détermination de coefficient 1 
52
4.4.1.3. Détermination de coefficient 2 
52
4.4.2. Différences Divisées
54
4.5. ERREUR D'INTERPOLATION
56
4.5.1. Estimation De L’erreur Dans Le Cas Où La Fonction f Est Inconnue
56
5. INTÉGRATION NUMÉRIQUES
59
5.1. Introduction
59
5.2. Extrapolation de Richardson
59
5.3. Définition Des Méthodes De Newton-Cotes
61
5.3.1. Méthodes Des Rectangles
61
5.3.1.1. Principe de la méthode
61
5.3.1.2. Méthode Composée Des Rectangles
62
5.3.1.3. Erreur de la méthode des rectangles
63
5.3.1.4. Méthode des rectangles points-milieux
64
5.3.2. METHODE DES TRAPEZES
64
5.3.2.1. Principe de la méthode
64
5.3.2.2. Méthode composée des trapèzes
67
5.3.2.3. Erreur De la Méthode des trapèzes
68
5.3.3. INTEGRATION PAR LA FORMULE DE SIMPSON 1/3
71
5.3.3.1. principe de la méthode
71
5.3.3.2. Etude de L'erreur de la méthode de Simpson
72
5.3.3.3. Méthode composée de Simpson
74
5.3.3.4. Analyse d’erreur de Simpson 1/3 composée
75
5.4. METHODE DE BOOLE
76
5.5.METHODE DE ROMBERG
77
5.5.1. Principe de la méthode
77
5.5.2. Algorithme de Romberg
78

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Mr : ALLOUCHE Rachid
LES ERREURS EN ANALYSE NUMERIQUE
1.1. INTRODUCTION
Dans ce chapitre on évoque l’analyse d’erreurs pour les méthodes numériques, cette dernière
est un outil important pour comprendre le temps de calcul (compilation) et la précision du
résultat. On fait recours à la résolution numérique des problèmes mathématiques que nous
rencontrons si on n’arrive pas à les résoudre analytiquement, donc il devient essentiel de
maitriser les outils de base de la simulation numérique.
Pour des problèmes donnés (par exemple en intégration, équations différentielles,
interpolation, résolution d’´équations non linéaires, etc.), il est possible d'utiliser plusieurs
techniques de résolution par différents algorithmes. Ces algorithmes dépendent de certains
paramètres qui influent sur la précision du résultat. Pour avoir une meilleure précision et des
résultats très proches aux résultats exacts, une étude précieuse de l'analyse numérique consiste
à contenir les effets des erreurs qui rentrent en jeu lors d’une résolution par une méthode
numérique, qui dérivent de trois sources principales:
• les erreurs de modélisation.
• les erreurs de représentation sur ordinateur.
• les erreurs de troncature.
1.2. LES ERREURS DE MODELISATION :
Comme son nom l’indique, elles proviennent lors de la phase de modélisation d’un
problème physique avant de le résoudre numériquement. Cette étape consiste à traduire les
paramètres de ce phénomène physique sous forme d'équations différentielles. Par fois on
rencontre un cas de phénomène complexe à étudier, et pour alléger le problème, on fait
recours à des hypothèses simplificatrices et négliger ses composantes qui sont moins
importantes.
1.3. LES ERREURS LIEES A L'UTILISATION DE L'ORDINATEUR :
Dans un programme numérique, la représentation des nombres sur ordinateur est généralement
binaire (les réels sont représentés par des nombres à virgule flottante en binaire). En simple
précision, les réels sont codés sur 32 bits ce qui correspond à une précision de la machine de
10−7 et en double précision, les réels sont codés sur 64 bits ce qui donne une précision 10−15.
en circonstance, les nombres introduits fréquemment engendrent des erreurs. Malgré que ces