polycope COURS MATHS 6

0
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
COURS DES METHODES NUMERIQUES
𝑥2 , 𝑓 𝑥2
Newton
𝑥1
𝑥3
𝑟
𝑥2 𝑥0
𝑥1 , 𝑓 𝑥1
Mr : ALLOUCHE Rachid
Table des matières
1.
LES ERREURS EN ANALYSE NUMERIQUE
1
1
1.1. Introduction
1
1.2. Les Erreurs de Modélisation
1
1.3. Les Erreurs Liées à L'utilisation de L'ordinateur
1
1.4. Les Erreurs de Troncature
2
1.5. Définitions des Erreurs absolues et relatives
2
1.5.1. Majoration des erreurs absolues et relatives
1.6.
2.
Chiffres significatifs
ÉQUATIONS NON LINEAIRES
2
4
5
2.1.
Définition
5
2.2.
Méthode de la bissection (dichotomie)
5
2.2.1. Explication graphique
6
2.2.2. 𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑕𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑕𝑜𝑡𝑕𝑜𝑚𝑖é (𝐵𝑖𝑠𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)
7
2.2.3. Les Cas pathologique de la Méthode de Dichotomie
10
2.3.
METHODE DE LA FAUSSE POSITION (Régula Falsi)
11
2.4.
LES METHODES OUVERTES
12
2.4.1. METHODES DES POINTS FIXES
12
2.4.1.1.
Algorithme des points fixes
12
2.4.1.2.
Etude de la Convergence de la Méthode des Points Fixes
14
2.4.1.3.
Interprétation géométrique
16
2.4.2. METHODE DE NEWTON
18
2.4.2.1.
Algorithme de la méthode de Newton
19
2.4.2.2.
Interprétation géométrique
20
2.4.2.3.
Etude De La Convergence De La Méthode De Newton
21
2.4.2.4.
Racines Multiples
22
2.4.2.5.
Accélération de la Convergence
23
2.4.3. ETHODE DE LA SECANTE
24
2.4.3.1.
24
Algorithme de la méthode de la sécante
Mr : ALLOUCHE Rachid
2
2.4.3.2.
3.
Interprétation géométrique
25
26
SYSTEMES D'EQUATIONS ALGEBRIQUES
3.1.
Introduction
26
3.2.
SYSTEMES LINEAIRES
26
3.3. Choix des systèmes linéaires
28
3.3.2.
28
Les Systèmes Diagonaux
28
3.3.3. Les Systèmes Triangulaires
3.4.
30
METHODES DIRECTES
3.4.1. Opérations Elémentaires Sur Les Lignes
30
3.4.2. Transformation D’un Système Linéaire a une Forme Triangulaire
31
3.4.2.1. Multiplication d'une ligne par un scalaire :
32
3.4.2.2. Permutation de deux lignes :
33
3.4.2.3.Opération pour L’élimination d’un Coefficient dans une Matrice
33
3.4.3.
METHODE D’ELIMINATION DE GAUSS
35
3.4.3.1. Matrice Augmentée D’un Système Linéaire
35
3.4.3.2. Échelonnement de la matrice augmentée
36
3.4.4. Rappel sur le Choix de Pivot
3.4.5.
37
METHODE DE LA DECOMPOSITION 𝐿𝑈 :
37
3.4.5.1.Décomposition De CROUT
3.5.
RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES PAR DES METHODES ITERATIVES
3.5.1. METHODE DE JACOBI
3.5.1.1. Condition De La Convergence De La Méthode De Jacobi
3.5.2. METHODE DE GAUSS-SEIDEL
3.5.2.1.Convergence De La Méthode De Gauss-Seidel
4.
38
INTERPOLATION
4.1.
4.4.1.
Introduction
Théorème d’approximation de Weierstrass
39
40
42
43
43
44
44
44
4.2.
MATRICE DE VANDERMONDE
45
4.3.
INTERPOLATION DE LAGRANGE
46
4.3.1. Construction d’un Polynôme de Degré 1
47
4.3.2. Construction d’un Polynôme de Degré 2
48
4.3.3. Construction d’un Polynôme de Degré 𝑛
49
Mr : ALLOUCHE Rachid
3
4.4.
POLYNOME DE NEWTON
51
4.4.1. Détermination des coefficients de polynôme de degré 𝑛
52
4.4.1.1.
Détermination de coefficient 𝑎0
52
4.4.1.2.
Détermination de coefficient 𝑎1
52
4.4.1.3.
Détermination de coefficient 𝑎2
52
4.4.2. Différences Divisées
4.5.
54
ERREUR D'INTERPOLATION
56
4.5.1. Estimation De L’erreur Dans Le Cas Où La Fonction f Est Inconnue
5.
INTÉGRATION NUMÉRIQUES
56
59
5.1. Introduction
59
5.2. Extrapolation de Richardson
59
5.3. Définition Des Méthodes De Newton-Cotes
61
5.3.1.
Méthodes Des Rectangles
61
5.3.1.1. Principe de la méthode
61
5.3.1.2. Méthode Composée Des Rectangles
62
5.3.1.3. Erreur de la méthode des rectangles
63
5.3.1.4. Méthode des rectangles points-milieux
64
5.3.2. METHODE DES TRAPEZES
64
5.3.2.1. Principe de la méthode
64
5.3.2.2. Méthode composée des trapèzes
67
5.3.2.3. Erreur De la Méthode des trapèzes
68
5.3.3. INTEGRATION PAR LA FORMULE DE SIMPSON 1/3
71
5.3.3.1. principe de la méthode
71
5.3.3.2. Etude de L'erreur de la méthode de Simpson
72
5.3.3.3. Méthode composée de Simpson
74
5.3.3.4. Analyse d’erreur de Simpson 1/3 composée
75
5.4. METHODE DE BOOLE
76
5.5.METHODE DE ROMBERG
77
5.5.1. Principe de la méthode
77
5.5.2. Algorithme de Romberg
78
Mr : ALLOUCHE Rachid
4
LES ERREURS EN ANALYSE NUMERIQUE
1.1.
INTRODUCTION
Dans ce chapitre on évoque l’analyse d’erreurs pour les méthodes numériques, cette dernière
est un outil important pour comprendre le temps de calcul (compilation) et la précision du
résultat. On fait recours à la résolution numérique des problèmes mathématiques que nous
rencontrons si on n’arrive pas à les résoudre analytiquement, donc il devient essentiel de
maitriser les outils de base de la simulation numérique.
Pour des problèmes donnés (par exemple en intégration, équations différentielles,
interpolation, résolution d’´équations non linéaires, etc.), il est possible d'utiliser plusieurs
techniques de résolution par différents algorithmes. Ces algorithmes dépendent de certains
paramètres qui influent sur la précision du résultat. Pour avoir une meilleure précision et des
résultats très proches aux résultats exacts, une étude précieuse de l'analyse numérique consiste
à contenir les effets des erreurs qui rentrent en jeu lors d’une résolution par une méthode
numérique, qui dérivent de trois sources principales:
•
les erreurs de modélisation.
•
les erreurs de représentation sur ordinateur.
•
les erreurs de troncature.
1.2.
LES ERREURS DE MODELISATION :
Comme son nom l’indique, elles proviennent lors de la phase de modélisation d’un
problème physique avant de le résoudre numériquement. Cette étape consiste à traduire les
paramètres de ce phénomène physique sous forme d'équations différentielles. Par fois on
rencontre un cas de phénomène complexe à étudier, et pour alléger le problème, on fait
recours à des hypothèses simplificatrices et négliger ses composantes qui sont moins
importantes.
1.3.
LES ERREURS LIEES A L'UTILISATION DE L'ORDINATEUR :
Dans un programme numérique, la représentation des nombres sur ordinateur est généralement
binaire (les réels sont représentés par des nombres à virgule flottante en binaire). En simple
précision, les réels sont codés sur 32 bits ce qui correspond à une précision de la machine de
10−7 et en double précision, les réels sont codés sur 64 bits ce qui donne une précision 10−15.
en circonstance, les nombres introduits fréquemment engendrent des erreurs. Malgré que ces
Mr : ALLOUCHE Rachid
5
dernières soient insignifiantes ou négligeables au départ, elles deviennent nuisibles sur le
résultat obtenu à cause de leurs accumulations lorsqu'on effectue un très grand nombre
d'opérations.
Par exemple, la valeur de (𝜋) n'a pas une représentation binaire exacte, car elle n’a pas une
représentation décimale exacte. Au cours des calculs on peut avoir un cumule de cette erreur
qui peut influencer sur la précision des résultats.
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑’𝑎𝑟𝑟𝑜𝑛𝑑𝑖 = 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑕𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒 − 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑕𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑡𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
1.4.
LES ERREURS DE TRONCATURE :
Les développements limités et plus précisément celui de Taylor est le principal outil
mathématique du numéricien. L’utilisation du développement de Taylor permet par exemple
de remplacer une équation différentielle par une équation algébrique, ce qui peut causer des
erreurs de Troncation.
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 = 𝑅é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 − 𝑅é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑕𝑚𝑒
Et en fin on arrive à avoir que :
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 = 𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑’𝑎𝑟𝑟𝑜𝑛𝑑𝑖 + 𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒
1.5.
ERREURS ABSOLUES ET ERREURS RELATIVES :
 Soit x, un nombre, et 𝑥 ∗ , une approximation de ce nombre.
L’erreur absolue est définie par :
∆ 𝒙 − 𝒙∗
L’erreur relative est définie par :
𝜟|𝒙 − 𝒙∗ |
𝑬𝒓 =
|𝒙|
Si en multipliant par 100%, on obtient l'erreur relative en pourcentage.
1.5.1. Majoration des erreurs absolues et relatives :
En pratique, il est difficile d'évaluer les erreurs absolues et relatives, car on ne connaît
généralement pas la valeur exacte de 𝒙 et on n'a que 𝒙∗ . donc si on ne connaît que la valeur
approximative des résultats mesurées, il est impossible dans ce cas de calculer l'erreur
Mr : ALLOUCHE Rachid
6
absolue; on dispose donc d'une borne supérieure de majoration pour cette erreur qui dépend de
la précision des instruments de mesure utilisés. Cette borne est quand même appelée erreur absolue,
alors on a:
|𝒙 − 𝒙∗ | ≤ ∆𝒙
Donc on peut écrire l’inégalité suivante :
𝑥 ∗ − ∆𝑥 < 𝑥 < 𝑥 ∗ − ∆𝑥
(1.1)
et que l'on note parfois 𝑥 = 𝒙∗ ± ∆𝑥 . On peut interpréter ce résultat car en peu dire que
l'on a estimé la valeur exacte 𝒙 à partir de 𝒙∗ avec une incertitude de ∆𝒙 de part et d'autre.
L'erreur absolue donne une mesure quantitative de l'erreur commise.
On définit un majorant de l’erreur relative 𝜺 d’une valeur approchée 𝒙∗ par :
∆|𝒙 − 𝒙∗ |
𝑬𝒓 =
≤𝛆
|𝒙|
1.2
De l’erreur relative en peut avoir l'importance et l’influence de cette erreur sur le résultat
final.
Exemple 1.1 :
Si on utilise un chronomètre dont la précision est de l'ordre de deux dixièmes de seconde,
l'erreur absolue est bornée par 0.2 sec. Mais est-ce-que cette erreur est importante et a un effet
sur le résultat ou non?
Pour avoir l’influence de cette erreur on va prendre deux exemples de courses :
 La première course est une course cycliste d'une durée de 5 𝑕𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠, on remarque que
l'erreur relative liée au chronométrage est très faible et elle n’a aucune influence sur le
classement des cyclistes:
0.2
= 1.1 × 10−5
5 × 60 × 60
 La deuxième course est une course de 100 m d'une durée d'environ 10 s, l'erreur relative
est beaucoup plus importante:
0.2
= 0.02
10
soit 2 % du temps de course. Avec une telle erreur, peut-être on ne pourra pas faire la
différence entre le premier et le dernier coureur. Cela nous amène à parler de la précision et de
chiffres significatifs qu’on va défini juste après.
Mr : ALLOUCHE Rachid
7
1.6.
Chiffres significatifs :
Un chiffre significatif d’un nombre approché est le seul chiffre qu’on doit garder,
Exemple 1.2 :
Une approximation au chiffre de millième est significatif de 0,108, le zéro à gauche n’est pas
significatif car il ne serve qu’à indiquer les ranges des autres chiffres. Le zéro placé entre les
chiffres significatifs 1 et 8, est lui-même un chiffre significatif.
Définition :
Un chiffre significatif d’un nombre approché 𝑥 ∗ est dit exact si l'erreur absolue de 𝑥 ∗ vérifie
∆𝑥 < 0,5 𝑥 10𝑚
(1.3)
avec m est le rang de ce chiffre significatif, et le chiffre correspondant à la 𝑚𝑒 puissance de
10 est dit significatif.
D’où
 Si ∆𝑥 < 0,5 𝑥 10−𝑛 ; alors le 𝑛è𝑚𝑒 chiffre significatif après la virgule est exact.
 Si ∆𝑥 < 0,5 𝑥 10𝑛−1 ; alors le 𝑛è𝑚𝑒 chiffre significatif avant la virgule est exact.
Exemple1.3 :
On approche 𝑒𝑥𝑝(1) au 𝑥 ∗ = 2,718. On a
∆ 𝑥 = 0.000281 ≤ 0.5 × 10−3
Alors, les quatre chiffres 2, 7, 1 et 8 sont des chiffres significatifs exacts. Donc si un chiffre
significatif est exact, alors tous les chiffres à sa gauche sont exacts.
Remarque 1.1 :
Il y a une relation entre l’erreur relative et les chiffres significatifs, en effet,
1. Si un nombre approximatif possède n chiffres significatifs exacts, alors son erreur
relative 𝑬𝒓 est inferieure à 5 × 10−𝑛 (sauf si le nombre est1 suivi de (𝑛 − 1) zéros).
2. Si l’erreur relative 𝐸𝑟 à 𝑥 ∗ vérifié cette relation 𝐸𝑟 < 5 × 10−𝑛 alors 𝑥 ∗ possède au
moins n chiffres significatifs exacts.
Mr : ALLOUCHE Rachid
8
ÉQUATIONS NON LINEAIRES
2.1. DEFINITION
Résolution d'équations algébriques de la forme:
𝑓(𝑥) = 0
(2.1)
Soit une valeur de 𝑥solution de𝑓 𝑥 = 0 est appelée une racine ou un zéro de la
fonction 𝑓 𝑥 et est notée r.
C’est très facile à résoudre l'équation du second degré:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
dont les deux racines sont:
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥𝑖 =
2𝑎
Mais si la fonction est de la forme des polynômes de degré supérieur à 4. Il n’est pas possible
que l'on peut résoudre l'équation 2.1 analytiquement dans tous les cas. Il est donc nécessaire
d’aller aux méthodes numériques. Dans ce qui suit, nous présentons plusieurs techniques de
résolution.
2.2.
METHODE DE LA BISSECTION (DICHOTOMIE)
Supposons une fonction 𝑓 continue sur ℝ, il existe un intervalle 𝑥1, 𝑥2 tels que 𝑓(𝑥) admet
une solution dans cet intervalle ; si l’intervalle ayant un changement de signe, alors il existe au
moins une solution de 𝑓(𝑥) = 0. La méthode de dichotomie repose sur cette idée :
Si on cherche la solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 0, où la fonction continue 𝑓(𝑥) change de
signe et passe du positif au négatif ou vice versa. Un intervalle ayant un changement de signe,
c'est-à-dire:
𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2) < 0
(2.2)
On pose alors:
𝑥𝑚 =
𝑥 1 +𝑥 2
2
(2.3)
𝑥𝑚 : le point milieu de l'intervalle. Il suffit alors de déterminer, entre les intervalles 𝑥1 , 𝑥𝑚 et
[𝑥𝑚 , 𝑥2 ], celui qui possède un changement de signe. La racine cherchée sera donc dans cet
intervalle. Cela nous amène à l'algorithme suivant.
Mr : ALLOUCHE Rachid
9
2.2.1 Explication graphique :
À la première itération voir figure 1, on choisit l'intervalle [𝑥1 , 𝑥𝑚 ] car ce dernier qui possède
un changement de signe, donc la racine ce trouve dans cet intervalle.
On remarque la même chose pour la deuxième itération, on a toujours le même
intervalle [𝑥1 , 𝑥𝑚 ] par contre pour la troisième itération ce serait le deuxième
intervalle[𝑥𝑚 , 𝑥2 ] qui possède un changement de signe.
(𝑥2 ), 𝑓(𝑥2 )
3
Première itération
𝑥2 = 𝑥𝑚
(𝑥1 ), 𝑓(𝑥1 )
0
𝑥1
1
2
𝑟
4
𝑥2
(𝑥2 ), 𝑓(𝑥2 )
3
Deuxième itération
3
𝑥𝑚
1
𝑥2 = 𝑥𝑚
(𝑥1 ), 𝑓(𝑥1 )
𝑥01
𝑟
1
2
𝑥
2
𝑥𝑚
(𝑥2 ), 𝑓(𝑥2 )
Troisième
1
itération
𝑥1 = 𝑥𝑚
(𝑥1 ), 𝑓(𝑥1 )
-1
0
𝑥1
0,5
𝑥𝑚
𝑟
1
𝑥2
Figure 1: Résolution graphique de la fonction 𝒇(𝒙) = 𝟎 par la méthode de la bissection
pour trois itérations.
Mr : ALLOUCHE Rachid
10
𝟐. 2.2. 𝑨𝒍𝒈𝒐𝒓𝒊𝒕𝒉𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒐𝒕𝒉𝒐𝒎𝒊é (𝑩𝒊𝒔𝒔𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏)
1. 𝐸𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 [𝑥1 , 𝑥2 ] 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑙 𝑓(𝑥1 ) ∙ 𝑓(𝑥2 ) < 0.
é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒
é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑟 = 𝑥1 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
𝑎𝑟𝑟ê𝑡
é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒
é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑟 = 𝑥2 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
𝑎𝑟𝑟ê𝑡
2. 𝑆𝑖 𝑓 𝑥1 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
3. 𝑆𝑖 𝑓 𝑥2 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
4. 𝐸𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é ɛ, 𝑙𝑒 𝑐𝑟𝑖𝑡è𝑟𝑒 𝑑′𝑎𝑟𝑟ê𝑡, 𝑒𝑡 𝑁, 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
5. 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑟𝑥𝑚 =
6. 𝑆𝑖
𝑥 1 −𝑥 2
2
≤𝜀
𝑥 1 +𝑥 2
2
𝑜𝑢 𝑓(𝑥𝑚 ) = 0
• 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒
• é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑥𝑚
• é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑓(𝑥𝑚 )
• 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
7. 𝑆𝑖 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑁 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡:
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑁 𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
8. É𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑖, 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥𝑚 , 𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 ), 𝑓(𝑥𝑚 )
9. 𝑆𝑖 𝑓( 𝑥1 ) ∙ 𝑓( 𝑥𝑚 ) < 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥2 = 𝑥𝑚 , 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 à 5
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑥1 = 𝑥𝑚 , 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑎 5
L'expression:
𝒙𝟏 −𝒙𝟐
𝟐
est une approximation de l'erreur absolue. En effet, à l'étape 5 de
l'algorithme de la bissection, la racine recherchée est soit dans l'intervalle [𝑥𝑚 , 𝑥1 ]ou dans
l'intervalle 𝑥2 , 𝑥𝑚 , qui sont tous deux de longueur:
𝒙𝟏 −𝒙𝟐
𝟐
, donc on peut conclus par
l’expression suivante de l’erreur absolue qui donne une mesure quantitative de l'erreur
commise.
𝑥1 − 𝑥𝑚 = 𝑥2 − 𝑥𝑚 =
𝑥2 − 𝑥1
2
Ce qui constitue une borne supérieure de l'erreur absolue.
Mr : ALLOUCHE Rachid
11
En divisant par
𝒙𝒎 , on obtient une approximation de l'erreur relative
𝑥1 − 𝑥2
≤𝜀
2 𝑥𝑚
2.4
avec
𝑥1 − 𝑥𝑚
𝑥2 − 𝑥𝑚
𝑥2 − 𝑥1
=
=
𝑥𝑚
𝑥𝑚
2𝑥𝑚
Cette expression est une approximation de l'erreur relative qui donne l'importance de l'erreur
commise.
Remarque 2.1 :
 Dans l'algorithme précédent, il faut prendre garde au cas où la racine recherchée est 0. Il y
a alors risque de division par 0 au cours de l'évaluation de l'erreur relative, et pour éviter ce
problème, il est préférable d’utiliser l’erreur absolue.
 Dans le même algorithme, il faut prendre en considération le cas où la condition de test
d’arrêt
𝒙𝟏 −𝒙𝟐
𝟐
est loin de la convergence et au même temps la racine 𝒙𝒎 égale à la valeur
exacte de la racine 𝑟 de la fonction 𝑓 𝑥 . Donc, Il est profitable d'introduire un test
d'arrêt sur la valeur de 𝑓 𝑥 , qui doit tendre également vers 0. Donc il faut modifier le test
d’arrêt de l’étape 6 de l’algorithme par cette nouvelle condition :
Si
𝒙𝟏 −𝒙𝟐
𝟐
≤ 𝜺 𝑜𝑢 𝑓 𝑥𝑚 = 0 .
Exemple 2.1 :
Soit la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2 possède un changement de signe dans [−1 , 3].
En effet:
On va faire le déroulement de l’algorithme pour trois itérations de cet exemple
𝑓 −1 × 𝑓 2 = −1 × 7 = −7 < 0
On a alors 𝒙𝒎 = 1 et 𝑓(1) = −1. L'intervalle [1 , 3] possède à nouveau un changement
de signe, ce qui n'est pas le cas pour l’intervalle [−1 , 1]. Le nouvel intervalle de travail est
donc [1 , 3], dont le point milieu est 𝒙𝒎 = 2. Puisque 𝑓(2) = 2, on prend l'intervalle
[1 , 2] et ainsi de suite. Le tableau suivant résume les résultats.
Mr : ALLOUCHE Rachid
12
𝑥1
-1,0
1.0
1,0
1,0
𝑥2
3,0
3,0
2,0
1,5
𝑥𝑚
1.0
2.0
1,5
1,25
𝑓(𝑥 1 )
-1,0
-1,0
-1,0
-1,0
𝑓(𝑥 2 )
7,0
7,0
2,0
0,25
𝑓(𝑥 𝑚 )
-1.0
+2.0
+0,25
-1,9375
L’erreur absolue liée à 𝑥𝑚
2,0
1.0
0,5
0,25
Suite aux résultats du tableau précèdent, On remarque clairement que la longueur de
l'intervalle entourant la racine est divisée par deux à chaque itération. Ce déroulement nous
permet de déterminer le nombre d'itérations nécessaires à l'avance, pour une précision voulue.
Soit 𝐿 = 𝑥1 − 𝑥2 , la longueur de l'intervalle de départ ; Après une itération, le nouveau
segment est de longueur 𝐿 2 et après 𝒏 itérations, la longueur de l'intervalle sera: 𝐿 2𝑛
Si on veut connaître la valeur de 𝒏 nécessaire pour avoir la convergence suivant une précision
donner à une valeur donné d’epsilon 𝜺 à partir de cette équation 𝐿 2𝑛 ≤ 𝜀 .
il suffit de résoudre cette équation en fonction de 𝒏 et on trouve la condition:
𝑛≥
ln 𝐿 − ln⁡
(𝜀)
ln⁡
(2)
(2.5)
Il est clair que, sur le plan pratique, on doit prendre pour valeur de 𝒏, le plus petit entier
vérifiant cette condition. De plus si on arrive à déterminer le nombre d’itérations 𝒏 dans ce cas
la, le test d’arrêt dans l’algorithme n’a aucune utilité.
Exemple 2.2 :
Déterminer le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une solution dont le chiffre des
millièmes est significatif pour la fonction suivante dans l'intervalle [0 ,4].
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 | 𝑠𝑖𝑛𝑥| — 4,1
La première des choses il faut voir si la fonction 𝑓 𝑥 admetune solution dans [0 ,4]. Le
chiffre des millièmes est significatif, ça veut dire que l’erreur absolue est plus petite que
0.5 × 10−3 , il faut donc voir le nombre des itérations nécessaire pour obtenir cette précision:
𝑙𝑛4 − ln⁡
(0.5 × 10−3 )
𝑛≥
= 9,6438
𝑙𝑛2
On fera donc 10 itérations pour s'assurer de cette précision.
Mr : ALLOUCHE Rachid
13
Exemple 2.3 :
Résoudre l’équation 𝑥 2 − 2 = 0 par la méthode de dichotomie avec une précision de 10−5
dans un intervalle 0 , 2 et calculer le nombre d’itération nécessaire pour avoir cette
précision.
2.2.3. Les Cas pathologique de la Méthode de Dichotomie :
On ne peut pas appliquer la méthode de dichotomie dans des cas malgré que l’intervalle choisi
admette des solutions de la fonction 𝑓 𝑥 . La figure 2 illustre certains cas comme le cas où le
nombre des racines dans cet intervalle choisi est pair.
a) Cas de deux racine plus une racine double dans l’intervalle choisi
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑥1
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑥2
𝑥
b) Cas ou 𝑥1 et 𝑥1 les borne de l’intervalle choisi sont des racines.
𝑓(𝑥)
𝑦
𝑥1
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑥2
Figure 2: les différents cas pathologiques pour la méthode de la bissection
Mr : ALLOUCHE Rachid
14
2.3.
METHODE DE LA FAUSSE POSITION (Régula Falsi) :
Cette méthode s’articule sur le même principe de la bissection concernant le choix d’intervalle
pour que la fonction 𝑓(𝑥) possède un changement de signe. Mais pour la détermination de
𝒙∗𝒎 au lieu de prendre 𝒙𝒎 égal au point milieu de 𝑥1 , 𝑥2 , nous allons tout d’abord tracer la
droite qui passe par les deux points (𝑥1 ), 𝑓(𝑥1 ) et (𝑥2 ), 𝑓(𝑥2 ) . Le nouveau point 𝒙∗𝒎 sera
donc l’intersection de cette droite avec l’axe 𝑶𝒙 comme l’indique la figure ci-dessous.
𝑥1
∗
𝑥𝑚
∗
𝑥1 = 𝑥𝑚
Figure 3: Résolution graphique de la fonction 𝒇(𝒙) par la méthode de Régula Falsi.
La droite passant par les deux points (𝑥1 , 𝑓( 𝑥1)) 𝑒𝑡 (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) a pour équation :
𝑦 = 𝑓 𝑥1 + 𝑥 − 𝑥1
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2− 𝑥1
(2.6)
On en déduit donc que 𝒙∗𝒎 est donné par :
∗
𝑥𝑚
=
𝑥1 𝑓 𝑥2 − 𝑥2 𝑓 𝑥1
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1
(2.7)
L’algorithme de cette méthode est basé sur la modification de l’algorithme précédent de la
méthode de bissection on remplace 𝒙𝒎 par le nouveau point 𝒙∗𝒎 , et il faut voir le test d’arrêt
et le modifier suivant la nécessité de la convergence. Car dans la plus part des cas de la
méthode de Régula Falsi on trouve que :
∗
∗
(𝑥1 − 𝑥𝑚
)
(𝑥2 − 𝑥𝑚
≠
)
∗
∗ )
𝑥𝑚
(𝑥𝑚
Donc il faut prendre les deux intervalles en considération pour le test d’arrêt.
Mr : ALLOUCHE Rachid
15
Remarque 2.2 :
La convergence de la méthode de la bissection ainsi que la fausse position n'est pas très
rapide, mais elles sont sûre à partir du moment où on a un intervalle avec changement de
signe. On parle alors des méthodes fermées, car on travaille dans un intervalle fermé.
2.4.
LES METHODES OUVERTES
On parle dans cette section sur des méthodes ouvertes, car il n'y a pas d'intervalle à déterminer
pour que la fonction admette une solution. Ces méthodes sont très rapide par rapport aux
méthodes fermées mais d’autre côté des fois elle ne convergence pas.
2.4.1. METHODES DES POINTS FIXES
Le but de cette méthode de résoudre une fonction 𝑓 𝑥 = 0 d’une manière de réécrire la
fonction 𝑓 𝑥 = 0 sous la forme de 𝑥 = 𝑔(𝑥) tel que 𝒙 est un point fixe d'une fonction
𝑔(𝑥)qui reste fixe pour cette fonction, et au même temps une solution de la fonction 𝑓 𝑥 .
𝑥 = 𝑔 𝑥
2.8
L’algorithme de cette méthode est très simple. Il faut juste d'exécuter et de faire un
déroulement pour qu’il nous permette de déterminer des points fixes de la fonction 𝑔 𝑥𝑖 .
𝑥0
𝑑𝑜𝑛𝑛é
𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖 )
(2.9)
L'algorithme Détaillé De La Méthode Des Point Fixes :
2.4.1.1. 𝑨𝒍𝒈𝒐𝒓𝒊𝒕𝒉𝒎𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝒔 𝒇𝒊𝒙𝒆𝒔
1. 𝐸𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝑥0 , 𝑢𝑛𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚é𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑓𝑖𝑥𝑒
1. 𝐸𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é ɛ, 𝑢𝑛 𝑐𝑟𝑖𝑡è𝑟𝑒 𝑑′𝑎𝑟𝑟ê𝑡
2. 𝐸𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝑵, 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
4. 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 𝑥𝑖+1 = 𝑔 𝑥𝑖
5. 𝑆𝑖 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ≤ 𝜀𝑜𝑢 𝑓(𝑥𝑖+1 ) = 0
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒
 é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝒙𝒊+𝟏
 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
6. 𝑆𝑖 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑁 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡:
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑁 𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
7. 𝑅𝑒𝑡𝑜𝑢𝑟 à 𝑙′é𝑡𝑎𝑝𝑒 4
Mr : ALLOUCHE Rachid
16
On peut résoudre des équations non linéaires de la forme 𝑓 𝑥 = 0, en utilisant l'algorithme
des points fixes. Il faut juste de transformer l'équation 𝑓 𝑥 = 0 en un problème équivalent de
la forme 𝑥 = 𝑔(𝑥). mais on trouve qu'il y a plusieurs façons de faire cette transformation, et
on peut avoir des choix qui donnent lieu à des algorithmes qui convergent vers une racine par
contre le problème qu’on peut avoir des choix qui donnent lieu à des algorithmes divergents.
Exemple 2.4 :
On va faire une approche des racines réelles de la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 par la méthode
des points fixes, puisque cette équation 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0, admet une racine double
𝑟1 = 1 𝑒𝑡 𝑟2 = −2. Le but de cet exemple permet de voir ce qui se passe lorsqu'on utilise
l'algorithme des points fixes. Puisqu'il y a une infinité de façons de convertir cette équation
sous la forme 𝑥 = 𝑔(𝑥), on va choisir deux formes mais on peut avoir d'autres formes à partir
de la même équation.
𝑥 = 3𝑥 − 2 = 𝑔1 𝑥
𝑥2 + 2
𝑥 =
= 𝑔2 𝑥
3
pour avoir 𝑔1 il sous fait désoler 𝑥 2
2.10
pour avoir 𝑔2 𝑒𝑛 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑥 𝑑𝑒 −3𝑥
 Premier cas, on va faire le déroulement de l’algorithme des points fixes pour la
fonction 𝑔1 𝑥 avec la valeur initiale donnée 𝑥0 = 6 , pour remplir le tableau suivant:
𝑖
𝑥𝑖
𝑔1 𝑥
𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑟
𝑖
𝑥𝑖
𝑔𝑖 𝑥
𝑒𝑖
0
6
4
4
10
2,06150418
2,04560811
0,06150418
1
4
3,3166
2
11
2,04560811
2,03391846
0,04560811
2
3,3166
2,9916
1,3166
12
2,03391846
2,02527909
0,03391846
3
2,9916
2,6410
0,9916
13
2,02527909
2,01887029
0,02527909
4
2,6410
2,4337
0,6410
14
2,01887029
2,01410299
0,01887029
On remarque que l’algorithme converge vers la racine 𝒓 = 𝟐, donc la racine 𝒓 est une solution
de la fonction 𝑓 𝑥 et est un point fixe de la fonction 𝑔1 𝑥 = 3𝑥 − 2.
 deuxième cas, on va faire le déroulement de l’algorithme des points fixes pour la fonction
𝑔2 𝑥 avec la valeur initiale donnée 𝑥0 = 6 , pour remplir le tableau suivant:
Mr : ALLOUCHE Rachid
17
𝑖
𝑥𝑖
𝑔2 𝑥
𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑟
𝑖
𝑥𝑖
𝑔𝑖 𝑥
𝑒𝑖
0
6
12,666
4
2
54,148
978,0073
52,148
1
12,666
54,148
10,666
3
978,0073
318 833,43
976,0073
On remarque dans ce deuxième cas, que les valeurs de 𝑥𝑖 tendent vers l'infini.
 Troisième cas, on va faire le déroulement de l’algorithme pour la fonction
𝑔1 𝑥 . Mais
maintenant en commence par 𝑥0 = 0, donc on a changé lavaleur initiale pour remplir le
troisième tableau:
𝑖
0
1
2
3
𝑥𝑖
𝑔2 𝑥
𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑟
0
0.666
1
0,6666 0,814814
0,4444
0,814814 0,88797
0,18518
0,88797
0,9294
0,11203
𝑖
9
10
11
12
𝑥𝑖
0,9962
0,9975
0,9983
0,9991
𝑔𝑖 𝑥
0,9975
0,9983
0,9805
0,9994
𝑒𝑖
0,0038
0,0025
0,0017
0,0009
A partir de ces deux derniers tableaux, on remarque que le cas de 𝒈𝟐 𝒙 est répulsif
si 𝒙𝟎 = 𝟔 et attractif si 𝒙𝟎 = 𝟎
 Suivant ces cas de cet exemple, on remarque que l'algorithme des points fixes, converge
vers l’une parmi les racines de la fonction 𝑓 𝑥 et peut même diverger complètement dans
certains cas. Tout ça revient au choix de la fonction itérative 𝑔𝑖 (𝑥) et aussi à la valeur de
𝑥0 initial qui est le point de départ. Donc on peut dire que c’est une obligation de faire une
étude pour voir quelles sont les conditions pour que la méthode des points fixes converge
vers une racine de la fonction 𝑓 𝑥 = 0.
2.4.1.3.
Etude De La Convergence De La Méthode Des Points Fixes :
Pour étudier la convergence de la méthode des points fixes pour des fonctions de la forme
𝑥 = 𝑔 𝑥 tirer à partir de la fonction 𝑓 𝑥 = 0, et dans le but d’avoir une convergence de la
fonction de la forme 𝑔𝑖 𝑥 vers une racine 𝒓 comme solution de l'équation 𝑓(𝑥); Soit r, une
racine de 𝑓(𝑥)et au même temps un point fixe de la fonction 𝑔(𝑥), c'est-à-dire qui vérifie :
𝑓 𝑟 = 0 et 𝑟 = 𝑔 𝑟
Selon l’algorithme des points fixes dans l’étape 𝒊 ( 𝑖 𝑖𝑒𝑚𝑒 itération) on trouve quel’erreur est
l’écart entre le 𝑥𝑖 calculé dans cette étape moins la racine cherchée. Donc l'erreur à l'étape
𝒊 est représentée comme étant:
𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 – 𝑟
(2.11)
Mr : ALLOUCHE Rachid
18
Il faut chercher donc la condition pour la quelle la méthode des points fixes converge vers la
racine r. le premier point essentiel est d’avoir l’évolution de l’erreur 𝒆𝒏 tend vers 0
« c’est à-dire 𝒙𝒊 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝒓 ». Il est mieux de suivre le comportement de l'erreur 𝒆𝒊 lors de
déroulement de programme pour chaque itération.
A partir des relations (2.9) et (2.11) on a:
𝑒𝑖+1 = 𝑥𝑖+1 − 𝑟 = 𝑔 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑟
(2.12)
On constate clairement que:
𝑥𝑖 = 𝑟 + (𝑥𝑖 − 𝑟) = 𝑟 + 𝑒𝑖
La relation (2.12) devient alors:
𝑒𝑖+1 = 𝑔(𝑟 + 𝑒𝑖 ) − 𝑔(𝑟)
Et on peut alors utiliser un développement de Taylor de la fonction 𝑔(𝑥) autour de la racine r.
𝑔 𝑟 + 𝑒𝑖
= 𝑔 𝑟 + 𝑔′ 𝑟 𝑒𝑖 +
𝑔′′ 𝑟 2 𝑔′′′ 𝑟 3
𝑒 +
𝑒𝑖 +∙∙∙∙∙
2! 𝑖
3!
𝑒𝑖+1 = 𝑔(𝑟 + 𝑒𝑖 ) − 𝑔(𝑟)
On en conclut que:
𝑒𝑖+1 = 𝑔′ 𝑟 𝑒𝑖 +
𝑔 ′′ (𝑟)
2!
𝑒𝑖2 +
𝑔 ′′′ (𝑟)
3!
𝑒𝑖3 +∙∙∙∙∙
(2.13)
Au voisinage de la racine r, le premier terme non nul de l'expression de droite sera essentiel
pour la convergence.
Selon l'équation (2.13), si 𝑔′(𝑟) ≠ 0 et si on néglige les termes d'ordre supérieur ou égal à 2
lorsque 𝒊 tend vers 𝒏 donc en 𝒆𝒏 , on arrive à avoir:
𝑒𝑛+1 = 𝑔′ (𝑟)𝑒𝑛
(2.14)
Donc
𝑔′ (𝑟) =
𝑒𝑛
𝑒𝑛+1
On remarque que l'erreur à l'étape (n+1) est proportionnelle à l'erreur à l'étape 𝒏. L'erreur ne
pourra donc diminuer que si:
𝑔′ (𝑟) < 1
(2.15)
La condition (2.15) est une condition nécessaire de la convergence de cette méthode.
Mr : ALLOUCHE Rachid
19
Exemple 2.5 :
On va essayer d’étudier la convergence des deux fonctions 𝑔𝑖 𝑥 de l'exemple1. Selon la
condition (2.15), on va vérifier les deux cas s’ils sont attractifs ou répulsifs
Premièrement en va calculer les dérivées des 𝑔𝑖 (𝑥):
𝑔1′ (𝑥) =
3
2 2𝑥 − 1
𝑔2′ (𝑥) =
2𝑥
3
Les résultats sont compilés dans le tableau suivant :
𝑔𝑖′ (𝑟)
𝑔1′ (𝑟)
𝑔2′ (𝑟)
𝑟=1
1,5 > 1 cas répulsif
0.6666 > 0 Cas atractif
𝑟=2
0,866 < 1 Cas atractif
1,333 > 1 cas répulsif
Ce tableau aide à comprendre les résultats obtenus précédemment. La méthode de points fixes
appliquée à 𝑔1 𝑥 la méthode de points fixes ne peut converger vers 𝑟1 = 1, car la dérivée de
𝑔1 𝑥 en ce point est plus grande que 1, d’autre part elle converge vers 𝑟2, où la valeur de la
dérivée est inférieure à 1.
La fonction 𝑔2 𝑥 a également une dérivée plus grande que 1 en 𝑟2; donc la méthode diverge
avec un 𝑥0 ∈ −∞, −2 ∪ 2, +∞ comme l’indique le deuxième tableau. Par contre si
𝑥0 ∈ −2 , +2 la méthode converge vers 𝑟1 suivant les résultats du troisième tableau.
On tir comme conclusion que le choix de 𝒙𝟎 joue un rôle primordial pour la convergence de
la méthode des points fixes.
2.4.1.4.
Interprétation géométrique
L’interprétation géométrique de la méthode des points fixes permet d'illustrer la convergence
ou la divergence. La figure suivante présente les différents cas possibles:
0 < 𝒈′ 𝒓 < 1
−1<𝒈 𝒓 < 0
𝒈′ 𝒓 > 1 𝑜𝑢 𝒈′ 𝒓 < 1
On peut interpréter cette figure de la manière suivante :
Les courbes 𝑦 = 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑥 sont représentées ; et l’intersection de ces deux courbes
représente les points fixes. Suivant l'algorithme des points fixes, on commence à partir de la
valeur initiale𝑥0 , on voit sur la courbe 𝑦 = 𝑔(𝑥) au point (𝑥0 , 𝑔(𝑥0 )) et de là sur la droite
𝑦 = 𝑥 au point (𝑔(𝑥0 ), 𝑔(𝑥0 )), qui est en fait (𝑥1 , 𝑥1 ). On recommence le même processus
à partir de 𝑥1pour se rendre à (𝑥1 , 𝑔(𝑥1 )) et de là sur la droite 𝑦 = 𝑥 au point
(𝑔(𝑥1 ), 𝑔(𝑥1 )) = (𝑥2 , 𝑥2 ). On répète ce trajet jusqu'à la convergence (ou la divergence) de
l'algorithme.
Mr : ALLOUCHE Rachid
20
𝑌=𝑥
𝑔(𝑥0 )
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑟
𝑥0′
𝑥1′
Figure 2.3: Interprétation géométrique de la méthode des points fixes cas où 0 < 𝒈′ 𝒓 < 1
𝑦=𝑥
𝑔(𝑥)
𝑥0
𝑥2
𝑥4
𝑥3
𝑥1
Figure 2.3: Interprétation géométrique de la méthode des points fixes cas −1 < 𝒈 𝒓 < 0
𝑔(𝑥
𝑦=𝑥
𝑥0′
𝑥1′
𝑥2′ 𝑥3′
𝑟
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
Figure 2.3: Interprétation géométrique de la méthode des points fixes pour deux cas ; le cas où
𝑥0 > 𝑟 et 𝒈′ 𝒓 > 1 diverge et converge dans le cas où 𝑥0′ < 𝑟 et 0 < 𝒈′ 𝒓 < 1.
Exemple 2.6 :
Mr : ALLOUCHE Rachid
21
On considère la résolution de 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 , que l'on transforme en un
problème des points fixes, pareil avec les cas de premier exemple; En partant de 𝒙𝟎 = 𝟏. 𝟗 et
𝒙𝟎 = 𝟐. 𝟏 en posant 𝒆𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒓, l'erreur à l’étape 𝒊,
Compléter le tableau suivant avec un 𝜀 = 10−5 :
𝑥𝑖
i
𝑒𝑖
𝑒𝑖 𝑒𝑖+1
2.4.2. METHODE DE NEWTON
La méthode de newton est un cas particulier de la méthode des points fixes, de plus c’est la
méthode la plus utilisée pour la résolution des équations non linéaires. Et pour obtenir
l’algorithme de cette méthode, on donne une valeur initiale 𝒙𝟎 et on donne une correction à
cette dernière de tel sort que cette nouvelle valeur est une solution de la fonction 𝒇(𝒙) = 𝟎.
Il faut donc suivre les étapes suivantes :
À partir d'une valeur initiale 𝒙𝟎 de la solution, on cherche une correction 𝜹𝒙 telle que:
𝑓 𝑥0 + 𝛿𝑥 = 0
(2.16)
Au début il faut faire un développement limité de Taylor pour cette nouvelle forme qui est
représentée par la relation (17) autour de 𝑥 = 𝑥0 , on trouve:
0 = 𝑓 𝑥0
𝑓 ′′ (𝑥0 )
𝑓 ′′′ 𝑥0
2
+ 𝑓 𝑥0 𝛿𝑥 +
(𝛿𝑥) +
(𝛿𝑥)3 +∙∙∙∙∙
2!
3!
′
Il suffit maintenant de négliger les termes d'ordre supérieur ou égal à 2, car cette correction
𝛿𝑥est suffisamment petite, donc on obtient:
0 ≃ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ (𝑥0 )𝛿𝑥
On peut alors isoler la correction recherchée:
𝛿𝑥 = −
𝑓 𝑥0
𝑓 ′ (𝑥0 )
(2.17)
Selon la définition de la correction de la valeur initiale, 𝑓 𝑥0 + 𝛿𝑥 = 0. Mais à cause aux
simplifications qu’on a fait car nous avons négligé les termes d'ordre supérieur ou égal à 2
dans le développement de Taylor, donc cette correction n'est pas parfaite et on pose:
𝑥1 = 𝑥0 + 𝛿𝑥
Donc en général on peut poser :
Mr : ALLOUCHE Rachid
22
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝛿𝑥
(2.18)
Donc apartir des relations (2.17) et (2.18) en peut ecrire :
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 ′ (𝑥𝑖 )
(2.19)
On recommence le processus en cherchant à corriger 𝑥𝑖 d'une nouvelle quantité 𝛿𝑥. On obtient
alors l'algorithme suivant :
2.4.2.1.
𝑨𝒍𝒈𝒐𝒓𝒊𝒕𝒉𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎é𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏
1. É𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é ɛ, 𝑢𝑛 𝑐𝑟𝑖𝑡è𝑟𝑒 𝑑′𝑎𝑟𝑟ê𝑡
2. É𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝑁, 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
3. É𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝒙𝟎 , 𝑢𝑛𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
4. 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟:
5. 𝑆𝑖
𝒙𝒊+𝟏 −𝒙𝒊
𝒙𝒊+𝟏
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
≤𝜀
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 ′ (𝑥𝑖 )
𝑜𝑢 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0
• 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒
• é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝒙𝒊+𝟏
• 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
6. 𝑆𝑖 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑁 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡:
• 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑁 𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
• 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
7. 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑢𝑟 à 𝑙′é𝑡𝑎𝑝𝑒 4
Remarque 2.3 :
Dans l’introduction de la méthode on a dit que cette dernière est un cas particulier de la
méthode des points fixes, donc L'algorithme de la méthode de Newton peut être écrit sous la
forme:
𝒈(𝒙) = 𝒙 −
𝑓 𝑥
𝑓 ′ (𝑥)
Exemple 2.7 :
Mr : ALLOUCHE Rachid
23
Utiliser la méthode de Newton pour résoudre l'équation 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − 𝑥 = 0.
Pour la résolution, il faut obtenir la dérivée de cette fonction, qui est
𝑓 ′ (𝑥) = −𝑒 −𝑥 − 1.
L'algorithme se résume à:
𝑥𝑖+1
𝑓 𝑥𝑖
= 𝑥𝑖 − ′
𝑓 (𝑥𝑖 )
= 𝑥𝑖 −
𝑒 −𝑥 𝑖 − 𝑥𝑖
−(𝑒 −𝑥 𝑖 ) − 1
Les résultats sont compilés dans le tableau suivant à partir de 𝒙𝟎 = 𝟎.
𝑖
𝑥𝑖
𝑒𝑖
𝑒𝑖 𝑒𝑖+1
0
0,000 0000
0,5671 𝑥 10+0
−
1
0,500 0000
0,6714 𝑥 10−1
0,1183 𝑥 10 + °
2
0,566 3110
0,8323 𝑥 10−3
0,1239 𝑥 10 − 1
3
0,5671432
0,1250 𝑥 10−6
0,1501 𝑥 10~3
4
0,5671433
0,4097 𝑥 10−9
~0
On remarque la convergence très rapide de cette méthode. Il suffit de comparer ces valeurs
avec les résultats obtenus avec les autres méthodes pour le même problème. On note
également que le nombre de chiffres significatifs double à chaque itération. La dernière
colonne, qui converge vers 0, donne une indication à ce sujet. Cette colonne est censée
converger vers 𝒈′ (𝒓) , qui est donc nul dans ce cas, ce qui semble indiquer que la
convergence est quadratique.
2.4.2.2.
Interprétation géométrique
La figure (4) ci-dessous permet de donner une interprétation géométrique assez simple de la
méthode de Newton. Sur cette figure, on a représenté la fonction 𝒇(𝒙), la valeur initiale 𝒙𝟎 et
le point (𝒙𝟎 , 𝒇(𝒙𝟎 )) qui est sur la courbe.
La droite tangente à la courbe en ce point est de pente 𝒇 ′(𝒙𝟎 )et a pour équation:
𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0
(2.20)
Mr : ALLOUCHE Rachid
24
𝑥2 , 𝑓 𝑥2
𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖
𝑥3
𝑥1
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥2 𝑥0
𝑟
𝑥1 , 𝑓 𝑥1
𝑟
Figure (4): Interprétation géométrique de la méthode de Newton
Cette droite coupe l'axe des x en y = 0, c'est-à-dire en:
𝒙𝟏 = 𝒙𝟎 −
𝑓 𝑥0
𝑓 ′ (𝑥0 )
qui devient la nouvelle valeur estimée de la solution. On reprend ensuite le même
raisonnement à partir du point (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) et ainsi de suite.
2.4.2.3.
Etude de la Convergence de la Méthode de Newton :
La méthode de Newton est un cas particulier de la méthode des points fixes où:
𝒈(𝒙) = 𝒙 −
𝑓 𝑥
𝑓 ′ (𝑥)
on va prendre en considération l’études de la convergence de la méthode des points fixes. En
connais déjà que la convergence dépend de g'(r), il faut donc obtenir cette dérivée:
′
𝑔 𝑥 =1−
𝑓′ 𝑥
2
− 𝑓 𝑥 𝑓 ′′ 𝑥
𝑓′ 𝑥
=
2
𝑓 𝑥 𝑓 ′′ 𝑥
𝑓′ 𝑥
2.21
2
Puisque 𝑓(𝑟) = 0, de l’équation 2.21 en trouve que𝑔′(𝑟) = 0 et donc une convergence au
moins quadratique à la propriété de la relation suivante :
𝑔′′ 𝑥 =
𝑓 ′ 𝑥 𝑓 ′′ 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑓 ′′′ 𝑥
2
𝑓′ 𝑥
𝑓′ 𝑥
4
− 2𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑓 ′′ 𝑥
2
(2.22)
Mr : ALLOUCHE Rachid
25
Pour s'assurer que la convergence de la méthode de Newton est quadratique en général, il
suffit de calculer 𝑔"(𝑟). On a, en valeur de l'équation
Puisque
𝑓 𝑟 =0
𝑓 ′′ (𝑟)
𝑔 𝑟 = ′
𝑓 (𝑟)
′′
(2.23)
Il faut qu'on suppose que 𝑓′(𝑟) ≠ 0, ce qui n'est pas toujours vrai.
On fait avant le développement de Taylor de
𝑔 𝑟 + 𝑒𝑖
au moment où 𝒆𝒊 tend vers zéro,
représenter dans la relation 2.23 , donc a partir de cette relation on peut déduit:
𝑒𝑖+1
𝑔′′ 𝑥 2
𝑓 ′′ 𝑟 2
=
𝑒𝑖 = ′
𝑒
2
2𝑓 𝑟 𝑖
(2.24)
qui démontre bien la convergence quadratique si 𝑓′(𝑟) ≠ 0.
2.4.2.4.
Racines Multiples :
Une racine 𝒓 de la fonction 𝑓(𝑥) est dite de multiplicité 𝒎 si la fonction 𝑓(𝑥) peut s'écrire
sous la forme:
𝑓 𝑥 = 𝑥−𝑟
𝑚
𝑕 𝑥
Avec la fonction 𝑕 𝑟 ≠ 0
Si on a une racine de multiplicité 𝒎 lorsque 𝑥 = 𝑟 , on peut mettre en facteurun terme de la
forme (𝑥 − 𝑟)𝑚 .
Une racine r est de multiplicité 𝒎 (où 𝒎 est un entier) si et seulement si:
𝑓 𝑟 = 𝑓 ′ 𝑟 = 𝑓 ′′ 𝑟 = ⋯ = 𝑓 𝑚 −1 𝑟 = 0, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓 𝑚 (𝑟) ≠ 0
Et la dérivée d'ordre 𝑚 ne doit pas s'annuler en 𝑟 , comme il est indiqué dans la formule.
 Application de la méthode de newton dans le cas de la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑟
𝑚
𝑕 𝑥 .
Revenons à la condition (2.21) où :
′
𝑔 𝑥 =
𝑓′ 𝑥 = 𝑚 𝑥 − 𝑟
𝑚 −1
𝑕 𝑥 + 𝑥−𝑟
𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑚 𝑚 − 1 𝑥 − 𝑟
𝑚
𝑚 −2
𝑓 𝑥 𝑓 ′′ 𝑥
𝑓′ 𝑥
2
𝑕′ 𝑥
𝑕 𝑥 +2 𝑚 𝑥−𝑟
𝑚 −1 ′
𝑕 𝑥
+ 𝑥−𝑟
𝑚
𝑕′′ 𝑥
Mr : ALLOUCHE Rachid
26
𝑔′ 𝑥 =
=
𝑥−𝑟
𝑚
𝑕 𝑥 𝑚 𝑚 − 1 𝑥 − 𝑟 𝑚 −2 𝑕 𝑥 + 2 𝑚 𝑥 − 𝑟 𝑚 −1 𝑕′ 𝑥
𝑚 𝑥 − 𝑟 𝑚 −1 𝑕 𝑥 + 𝑥 − 𝑟 𝑚 𝑕′ 𝑥
+ 𝑥−𝑟
𝑚
𝑕′′ 𝑥
Après simplification on arrive a :
𝑔′ 𝑥 =
𝑕 𝑥 𝑚 𝑚 − 1 𝑕 𝑥 + 2𝑚 𝑥 − 𝑟 𝑕′ 𝑥 + 𝑥 − 𝑟 2 𝑕′′ 𝑥
𝑚𝑕 𝑥 + 𝑥 − 𝑟 𝑕′ 𝑥 2
Et
𝑔′ 𝑟 =
𝑕 𝑟 𝑚 𝑚−1 𝑕 𝑟 +
1
=1−
2
2
𝑚 𝑕 𝑟
𝑚
Il est clair que 𝑔′(𝑟) = 0 seulement pour 𝑚 = 1, c'est-à-dire si on a une racine simple (de
multiplicité 1). La convergence ne sera donc quadratique que pour les racines simples. Dans le
cas contraire ou 𝑚 ≠ 1 , la méthode de Newton converge linéairement avec un taux de
convergence de 1 − 1/𝑚 . On remarque aussi que plus 𝒎 est grand, plus la convergence est
lente, car 𝑔′(𝑟) est deplus en plus près de 1.
Exemple 2.8 :
La fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 2𝑥 2 ; on cherche si 𝑓 𝑥 possède une racine de multiplicité
en 𝑥 = 0. Donc on va dériver la fonction jusqu’au 𝑓 𝑚 𝑟 ≠ 0
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 2𝑥 2
𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 + 4𝑥
𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 + 4
On a 𝑓 𝑥 = 0, 𝑓 ′ 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑓 ′′ 𝑥 ≠ 0 et𝑓 ′′ 𝑥 = 4 ≠ 0 donc on s’arrête ici a la dérivée
seconde donc 𝑚 = 2
2.4.2.5.
Accélération de la Convergence :
On va montrer comment récupérer la convergence quadratique dans le cas des racines
multiples.
Pour passer d’un problème où la convergence est linéaire dans la méthode de newton à une
convergence quadratique, il faut juste considérer la fonction:
𝑢 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥
Et l’algorithme de Newton devenu comme suite :
Mr : ALLOUCHE Rachid
27
𝑥𝑖+1
𝑓 𝑥𝑖
𝑢 𝑥𝑖
𝑓 ′ 𝑥𝑖
= 𝑥𝑖 − ′
= 𝑥𝑖 −
𝑢 (𝑥𝑖 )
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 ′ 𝑥𝑖
′
= 𝑥𝑖 −
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 ′ 𝑥𝑖
𝑓 ′ 𝑥𝑖
2
− 𝑓 𝑥𝑖 𝑓 ′′ 𝑥𝑖
2.4.3. METHODE DE LA SECANTE
La méthode de Newton possède de grands avantages, mais elle nécessite le calcul de la
dérivée de𝑓(𝑥). Si la fonction 𝑓(𝑥)est complexe, cette dérivée peut être difficile à évaluer et
peut résulter en une expression complexe. On contourne cette difficulté en remplaçant le
calcul de la pente 𝑓 ′(𝑥𝑖 )de la droite tangente à la courbe par l'expression suivante:
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) ≃
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖−1 )
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
Cela revient à utiliser la droite sécante passant par les points ( 𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )) et ( 𝑥𝑖−1 , 𝑓(𝑥𝑖−1 )) au
lieu de la droite tangente passant par ( 𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )). Ce choix est représenté à la figure 5. Il en
résulte l'algorithme suivant.
2.4.3.1. 𝑨𝒍𝒈𝒐𝒓𝒊𝒕𝒉𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎é𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔é𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆
1. É𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é ɛ, 𝑢𝑛 𝑐𝑟𝑖𝑡è𝑟𝑒 𝑑′𝑎𝑟𝑟ê𝑡
2. É𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝑵, 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
3. É𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é 𝒙𝟎 𝑒𝑡 𝒙𝟏 , 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
4. 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝒙𝒊+𝟏 −𝒙𝒊
5. 𝑆𝑖
𝒙𝒊+𝟏
≤𝜀
𝑓 𝑥𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖−1 )
𝑜𝑢 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0
• 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒
• é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝒙𝒊+𝟏
• 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
6. 𝑆𝑖 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑵 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡:
• 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑵 𝑖𝑡é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
• 𝑎𝑟𝑟ê𝑡
7. 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑢𝑟 à 𝑙′é𝑡𝑎𝑝𝑒 4
2.4.3.2.
Interprétation géométrique :
Mr : ALLOUCHE Rachid
28
La figure ci-dessous permet de donner une interprétation géométrique assez simple de la
méthode de la sécante. Sur cette figure, on a représenté la fonction 𝑓(𝑥), la valeur initiale 𝑥0 et
𝑥1 donc on a les points (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) et qui sont sur la courbe.
La droite qui passe par ces deux points a pour équation:
𝑦 = 𝑓 𝑥0 +
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑥 − 𝑥0
2.25
L’intersection avec l’axe des abscisses nous permis d’obtenir le point (𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ))
(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ))
(𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ))
(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ))
(𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ))
(𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ))
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥0
𝑥2
𝑥3
𝑥1
(𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ))
Figure 5: Interprétation géométrique de la méthode de la sécante
Remarque 2.4 :
Plusieurs remarques s'imposent au sujet de cet algorithme.
1. La dérivée de 𝒇 𝒙 n'apparaît plus dans l'algorithme.
2. Il faut fournir au départ 2 valeurs initiales. C'est ce qu'on appelle un algorithme à deux pas.
3. On choisit les valeurs initiales le plus près possible de la racine recherchée. Il n'est
cependant pas nécessaire qu'il y ait un changement de signe dans l’intervalle [𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ], comme
c'est le cas avec la méthode de la bissection.
Mr : ALLOUCHE Rachid
29
SYSTEMES D'EQUATIONS ALGEBRIQUES
3.1.
INTRODUCTION :
On peut classer les systèmes d'équations algébriques en deux grandes familles: les systèmes
linéaires et les systèmes non linéaires, qui jouent un rôle très important dans le domaine
professionnel et de recherche.
Les recherches avancées dans le domaine informatique ainsi que les mathématiques
appliquées nous permettent d'entamés des problèmes assez complexes à savoir l’interaction
fluide structure lors de la rentrée atmosphériques des engins spatiaux ou les différentes phases
de l'écoulement d'eau dans une turbine à vapeur, etc…., rencontrés dans les différentes
disciplines
comme
la
thermodynamiques,
la
mécaniques
des
fluides
et
l’aérothermodynamique, etc…
Dans ce qui suit, on entame les principales méthodes de résolution des systèmes linéaires par
des méthodes directes, à savoir la méthode d'élimination de Gauss, la décomposition LUainsi
que les méthodes itératives comme JACOBI et Gauss Seidel.
3.2.
SYSTEMES LINEAIRES
La résolution analytique ou numérique d'un système d'équations linéaires consiste à trouver un
vecteur 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 𝑇 qui est solution de ce dernier.
Soit le système d’équations linéaires suivant à résoudre :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3
⋮
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + 𝑎𝑛3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
3.1
La forme matricielle est plus pratique pour la résolution des systèmes linéaires, pour cela on
réécrit le système 3.1 par une forme matricielle représentée dans le système 3.2
ci-
dessous:
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛
⋮
⋮
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑏1
𝑥1
𝑥2
𝑏2
𝑥3 = 𝑏3
⋮
⋮
𝑥𝑛
𝑏𝑛
3.2
Mr : ALLOUCHE Rachid
30
Dans cette forme matricielle, on doit à déterminer le vecteur
vecteur 𝑏
𝑥
inconnu, par contre le
est la matrice 𝐴 sont connus.
En pratique, La taille de système varie considérablement dans les domaines à étudier.
Dans ce chapitre, on va étudier des systèmes simples
Dans la plupart des cas, nous traitons des matrices non singulières ou inversibles. Selon le
cours de l'algèbre linéaire élémentaire, la solution du système 𝐴 𝑋 = 𝐵 par la méthode de
la matrice inverse requiert à faire le produit de la matrice inverse des deux côtés du système
comme suit.
𝐴
−1
𝐴 𝑋 = 𝐴
−1
𝐵
Ce qui donne la solution du système suivant:
𝑋 = 𝐴
avec 𝐴
−1
−1
𝐵
𝐴 = 𝐼 𝑒𝑡 𝐼 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑑′𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡é
Remarque 3.1:
La résolution d’un système des équations linéaires est parfois plus délecta en passant par
l’utilisation de la matrice inverse relativement par rapport aux méthodes numériques.
Exemple 3.1 :
Soit le système linéaire suivant:
𝑥 + 3𝑦 = 4
2𝑥 + 5𝑦 = 10
La résolution de ce système est très facile, et pour avoir la solution il faut juste utiliser la
méthode simple qui permit à faire la substitution successive à ces équations.
Théoriquement, Il est possible de faire la substitution successive à des systèmes de grande
taille. Mais difficile de la présentée sous forme d'algorithme pour le résoudre numériquement.
A cause de ce problème, il est préférable d’utilisé d'autres méthodes efficaces et simples pour
résoudre un système d'équations simple.
Mr : ALLOUCHE Rachid
31
3.3.
Choix des systèmes linéaires :
3.3.1. Les Systèmes Diagonaux:
Le cas le plus simple à résoudre des systèmes linéaires sont les systèmes diagonaux, c'est-àdire que tous les coefficients de la matrice A sont nuls sauf les coefficients de la diagonale.
Exemple 3.2 :
Soit la forme matricielle suivante de système linéaire:
2 0 0 𝑥1
2
𝑥
0 3 0
2 = 9
𝑥
0 0 9 3
9
Ce système est facile à résoudre. Il faut voir séparément chaque ligne par rapport aux autres.
On arrive a la fin d’avoir la solution suivante 𝑥 = 1 3 1 𝑇 .
A partir de cet exemple, on obtient la résolution du cas général:
𝑥𝑖 =
𝑏𝑖
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 1 , 2 , ⋯ , 𝑛
𝑎𝑖𝑖
(3.3)
3.3.2. Les Systèmes Triangulaires :
Le système triangulaire inférieur ou supérieur est une matrice triangulaire inférieure (ou
supérieure) qui a tous les 𝑎𝑖𝑗 (ou tous les 𝑎𝑗𝑖 ) nuls. Ce type est très facile à résoudre.
Une matrice triangulaire inférieure ou supérieure a la forme matricielle suivante:
Matrice
Triangulaire
Inférieure
𝑎11
0
0 ⋯ 0
𝑎21 𝑎22 0 ⋯ 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 0
⋮
⋮
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Matrice
Triangulaire
supérieure
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯
0 𝑎22 𝑎22 ⋯
0
0 𝑎33 ⋯
⋮
⋮
⋮ ⋱
0
0
0 ⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
 On commence à résoudre l'équation de la première ligne pour une matrice triangulaire
inférieure, en suite on passe aux autres équations du système de haut en bas, et vice versa
pour les systèmes triangulaires supérieurs. On parle donc de descente triangulaire ou de
remontée triangulaire.
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32
Exemple 3.3 :
Cette forme représente une descente triangulaire du système linéaire:
2 0 0 𝑥1
6
𝑥
2 2 0
2 = 12
𝑥
3 2 2 3
18
Pour la résolution, la première chose il faut résoudre la première équation:
𝑥1 =
𝑏1
6
= =3
𝑎11 3
Et de résoudre une à une les autres équations de système de haut en bas, et pour avoir 𝒙𝟐 on
l’isole à partir de la deuxième ligne
2𝑥1 + 2𝑥2 = 12
donc
𝑥2 =
12−2𝑥 1
2
=3
Le vecteur solution de ce système est le suivant :
𝑥𝑖 = 3 ,
3 ,
3 2
𝑇
Donc le cas général pour la descente triangulaire est donné comme suit:
𝑥1 =
𝑏1
𝑎11
𝑖−1
𝑏𝑖 −
𝑎𝑖𝑘 𝑥𝑘
𝑘=1
𝑥𝑖 =
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 2 , 3 , ⋯ , 𝑛
3.4
𝑎𝑖𝑖
Pour le cas de la remontée triangulaire d’une matrice triangulaire supérieure, est représenté
sous la forme suivante:
𝑥𝑛 =
𝑏𝑛
𝑎𝑛𝑛
𝑛
𝑏𝑖 −
𝑥𝑖 =
𝑎𝑖𝑘 𝑥𝑘
𝑘=𝑖+1
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 𝑛 − 1 , 𝑛 − 2 , ⋯ , 2 , 1
3.5
𝑎𝑖𝑖
Mr : ALLOUCHE Rachid
33
Remarque 3.2 :
Ces deux cas de remontées triangulaires supérieurs et inferieurs sont valides si les éléments de
la diagonale 𝑎𝑖𝑖 sont tous non nuls. Dans le cas contraire, si un coefficient de la diagonale est
nul donc le déterminant de cette matrice 𝐴 égale zéro, Car le déterminant d'une matrice
triangulaire inférieure (ou supérieure) est:
𝑛
𝑑é𝑡 𝐴
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑎𝑖𝑟𝑒
=
𝑎𝑖𝑖
3.6
𝑖=1
Donc le déterminant est le produit des termes de la diagonale de la matrice 𝐴 .
Rendre un système linéaire quelconque sous forme d’une matrices triangulaires est important
pour la résolution des ces systèmes linéaires. Dans ce qui suit, on présente les étapes
nécessaires pour ramener un système linéaire quelconque à un ou plusieurs systèmes
triangulaires.
3.4.
METHODES DIRECTES :
Les méthodes directes de résolution d'un système linéaire permettent d'obtenir le
résultat de la résolution après un nombre fini d'opérations. On peut alors en déduire le temps
de calcul nécessaire à la résolution, dans la majorité des cas le temps de calcul est très long si
n est suffisamment grand.
La méthode directe principale est la méthode de la décomposition LU ainsi que la méthode
d’élimination de Gauss qui est un cas particulier de cette dernière. Ces deux méthodes sont
basées sur le principe de rendre le système à résoudre sous forme triangulaire.
Suite à l’exigence que la solution du système linéaire à résoudre reste inchangeable
quelques soit les opérations sur un système linéaire quelconque pour le ramené à un système
triangulaire. Donc il faut faire attention concernant le choix des opérations nécessaires pour
ramener le système sous une forme triangulaire sans aucun effet sur le résultat de celui de
départ.
3.4.1. Opérations Elémentaires sur les Lignes :
Pour la transformation du système 𝐴 𝑋 = 𝐵 sans aucune modification de la solution, On
peut toujours multiplier (à gauche de chaque côté) les termes de cette relation par une
Mr : ALLOUCHE Rachid
34
matrice 𝐶 inversible; la solution n'est pas modifiée puisque l'on peut re-multiplier par
𝐶
−1
pour revenir au système de départ. Ainsi:
𝐶
𝐴 𝑋 =
𝐶
𝐵
3.7
Ce nouveau système 3.7 possède la même solution que le système A X = B , à condition
que la matrice
C
soit inversible.
Exemple 3.4 :
Nous avons vu déjà la solution de système suivant:
2 0 0 𝑥1
6
𝑥
2 2 0
2 = 12
𝑥
3 2 2 3
18
Si on multiplie ce système par la matrice
1 0 0
1 2 0
1 2 1
C
(3.8)
inversible comme l’indique le système 3.7 :
2 0 0 𝑥1
2 2 0 𝑥2 =
3 2 2 𝑥3
1 0 0
1 2 0
1 2 1
6
12
18
On obtient le nouveau système suivant qui a la même solution avec le système (3.8) précédent:
2
6
9
0
4
6
0 𝑥1
6
𝑥
=
0 2
30
2 𝑥3
48
Par contre, si on multiplie le système (3.8) de départ par la matrice non inversible:
1
1
1
0
2
2
0
0
0
2 0 0 𝑥1
2 2 0 𝑥2 =
3 2 2 𝑥3
1
1
1
0
2
2
0
0
0
6
12
18
On obtient le système singulier suivant:
2
6
9
0
4
4
0 𝑥1
6
𝑥
0 2 = 30
0 𝑥3
30
qui possède une infinité de solutions.
3.4.2. Transformation D’un Système Linéaire a une Forme Triangulaire :
Les démarches à suivre pour transformer un système quelconque en un système triangulaire,
nécessite d'utiliser trois opérations élémentaires sur les lignes de la matrice. Ces trois
opérations élémentaires correspondent à trois types de matrices
C
différents. C'est la base
de la méthode d'élimination de Gauss.
Mr : ALLOUCHE Rachid
35
Les trois opérations élémentaires nécessaires sont les suivantes:
 Première opération 𝐿𝑖 ⇒ λ 𝐿𝑖 : remplacer la ligne 𝑖 par un multiple d'elle-même
 Deuxième opération 𝐿𝑖 ⇔ 𝐿𝑗 : permuter la ligne 𝑖 et la ligne
𝑗 .
 Troisième Opération 𝐿𝑖 ⇐ 𝐿𝑖 + λ𝐿𝑗 : remplacer la ligne 𝑖 par la ligne 𝑖 plus un
multiple de la ligne 𝑗 .
Ces opérations sont permises car elles sont équivalentes à multiplier le système (3.2) par une
matrice inversible.
3.4.2.1.
Multiplication d'une ligne par un scalaire :
Remplacer la ligne 𝒊 par un multiple d'elle-même 𝐿𝑖 ⇒ λ𝐿𝑖 revient à multiplier le système
linéaire (3.2) par une matrice diagonale inversible 𝐶 = 𝑀 𝐿𝑖 ⇒ λ𝐿𝑖 , dont tous les
éléments diagonaux sont 1, sauf le coefficient 𝒂𝒊𝒊 de la ligne 𝒊, qui vaut 𝝀.
Remarque 3.3 :
 Le déterminant de la matrice diagonale 𝑀 𝐿𝑖 ⇒ 𝜆 𝐿𝑖 est égale à 𝜆 . La matrice est
donc inversible si 𝜆 ≠ 0.
 La matrice inverse de la 𝑀 𝐿𝑖 ⇒ 𝜆 𝐿𝑖 est simplement 𝑀 𝐿𝑖 ⇒ 𝜆−1 𝐿𝑖 . Il suffit
donc de remplacer 𝜆 par 1 𝜆 pour inverser la matrice.
Exemple 3.5 :
Soit le système:
1
2
2 𝑥1
1
𝑥
−2 − 3 − 2 2 = 1
2
2
1 𝑥3
2
Dont la solution est 𝑥 = 7 − 9
(3.9)
6 𝑇 . Si on souhaite multiplier la ligne 2 par un facteur 5,
donc on va multiplier le système par la matrice 𝐶 = 𝑀 𝐿2 ⇒ 3𝐿2 qui est la suivante:
1
0
0
0
5
0
0
0
1
et on obtient une nouvelle forme de système précédent:
𝑥1
1
2
2
1
−10 − 15 − 10 𝑥2 = 5
𝑥3
5
4
1
2
La solution de ce nouveau système reste la même que celle du système de départ puisque la
matrice
𝐶
est inversible (et son déterminant égale à 5).
Mr : ALLOUCHE Rachid
36
3.4.2.2. Permutation de deux lignes :
L'opération élémentaire qui consiste à intervertir deux lignes 𝑃 𝐿𝑖 ⇔ 𝐿𝑗
est également
connue sous le nom de permutation de lignes. Cette opération est équivalente à la
multiplication du système (3.2) par une matrice inversible 𝐶 = 𝑃 𝐿𝑖 ⇔ 𝐿𝑗 , qui contient des
1 sur la diagonale, sauf à la ligne 𝑖 , où le 1 est dans la colonne 𝑗 , et à la ligne 𝑗 , où le 1
est dans la colonne 𝑖 . Tous les autres termes sont nuls.
Exemple 3.6 :
On veut intervertir la ligne 𝑖 = 2 et la ligne 𝑗 = 3 du système de l'exemple précédent. Il
suffit de le multiplier par la matrice:
1
0
0
0
0
1
0 1
2
2 𝑥1
1
1 −2 − 3 − 2 𝑥2 = 0
0
0
2
2
1 𝑥3
0
0
1
0 1
1 1
0 2
Pour obtenir le système suivant avec une permutation de la deuxième ligne avec la troisième
1
2
2 𝑥1
1
𝑥
2
2
1
2 = 2
𝑥
−2 −3 −2 3
1
Remarque 3.4 :
 L'inverse de la matrice 𝐶 = 𝑃 𝐿𝑖 ⇔ 𝐿𝑗 est donc la matrice 𝐶 elle-même, c'est-à-dire:
𝐶 −1 = 𝐶 .
 On montre assez facilement que le déterminant de 𝐶 est égale à −1. Lorsque l'on
permute deux lignes, le déterminant du système de départ change de signe.
3.4.2.3. Opération pour L’élimination d’un Coefficient dans une Matrice:
Cette opération élémentaire consiste à remplacer la ligne 𝑖 comme suit 𝐿𝑖 ⇐ (𝐿𝑖 + 𝜆 𝐿𝑗 ).
Cela est encore une fois équivalent à multiplier le système de départ par une matrice
inversible 𝐶 = 𝑇(𝐿𝑖 ⇐ (𝐿𝑖 + 𝜆 𝐿𝑗 )) qui vaut 1 sur toute la diagonale et 0 partout ailleurs,
sauf
𝑎𝑖𝑗 , qui vaut 𝜆 .
Mr : ALLOUCHE Rachid
37
Exemple 3.7 :
Soit le système linéaire suivant :
1
2
2 𝑥1
1
𝑥
−2 − 3 − 2 2 = 1
2
2
1 𝑥3
2
Maintenant, on souhaite remplacer la deuxième ligne 𝐿2 par 𝐿2 ⇐ (𝐿2 + 2𝐿1 ). Il suffit alors
de multiplier le système par la matrice suivante:
1 0
−2 1
0 0
0 1
1 0
2
2 𝑥1
0 −2 − 3 − 2 𝑥2 = −2 1
1 2
0 0
2
1 𝑥3
0 1
0 1
1 2
ce qui donne:
1
0
2
2
1
2
2 𝑥1
1
𝑥
2 = 3
2
𝑥
3
1
2
Remarque 3.5 :
 La matrice 𝑇(𝐿𝑖 ⇐ (𝐿𝑖 + 𝜆 𝐿𝑗 )) est inversable. Pour obtenir son inverse, il suffit de
remplacer 𝜆 𝑝𝑎𝑟 −𝜆 , c'est-à-dire:
𝑇 −1 (𝐿𝑖 ← (𝐿𝑖 + 𝜆 𝐿𝑗 )) = 𝑇(𝐿𝑖 ← (𝐿𝑖 − 𝜆 𝐿𝑗 ))
(3.10)
Cela signifie que pour revenir en arrière il suffit de soustraire la ligne que l'on vient d'ajouter.
 Dans cet exemple, pour introduire un terme 0 à la position 𝑎21 , on remplace la ligne 2
par (la ligne 2 plus 2 fois la ligne 1 ), et pour introduire un terme 0 à la position
𝑎31
pour en remplaçant la ligne 3 par (la ligne 3 moins 2 fois la ligne 1 ). On peut ainsi
transformer un système linéaire quelconque en un système triangulaire. C'est là la base sur
laquelle repose la méthode d'élimination de Gauss.
 pour les trois opérations élémentaires, seule l'opération (𝐿𝑖 ⇐ (𝐿𝑖 − 𝜆 𝐿𝑗 )) n'a pas d'effet
sur le déterminant. La permutation de deux lignes avec changement de signe, tandis que la
multiplication d'une ligne par un scalaire multiplie le déterminant par ce même scalaire.
Mr : ALLOUCHE Rachid
38
3.4.3. METHODE D’ELIMINATION DE GAUSS
La résolution d'un système linéaire par l’application de la technique d’élimination de Gauss
consiste à utiliser régulièrement les opérations élémentaires précédentes pour obtenir un
système triangulaire supérieur et introduire des zéros sous la diagonale de la
matrice 𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡é𝑒 du système considérer.
3.4.3.1.
Matrice Augmentée D’un Système Linéaire :
Soit le système linéaire (3.2) précédent, pour le résoudre par la méthode d’élimination de
Gauss il faut le mettre sous la forme d’une matrice augmentée, cette matrice est la matrice
𝑄𝑛,𝑛+1 de dimension de 𝑛 lignes et de 𝑛 + 1 colonnes que l'on obtient en ajoutant le
membre de droite 𝑏 du système linéaire à la matrice 𝐴 , cette nouvelle matrice est
représentée comme suite:
𝑎11
𝑎21
𝑎
𝑄 = 31
⋮
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13
𝑎22
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑛
3.11
L’application des opérations élémentaires pour éliminer tous les termes sous la diagonale de la
matrice augmentée d’un système linéaire doivent être effectuées à la fois sur les lignes de la
matrice 𝐴 et sur celles du vecteur 𝑏 car la matrice 𝑄 est constituée de ces deux derniers.
Remarque 3.6 :
On peut résoudre des systèmes linéaires de 𝑛 équations de la forme 𝐴 𝑋 = 𝐵 , avec 𝑡
seconds membres différents et avec une matrice 𝐴 fixée. La construction de la matrice
augmentée de ce nouveau système contenant les 𝑡 seconds membres différents est une
matrice augmentée de dimension (𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑡 ).
Exemple 3.8 :
Soit le système linéaire suivant:
Mr : ALLOUCHE Rachid
39
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 5𝑡 = 4
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 − 2𝑡 = −3
5𝑥 + 2𝑦 + 5𝑡 = 4
La matrice augmentée de ce système est la suivante :
1
1
2
5
3.4.3.2.
2
3
5
2
−3
5 4
−1
0 1
−4 −2 −3
0
5 4
Échelonnement de la matrice augmentée :
Pour l’échelonnement de cette matrice augmentée il faut suivre les démarches suivantes :
 On choisit le pivot 𝑎11 pour pouvoir éliminer les termes non nuls sous la diagonale
de la première colonne et on obtient:
𝐿′1 = 𝐿1
𝐿′2 = 𝐿2 − 𝐿1
𝐿′3 = 𝐿3 − 2𝐿1
𝐿′4 = 𝐿4 − 5𝐿1
1
0
0
0
2
1
1
−8
4
−3
5
+2 −5 −3
+2 −12 −11
+0 −20 −16
′
 On choisit le pivot 𝑎22
pour pouvoir éliminer les termes non nuls sous la diagonale
de la deuxième colonne et on obtient:
𝐿′′1 = 𝐿′1 = 𝐿1
𝐿′′2 = 𝐿′2
𝐿′′3 = 𝐿′3 − 𝐿′2
𝐿′′4 = 𝐿′4 − 8𝐿′2
1
0
0
0
2
1
0
0
4
−3
5
+2 −5
−3
−7 −8
0
−16 +20 +8
′′
 On choisit le pivot 𝑎33
pour pouvoir éliminer les termes non nuls sous la diagonale
de la troisième colonne. Mais il y a un problème dans cette dernière forme après
élimination des termes sous le deuxième pivot dans la deuxième colonne, on remarque
′′
que 𝑎33
= 0 par le fait que le nouveau pivot de la troisième colonne est égale à zéro.
′′
Donc il faut faire une permutation des deux dernières lignes car 𝑎43
≠ 0 ; ce dernier
sera le nouveau pivot de la troisième colonne.
Mr : ALLOUCHE Rachid
40
𝐿′′1 = 𝐿′1 = 𝐿1
𝐿′′2 = 𝐿′2
𝐿′′4 = 𝐿′4 − 8𝐿′2
𝐿′′3 = 𝐿′3 − 𝐿′2
1
0
0
0
2
1
0
0
4
−3
5
+2 −5 −3
−16 20 +8
0
−7 −8
Après permutation des deux dernières lignes, on remarque qu'il y a uniquement des 0 sous le
′′
nouveau pivot 𝑎33
qui égale -16 dans ce cas, donc on arrive à avoir le système triangulaire
supérieur sans faire la dernière opération. En effectuant directement la résolution de ce
système triangulaire avec la remontée triangulaire de l'algorithme.
3.4.4. Rappel sur le Choix de Pivot :
 Le choix de pivots 𝑎𝑖𝑖 doit être non nul pour toutes les étapes de calcul, si c’est le cas,
une permutation de lignes ou de colonnes est obligatoire.
 Sur le plan de calcul numérique, si le pivot désigné est trop petit (par rapport aux autres
coefficients de la matrice ou par rapport à la précision de la machine), le cumul des
erreurs numériques peut être important. donc il faut faire des permutations pour aboutir à
un pivot plus grand.
 Si on effectue des permutations sur les lignes, cela revient à modifier l’ordre des lignes
du système.
 Lorsque l’on effectue un échange de colonnes, cela revient à permuter les éléments du
vecteur inconnu 𝑥 qui sera donc différent de la solution du système initial. Donc il est
nécessaire de mémoriser toutes les permutations de colonnes afin de pouvoir reconstruire
le vecteur solution en respectant l’ordre de ses éléments correspondant au system initial.
 Dans le cas où le pivot est nul après tout pivotage alors la matrice A est singulière.
3.4.5. METHODE DE LA DECOMPOSITION 𝑳𝑼 :
Le but de cette méthode est de faire une décomposition de matrice 𝐴 en un produit de deux
matrices triangulaires une triangulaire inferieure nommée
𝐿 et la deuxième est une
triangulaire supérieure nommée 𝑈 . La question est comment cette décomposition nous
permet de résoudre le système
𝐴 𝑥 = 𝑏 Il suffit de remplacé la matrice 𝐴 par sa
décomposition représenter comme suite:
𝐴𝑥=𝐿𝑈𝑥 =𝑏
et de poser 𝑈𝑥 = 𝑦 . La résolution du système linéaire se fait alors en deux étapes:
Mr : ALLOUCHE Rachid
41
𝐿𝑦 = 𝑏
𝑒𝑡
𝑈𝑥 = 𝑦
Dans la première étape on va résoudre le premier système triangulaire
𝐿𝑦 = 𝑏
donc on
utilise une descente triangulaire sur la matrice 𝐿 pour obtenir 𝑦 et par la suite on résout le
deuxième système triangulaire 𝑈𝑥 = 𝑦 par une remontée triangulaire sur la matrice 𝑈 pour
obtenir la solution recherchée 𝑥 .
3.4.5.1.
Décomposition De CROUT :
La décomposition de CROUT est le choix le plus populaire qui consiste à imposer que tous les
coefficients de la diagonale de la matrice 𝑈 prend la valeur 1.
On essaye d’avoir cette décomposition, premièrement nous considérons une matrice de
dimension 3 sur 3, car le cas général étant similaire. On doit donc déterminer les coefficients
𝑙𝑖𝑗 𝑒𝑡 𝑢𝑖𝑗 respectivement des matrices 𝐿 𝑒𝑡 𝑈 avec 𝐴 = 𝐿 𝑈 . Donc on doit avoir la
décomposition suivante de Crout:
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑙11
𝑎23 = 𝑙21
𝑎33
𝑙31
0
𝑙22
𝑙32
0
0
𝑙33
1
0
0
𝑢12
1
0
𝑢13
𝑢23
1
Cette nouvelle présentation de la décomposition de la matrice 𝐴 = 𝐿 𝑈 de dimension
𝐴33 matrice 3 × 3 , il est clair qu'il y a 9 inconnues à déterminer donc le nombre des
inconnus à déterminer égale au nombre des lignes multiplier par le nombre des colonnes de la
matrice 𝐴 . Donc pour le cas général il y a 𝑛2 inconnues à déterminer, On peut faire la
multiplication des matrices 𝐿 𝑒𝑡 𝑈 qui égale toujours à la matrice 𝐴 , donc la présence des
différents coefficients 𝑎𝑖𝑗 est indispensable dans ce type de produit. On obtient les 9 équations
nécessaires pour déterminer les coefficients 𝑙𝑖𝑗 𝑒𝑡 𝑢𝑖𝑗 et pour le cas général il faut prendre en
considération 𝑛2 équations nécessaires pour déterminer les coefficients dans ce cas général.
1) . Multiplication des lignes de 𝐿 par la première colonne de 𝑈 On obtient :
𝑙11 = 𝑎11 𝑙21 = 𝑎21
𝑙31 = 𝑎31
On remarque que la première colonne de 𝐿 est tout simplement la première colonne de 𝐴 .
2) . Multiplication de la première ligne de 𝐿 par les colonnes de 𝑈 On obtient:
𝑙11 = 𝑎11 𝑙11 𝑢12 = 𝑎12
𝑙11 𝑢13 = 𝑎31
Mr : ALLOUCHE Rachid
42
A partir de ces résultats on tire :
𝑎12
𝑢12 =
𝑙11
𝑒𝑡
𝑢13 =
𝑎13
𝑙11
On peut avoir la première ligne de 𝑈 𝑠𝑖 𝑙𝑒 𝑐𝑜é𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑙11 ≠ 0.
3) . Multiplication des lignes de 𝐿 par la deuxième colonne de 𝑈 Les résultats obtenus
représenter comme suite:
𝑙21 𝑢12 + 𝑙22 = 𝑎22
𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 = 𝑎32
On isole les 𝑙𝑖2 de ces équations, on obtient :
𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21 𝑢12
𝑙32 = 𝑎32 − 𝑙31 𝑢12
On remarque qu’on a arrivé facilement à la deuxième colonne de la matrice 𝐿 qui est connue.
4) . Multiplication de la deuxième ligne de 𝐿 par les colonnes de 𝑈 .On trouve que:
𝑙21 𝑢13 + 𝑙22 𝑢23 = 𝑎23
On isole dans ce cas les 𝑢2𝑖 :
𝑢23 =
𝑎23 − 𝑙21 𝑢13
𝑙22
5) . Multiplication de la troisième ligne de 𝐿 par la troisième colonne de 𝑈 .
On obtient:
𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑙33 = 𝑎23
On isole maintenant 𝑙33 qui est le dernier coefficient recherché est donc:
𝑙33 = 𝑎23 − 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23
Et pour obtenir le cas général, il faut faire une génération de cet l'algorithme qui est valable
pour un système de démentions 3 × 3 .
3.5.
RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES PAR DES METHODES ITERATIVES :
La résolution numérique des grands systèmes linéaires par la méthode de
décomposition 𝐿𝑈 conduit à la tenue en mémoire d'une matrice de taille très grande. Il est
donc nécessaire d’avoir d’autres méthodes comme les méthodes itératives. Ces méthodes
Mr : ALLOUCHE Rachid
43
itératives comme JACOBI et Gauss Seidel permettent de placer uniquement les coefficients
non nuls d'une matrice en mémoire.
Les méthodes itératives possèdent donc des avantages importants pour justifier une recherche
active dans ce domaine. Cependant, contrairement à la décomposition 𝐿𝑈, le succès n'est pas
assuré quelle que soit la matrice A pour laquelle on souhaite résoudre un système linéaire de la
forme:
A X = B
Pour avoir la convergence des méthodes itératives il faut faire une attention particulière et
précaution car cette convergence n'est réalisée que dans certaines conditions que nous
préciserons. Si on assure que ces méthodes itératives convergent,
donc possèdent une
solution, mais pour les systèmes à des petites tailles de préférence d’utiliser des méthodes
directes comme élimination de Gauss, par contre les méthodes itératives deviennent
avantageuses pour les systèmes linéaires de très grande taille.
3.5.1. METHODE DE JACOBI :
Soit le système linéaire suivant présenté précédemment :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3
⋮
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + 𝑎𝑛3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
La résolution de ce système linéaire par la méthode de JACOBI impose que les éléments
𝑎𝑖𝑖 de la diagonale sont non nuls, pour permettre à isoler l’inconnu 𝑥𝑖 de la diagonale de
chaque ligne du système. À partir d'une approximation initiale de la solution donnée
𝑥 = 𝑥10
𝑥20
⋯ 𝑥𝑛0
𝑇
comme un vecteur de départ, on construit l'algorithme:
A partir de chaque équation de ce système linéaire on isole.
𝑏1
𝑏1
𝑥1 =
− 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 =
−
𝑎11
𝑎11
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
(3.12)
𝑗 =1
On remarque que nous sommes en train de chercher un inconnu 𝑥1 à partir des autres
inconnus, il est obligé de rentrer en jeu les valeurs du vecteur initial comme des valeurs
précédente, on les nomme par 𝑥𝑖𝑘 . Pour pouvoir déterminer l’inconnu 𝑥𝑖𝑘+1 actuel, donc
on fait une correction de l’équation (11)comme suit :
Mr : ALLOUCHE Rachid
44
𝑥1𝑘+1
𝑏1
𝑏1
=
− 𝑎12 𝑥2𝑘 + 𝑎13 𝑥3𝑘 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛𝑘 =
−
𝑎11
𝑎11
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =1
Pour la deuxième équation on va isoler 𝑥2 :
𝑥2𝑘+1
𝑏2
𝑏2
=
− 𝑎21 𝑥1𝑘 + 𝑎23 𝑥3𝑘 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛𝑘 =
−
𝑎22
𝑎22
1
=
𝑏 −
𝑎22 2
1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =1;𝑗 ≠2
𝑛
𝑎2𝑗 𝑥𝑗𝑘 +
𝑗 =1
𝑎2𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =3
Pour la 𝑛𝑖𝑒𝑚𝑒 équation on isole 𝑥𝑛 :
𝑥𝑛𝑘+1
𝑥𝑛𝑘+1
1
=
𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑛
𝑏𝑛
𝑘
=
− 𝑎𝑛1 𝑥2𝑘 + 𝑎𝑛2 𝑥2𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 −1 𝑥𝑛−1
=
−
𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑛𝑛
𝑛−1
𝑎𝑛𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑏𝑛 −
𝑜𝑢 𝑥𝑛𝑘+1
𝑗 =1
1
=
𝑎𝑛𝑛
𝑛−1
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =1
𝑛−1
𝑛
𝑎𝑛𝑗 𝑥𝑗𝑘 +
𝑏𝑛 −
𝑗 =1
𝑎𝑛𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =𝑛+1
On a isolé le coefficient de la diagonale de chaque ligne du système. C'est la méthode de
JACOBI car on a utilisé le vecteur initial pour déterminer les inconnus par une méthode
itérative. Si l'un des coefficients diagonaux est nul, il est parfois possible de permuter
certaines lignes pour éviter cette situation. Plus généralement, on écrit:
𝑥𝑖𝑘+1
1
=
𝑏 −
𝑎𝑖𝑖 𝑖
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
3.13
𝑗 =1 ,𝑗 ≠𝑖
𝑞𝑢𝑖 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑠′𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟:
𝑥𝑖𝑘+1
1
=
𝑏 −
𝑎𝑖𝑖 𝑖
𝑖−1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 +
𝑗 =1
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =𝑖+1
Mr : ALLOUCHE Rachid
45
Exemple 3.9 :
1. Résoudre le système linéaire suivant par la méthode d’élimination de Gauss et faire
trois itérations de la méthode de Jacobi, on donne le vecteur initial
0
0
0 𝑇.
1𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 1
−2𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 = 1
2𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 = 2
2. Résoudre le système linéaire suivant par La méthode de Jacobi et prendre en
considération ou 𝑎𝑖𝑖 = 0et quelle est l’opération qu’il faut faire ?
0𝑥1 + 3𝑥2 + 1𝑥3 = 7
5𝑥1 − 1𝑥2 − 2𝑥3 = 15
3𝑥1 − 4𝑥2 + 8𝑥3 = 9
On doit donc résoudre le système numériquement avec 𝑥𝑖0 = 0
0 𝑇.
0
Comparer les résultats de votre programme avec le tableau suivant :
k
1
𝑥1𝑘+1
3,000 000
𝑥2𝑘+1
2,333 333
k
𝑥3𝑘+1
1,125 000 8
𝑥1𝑘+1
𝑥2𝑘+1
3,001 706 1,999 582
𝑥3𝑘+1
0,994 268
2
2,983 333
1,958 333
1,166 667
9
2,997 791 2,001911
0,999151
3
3,075 000
1,944 444
0,985417
10
2,999 278 2,000 283
1,001784
4
3,005 278
2,004 861
0,944 097
11
3,000 657 1,999 405
1,000 412
5
2,976 667
2,018 634
1,000451
12
3,000 284 1,999 863
0,999456
6
2,996454
1,999 850
1,018 067
13
2,999810
2,000 181
0,999 825
7
3,007257
1,993 978
1,001255
14
2,999 894 2,000 058
1,000162
3.5.1.1.
Condition De La Convergence De La Méthode De Jacobi :
On dit que la résolution d’un système linéaire par la méthode de JACOBI converge si la
matrice 𝐴 de ce système est une matrice à diagonale strictement dominante, la matrice 𝐴 est
une matrice à diagonale strictement dominante si le terme diagonal de la matrice 𝐴 est
absolument dominant car sa valeur absolue soit plus grande que la somme des valeurs
absolues de tous les autres termes de la ligne:
𝑛
𝑎𝑖𝑖 =
𝑎𝑖𝑗
∀𝑖
3.14
𝑗 =1,𝑗 ≠𝑖
Mr : ALLOUCHE Rachid
46
3.5.2. METHODE DE GAUSS-SEIDEL
La méthode de Gauss-Seidel est une amélioration de la méthode de Jacobi. On sait que dans le
cas général la méthode de Jacobi s'écrit:
𝑥𝑖𝑘+1
1
=
𝑏 −
𝑎𝑖𝑖 𝑖
𝑖−1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 +
𝑗 =1
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =𝑖+1
La méthode de Gauss-Seidel est faite selon laquelle le calcul de 𝑥2𝑘 +1 nécessite l'utilisation de
𝑥1𝑘 , 𝑥3𝑘 , • • •, 𝑥𝑛𝑘 provenant de l'itération précédente. Mais à l’instant 𝑘 + 1 , au moment du
calcul de 𝑥2𝑘+1 , on a déjà une meilleure approximation de 𝑥1 c’est 𝑥1𝑘+1 , donc on va
l’utilisée à la palace de 𝑥1𝑘 pour voir 𝑥2𝑘+1 comme l’indique la formule suivante.
𝑥2𝑘+1 =
𝑏2
− 𝑎21 𝑥1𝑘+1 + 𝑎23 𝑥3𝑘 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛𝑘
𝑎22
1
=
𝑏 −
𝑎22 2
1
𝑛
𝑎2𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 +
𝑗 =1
𝑎2𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =3
𝑘+1
Plus généralement, pour le calcul de 𝑥𝑖𝑘+1 , on peut utiliser 𝑥1𝑘+1 , 𝑥2𝑘+1 , • • •, 𝑥𝑖−1
déjà
𝑘
𝑘
calculés et les 𝑥𝑖+1
, 𝑥𝑖+1
, • • •, 𝑥𝑛𝑘 de l'itération précédente.
Cela revient à écrire:
𝑥𝑖𝑘+1
3.5.2.1.
1
=
𝑏 −
𝑎𝑖𝑖 𝑖
𝑖−1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 +
𝑗 =1
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑗 =𝑖+1
Convergence De La Méthode De Gauss-Seidel
Si la matrice A est à diagonale strictement dominante et les coefficients de la diagonale
différent, donc même condition comme la méthode de Jacobi.
Mr : ALLOUCHE Rachid
47
INTERPOLATION
4.1.
Introduction
Dans ce chapitre on s’intéresse à faire une approximation d’une fonction par des
polynômes. À partir d'une fonction 𝑓 𝑥 inconnue explicitement mais elle est connue
seulement en (𝑛 + 1) points de la forme 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖
pour𝑖 = 0, 1, 2, ⋯ ⋯ , 𝑛); pour la
résolution de cette fonction, la majorité de temps on a besoin de dériver ou d’intégrer cette
fonction 𝑓.
On cherche donc d’obtenir une approximation de cette fonction par un polynôme plus simple
pour une valeur de 𝑥 différente des valeurs des points d’appuis 𝑥𝑖 , tel que 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥𝑛
comme l’indique la figure 1 ci-dessous.
Un polynôme de degré n dont la forme générale est:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 + 𝛽2 𝑥 2 + 𝛽3 𝑥 3 + ⋯ … . + 𝛽𝑛 𝑥 𝑛
𝑎𝑣𝑒𝑐 (𝜷𝒏 ≠ 0)
(4.1)
Possède très exactement n racines 𝑟𝑖 qui peuvent être réelles ou complexes conjuguées. On sait
que la fonction et le polynôme passent tous les deux par les mêmes points d’appuis, donc
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑃𝑛 𝑥𝑖 , espérons toujours que le polynôme 𝑃𝑛 𝑥 obtenu ne sera pas trop écarté de la
fonction 𝑓 𝑥 pour les différents points 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥𝑛 .
?
?
𝑥0
𝑥1
𝑥
𝑥2
𝑥 ′ 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛
Figure 1 : Schéma synoptique d’un exemple de problème d'interpolation
4.1.1. Théorème d’approximation de Weierstrass :
Toute fonction 𝑓 continue sur un intervalle 𝑥0 , 𝑥𝑛 et pour tout 𝜀 > 0, il existe un polynôme
𝑃 tel que :
∀ 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥𝑛 , |𝑓 𝑥 − 𝑝(𝑥)|< ε
Plus ε est petit, plus que les valeurs de polynôme sont proches des valeurs de la fonction 𝑓.
Mr : ALLOUCHE Rachid
48
Dans ce chapitre, on va voir trois méthodes pour la construction des polynômes suivant les
points donnés de colocation.
4.2.
MATRICE DE VANDERMONDE
Le but de cette méthode est de construire un polynôme de degré 𝑛 qui passe par les (n+1)
points d’interpolation
𝑃𝑛 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖
(𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖) pour𝑖 = 0 , 1, 2 , 3, … . , 𝑛, avec la condition que
car le polynôme𝑃𝑛 𝑥 et la fonction 𝑓(𝑥) passent par les mêmes points
d’appuis. Le polynôme cherché est de la forme suivante :
𝑃𝑛 𝑥 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖 + 𝛽2 𝑥𝑖2 + 𝛽3 𝑥𝑖3 + ⋯ … . + 𝛽𝑛 𝑥𝑖𝑛
La première des choses, il faut qu’on détermine les inconnues 𝛽𝑖 du polynôme (4.1) qui
vérifient la condition suivante :
𝑃𝑛 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖
𝑝𝑜𝑢𝑟
𝑖 = 0 , 1, 2, … . . , 𝑛
A partir de ces points de colocation et la condition 𝑃𝑛 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 , qui est un système linéaire
de (n +1) équations en (n +1) inconnues. Ce système s'écrit sous la forme matricielle
suivante :
𝑥00
𝑥10
𝑥20
⋮
𝑥𝑛0
𝑥01
𝑥11
𝑥21
⋮
𝑥𝑛1
𝑥02
𝑥12
𝑥22
⋮
𝑥𝑛2
𝑥03
𝑥13
𝑥23
⋮
𝑥𝑛3
…
…
…
⋱
…
𝑥0𝑛
𝑥1𝑛
𝑥2𝑛
⋮
𝑥𝑛𝑛
𝛽0
𝛽1
𝛽2 =
⋮
𝛽𝑛
𝑓 𝑥0
𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥2
⋮
𝑓 𝑥𝑛
4.2
La matrice 𝑋𝑖 de ce système linéaire est appelée de matrice de Vandermonde.
Remarque 4.1 :
Cette méthode est rarement utilisée, car il n'est pas nécessaire de résoudre un système linéaire
pour calculer un polynôme d'interpolation, surtout si le nombre des points d’appuis est grand.
Exemple 4.1 :
Calculer le polynôme qui passe par les quatre points d’interpolation (𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖) suivantes
(−1, 1), (1, 1), (2 , 4) 𝑒𝑡 (3, 9), avec la matrice de Vandermonde.
Mr : ALLOUCHE Rachid
49
4.3.
INTERPOLATION DE LAGRANGE
L'interpolation de Lagrange propose une technique différente et plus efficace pour calculer le
polynôme de collocation par apport à la méthode précédente de Vandermonde. Cette
technique est basée sur l’idée simple pour construire un polynôme d’interpolation.
Étant donné (𝑛 + 1) points (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )) qui sont les points d’appuis à partir de ces points, on
va construire un polynôme 𝑃𝑛 (𝑥) de degré 𝑛donné par l’expression suivante :
𝑛
𝑃𝑛 𝑥 =
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 (𝑥)
4.3
𝑖=0
Donc il faut déterminer les (𝑛 + 1) polynômes𝐿𝑖 𝑥 qui passent par les (𝑛 + 1) points
d’appuis donnés, pour arriver en fin à obtenir le polynôme de collocation 𝑃𝑛 𝑥 .
On construit les (n +1) polynômes 𝐿𝑖 (𝑥)de degré n qui satisfont les conditions suivantes :
𝐿𝑖 𝑥𝑖 = 1
𝐿𝑖 𝑥𝑗 = 0
∀𝑖
∀𝑗 ≠ 1
4.4
Le polynôme d’interpolation qu’on trouve à la fin est de degré 𝑛 nommé 𝑃𝑛 𝑥 , car chacun
des 𝐿𝑖 𝑥 est un polynôme de degré 𝑛. De plus, cepolynôme passe par les (n+1) points de
collocation et est donc le polynôme recherché. En effet, suivant les conditions mentionnées
dans l’expression 4.4 , il est facile de montrer que.
𝑛
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 (𝑥𝑗 ) = 𝑓 𝑥𝑗
𝑃𝑛 𝑥𝑗 =
𝑖=0
𝐿 𝑥𝑗 +
𝑗
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 (𝑥𝑗 ) = 𝑓 𝑥𝑗 , ∀𝑗
𝑖=0,𝑖≠𝑗
A partir de la deuxième condition de 4.4 , on a :
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 (𝑥𝑗 ) = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗
𝑖=0,𝑖≠𝑗
Il nous faut juste de construire les 𝑛 + 1 polynômes 𝐿𝑖 (𝑥) de degré n. tel que leurs degré n
est le même degré du polynôme qu’on va le construire.
Mr : ALLOUCHE Rachid
50
4.3.1. Construction Polynômes de Degré 𝟏 :
Soit les deux points d’appuis ((𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) et ( 𝑥1 , 𝑓 𝑥1 , pour obtenir un polynôme de
degré1 à partir de ces points, il faut construire deux polynômes 𝐿0 (𝑥) et 𝐿1 (𝑥) de degré 1 qui
vérifient les conditions 4.4 :
𝐿0 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟é 1 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝐿0 𝑥0 = 1 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0
𝐿0 𝑥1 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1
𝐿1 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟é 1 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝐿1 𝑥0 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0
𝐿1 𝑥1 = 1 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1
Le polynôme 𝐿0 𝑥 et un polynôme de degré 𝟏 qui doit s'annuler en 𝑥 = 𝑥1 . Donc la première
tentative sur la forme de ce polynôme qui répond à la deuxième condition de la relation 4.4
est la suivante:
(𝑥 − 𝑥1 )
cette dernière s'annule en x =𝑥1 , mais qui vaut (𝑥0 − 𝑥1 ) en 𝑥 = 𝑥0 et s'assurer d'une
valeur 1 en 𝑥 = 𝑥0 . Pour avoir si ce nouveau polynôme répond à la première condition de
la relation 4.4 , il suffit d’effectuer la division par 𝑥0 − 𝑥1 pour obtenir:
𝐿0 𝑥 =
(𝑥 − 𝑥1 )
(𝑥0 − 𝑥1 )
Avec les mêmes étapes qu’on a faites pour avoir 𝐿0 𝑥 on trouve le polynôme 𝐿1 (𝑥):
𝐿1 𝑥 =
(𝑥 − 𝑥0 )
(𝑥1 − 𝑥0 )
Ces deux polynômes 𝐿0 𝑥 𝑒𝑡𝐿1 𝑥 sont illustrés par la figure 2.
𝐿0 𝑥
𝐿1 𝑥
1
𝒙𝟎
𝒙𝟏
Figure 2: Polynômes 𝐿0 𝑥 𝑒𝑡 𝐿1 𝑥 de degré 1 de Lagrange.
Mr : ALLOUCHE Rachid
51
Le polynôme de degré 1 est donc:
𝑃1 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥
Exemple 4.2 :
Construire un polynôme qui passe par les deux points d’appuis(1 , −2) 𝑒𝑡 (3 , 5)
4.3.2. Construction d’un Polynômes De Degré 𝟐 :
Pour construire le polynôme de degré 2, il faut avoir trois points 𝑥0 , 𝑓 𝑥0
, 𝑥1 , 𝑓 𝑥1
et
𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ) . A partir de ces points d’interpolation on doit construire trois polynômes 𝐿𝑖 (𝑥).
Pour la construction de ces trois polynômes on suit le même raisonnement. Le
polynôme 𝐿0 (𝑥). s'annule cette fois en (𝑥0 − 𝑥1 ) et en (𝒙𝟎 − 𝒙𝟐 ). On doit forcément avoir
un coefficient de la forme:
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
qui vaut (𝒙𝟎 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 − 𝒙𝟐 ) en 𝒙 = 𝒙𝟎 . Pour satisfaire la condition 𝐿0 𝑥0 = 1 il suffit
alors de diviser le coefficient par cette valeur et 𝐿0 (𝑥) est donnée sous la forme suivante :
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
𝐿0 𝑥 =
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 → 𝐿0 𝑥0 = 1
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1 → 𝐿0 𝑥1 = 0
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥2 → 𝐿0 𝑥2 = 0
De la même manière, on obtient les polynômes 𝐿1 𝑥 et 𝐿2 𝑥 définies par:
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )
𝐿1 𝑥 =
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 → 𝐿1 𝑥0 = 0
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1 → 𝐿1 𝑥1 = 1
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥2 → 𝐿1 𝑥2 = 0
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )
𝐿1 𝑥 =
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 → 𝐿2 𝑥0 = 0
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1 → 𝐿2 𝑥1 = 0
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥2 → 𝐿2 𝑥2 = 1
Mr : ALLOUCHE Rachid
52
𝐿0 𝑥
𝐿1 𝑥
𝐿2 𝑥
1
𝑥1
𝑥0
𝑥2
Figure 2: Polynômes 𝐿0 𝑥 , 𝐿1 𝑥 𝑒𝑡 𝐿2 𝑥 de degré 2 de Lagrange
Le polynôme de degré 2 est donc:
𝑃2 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + 𝑓 𝑥2 𝐿2 𝑥
Remarque 4.2 :
Le nombre des polynômes 𝐿𝑖 𝑥 égale au nombre 𝑛 + 1 des points d’appuis et de degrés 𝒏.
Donc le polynôme 𝐿0 𝑥 de degré 𝟐 n’égale pas au polynôme 𝐿0 𝑥 de degré 𝟏.
Exemple 4.3 :
Construire un polynôme passant par les points d’appuis suivants 1 , −2 , 2 , 2 𝑒𝑡 (3 , 6)
4.3.3. Polynômes de degré 𝒏 :
Pour le cas général on suit de la même façon le processus précédent. Tel que le
polynôme𝐿0 𝑥 doit s'annuler en 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … . . , 𝑥𝑛 . On doit donc construire le
polynôme de tel sort que cette condition est vérifiée, et on obtient :
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) ⋯ ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
Cette dernière peut être écrite sous cette forme suivante si 𝑥 = 𝑥0
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 ) ⋯ ⋯ (𝑥0 − 𝑥𝑛 )
Et pour que 𝐿0 𝑥0 = 1, on doit faire une division ce qui donne:
Mr : ALLOUCHE Rachid
53
𝐿0 𝑥 =
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) ⋯ ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 ) ⋯ ⋯ (𝑥0 − 𝑥𝑛 )
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 → 𝐿0
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1 → 𝐿0
⋮
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 → 𝐿0
⋮
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑛 → 𝐿0
𝑥0 = 1
𝑥1 = 0
𝑥𝑖 = 0
𝑥𝑛 = 0
On remarque l'absence du terme 𝑥 − 𝑥0 dans l’expression 𝐿0 𝑥 et au même temps on
remarque qu'il y a 𝒏 facteurs de la forme 𝑥 − 𝑥𝑖 dans cette expression et qu'il s'agit bien d'un
polynôme de degré 𝒏. Pour la fonction 𝐿1 𝑥 , onpose:
𝐿1 𝑥 =
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) ⋯ ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 ) ⋯ ⋯ (𝑥1 − 𝑥𝑛 )
La même chose, on remarque l'absence du terme (𝑥 − 𝑥1 )dans l’expression 𝐿1 𝑥
L'expression générale pour le polynôme 𝐿𝑖 𝑥 est donc:
𝐿𝑖 𝑥 =
(𝑥 − 𝑥0 ) ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑖−1 )(𝑥 − 𝑥𝑖−1 ) ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
(𝑥𝑖 − 𝑥0 ) ⋯ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 ) ⋯ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛 )
𝑛
𝐿𝑖 𝑥 =
𝑘=0 𝑒𝑡 𝑘≠𝑖
(𝑥 − 𝑥𝑘 )
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 )
𝑎𝑣𝑒𝑐
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 → 𝐿𝑖
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥1 → 𝐿𝑖
⋮
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 → 𝐿𝑖
⋮
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑛 → 𝐿0
(4.5)
𝑥0 = 0
𝑥1 = 0
𝑥𝑖 = 1
𝑥𝑛 = 0
où cette fois, seul le facteur (𝑥 − 𝑥𝑖 ) est absent. Le polynôme 𝐿𝑖 𝑥 est donc un polynôme de
degré 𝒏 qui vaut 1 en (𝑥 = 𝑥𝑖 ) et qui s'annule à tous les autres points de collocation.
 On peut récapituler cette méthode pour avoir un polynôme suivant les points d’appuis :
Suivant un nombre de (n+1) points de colocation 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖
pour (𝑖 = 0 , 1, 2, … . . , 𝑛),
on obtient l'unique polynôme d'interpolation de degré n passant par tous ces points, qui
peut s'écrire :
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛−1 𝐿𝑛−1 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑛 𝐿𝑛 𝑥
(4.6)
Où les (n+1) polynômes 𝐿𝑖 (𝑥) sont définies par la relation (4.5).
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54
Exemple 4.4 :
Construire le polynôme passant par les points
1 , −2 , 2 , 2 , 3 , 6 𝑒𝑡 4 , 9 par
l'interpolation de Lagrange.
Remarque 4.3 :
La méthode d'interpolation de Lagrange présente un inconvénient majeur: elle n'est pas
récursive. On ne peut pas passer d'un polynôme de degré 𝒏 à un polynôme de degré
n + 1 , on doit reprendre tout le processus à zéro car, chacun des 𝐿𝑖 𝑥 dépend de tous les
nœuds. Donc de préférence d’avoir une autre technique récursive qu’on verra juste après.
4.4.
POLYNOME DE NEWTON
Dans cette partie au lieu de prendre la forme générale de l'expression (4.1) d'un polynôme qui
est la plus utilisée. Il est préférable d’utiliser cette nouvelle forme de l’expression (4.7)
présentée ci-après qui est la plus adaptée dans les cas de l'interpolation:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0
+𝑎1 𝑥 − 𝑥0
+𝑎2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
+𝑎3 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
(4.7)
⋮
+𝑎𝑛−1 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛 −2
+𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
⋯
𝑥 − 𝑥𝑛−1
Suivant la forme d’expression (4.7), il est bien clair que ce polynôme 𝑃𝑛 𝑥 est de degré 𝑛.
Il faut maintenant déterminer les (𝑛 + 1) coefficients 𝒂𝒊 de telle sorte que 𝑷𝒏 (𝒙) passe par
les (n + 1) points de collocation (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 0 , 1 , 2, . . … , 𝑛). Pour ces différents
points de colocation on peut arriver à l’expression (4.8) qui garantit que le polynôme passe
par les mêmes points d’appuis:
𝑃𝑛 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 0 , 1 , 2, . . … , 𝑛).
(4.8)
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55
4.4.1. Détermination des coefficients de polynôme de degré 𝒏 :
4.4.1.1.
Détermination de coefficient 𝒂𝟎 :
Si 𝑥 = 𝑥0 , donc les coefficients de l’expression 4.7 s'annulent tous, sauf le premier.
De plus de l’équation (4.8) on peut mettre :
𝑃𝑛 𝑥0 = 𝑎0 = 𝑓 𝑥0
 Donc le premier coefficient et le suivant:
𝑎0 = 𝑓 𝑥0
4.4.1.2.
(4.9)
Détermination de coefficient 𝒂𝟏 :
Pour avoir 𝒂𝟏 il suffit de poser la condition 𝑥 = 𝑥1 ,doncla forme de l’expression (4.7)
est devenue comme suite :
𝑃𝑛 𝑥1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 = 𝑓 𝑥0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 = 𝑓 𝑥1
Ce qui permet d'isoler 𝒂𝟏 pour obtenir:
𝑎1 =
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
= 𝑓 𝑥0 , 𝑥1
 On définit les premières différences divisées de la fonction 𝑓(𝑥)par :
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 =
𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
(4.10)
Et, on peut le mettre le coefficient 𝑎1 comme suite
𝑎1 = 𝑓 𝑥0 , 𝑥1
(4.11)
Et pour avoir le polynôme de degré 1 qui passe par les points (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) et (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )). il
faut prendre en compte uniquement les deux premiers coefficients de l’expression (47) et les
expressions 4.9 𝑒𝑡 4.11 pour avoir la forme suivante de 𝑃1 𝑥 .
𝑃1 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑥 − 𝑥0
4.4.1.3.
Détermination de coefficient 𝒂𝟐 :
Le troisième coefficient 𝒂𝟐 est à son tour déterminé par l’expression suivante:
𝑃𝑛 𝑥2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓 𝑥2
Ou encore
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56
𝑃𝑛 𝑥2 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑥2 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓 𝑥2
En isolant 𝑎2 , en obtient :
𝑎2 =
=
1
𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1
1
𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥0 ) − 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑥2 − 𝑥0
𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥0 )
𝑥2 − 𝑥0
− 𝑓 𝑥0 , 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥0
Suivant les premières différences divisées on peut mettre :
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 =
𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
On arrive donc à une expression qui fait intervenir une différence divisée de différences
divisées.
𝑎2 =
1
(𝑓 𝑥1 , 𝑥2 − 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥0
 Les deuxièmes différences divisées de la fonction 𝑓 𝑥 sont définies à partir des
premières différences divisées par la relation :
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 =
𝑓 𝑥 𝑖+1 ,𝑥 𝑖+2 −𝑓 𝑥 𝑖 ,𝑥 𝑖+1
𝑥 𝑖+2 −𝑥 𝑖
(12)
Suivant cette notation, on a:
𝑎2 = 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2
Le polynôme 𝑃2 𝑥 passant par les trois premiers points de collocation est le suivant :
𝑃2 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
𝑃1 (𝑥)
Donc on peut l’écrire sous la forme récursive suivante :
𝑃2 𝑥 = 𝑃1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
Remarque 4.4 :
Mr : ALLOUCHE Rachid
57
On remarque que ce polynôme de degré 2 s'obtient simplement par l'ajout d'un terme de degré
2 au polynôme 𝑃1 (𝑥) déjà calculé. En raison de cette propriété, cette méthode est dite
récursive. Donc par récurrence, on peut déterminer tous les coefficients.
4.4.2. DIFFERENCES DIVISEES :
On introduit la notation 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 , (tel que 𝑓 𝑥𝑖 soit les 0𝑖𝑒𝑚𝑒𝑠 différences)
Les premières différences divisées
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 =
𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
Les deuxièmes différences divisées
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 =
𝑓 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 − 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1
𝑥𝑖+2 − 𝑥𝑖
En plus généralement la 𝑝𝑖𝑒𝑚𝑒 différence divisée, notée
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 , ⋯ , 𝑥𝑖+𝑝
Tel que :
𝑓 𝑥𝑖+1 , ⋯ , 𝑥𝑖+𝑝 − 𝑓 𝑥𝑖 , ⋯ , 𝑥𝑖+ 𝑝−1
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 , ⋯ , 𝑥𝑖+𝑝 =
(4.13)
𝑥𝑖+𝑝 − 𝑥𝑖
Le polynôme de Newton de degré 𝑛 s’écrit comme suite :
𝑛 −1
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓[𝑥0 ] + 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 ](𝑥 − 𝑥0 ) + . . . + 𝑓[𝑥0 , . . . , 𝑥𝑛 ]
(𝑥 − 𝑥𝑖 )
𝑖=0
L'unique
polynôme
de
degré
n
passant
par
les
(n+1)
points
de
collocation
((𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 0, 1, 2, … . . , 𝑛) peut s'écrire selon la formule d'interpolation de
Newton (7) ou encore sous la forme récursive:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑃𝑛 −1 𝑥 + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛 −1
(4.14)
Les coefficients de ce polynôme sont les différences divisées:
𝑎𝑖 = 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑖
𝑝𝑜𝑢𝑟
0≤𝑖≤𝑛
(4.15)
Mr : ALLOUCHE Rachid
58
Une fois les coefficients 𝑎𝑖 déjà connus, on peut évaluer le polynôme de Newton
aumoyen d'un algorithme similaire au schéma d'Horner représenté par la relation suivante:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑎1 + 𝑥 − 𝑥1 𝑎2 + 𝑥 − 𝑥2 𝑎3 + ⋯
(4.16)
+ 𝑥 − 𝑥𝑛 −2 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯
Remarque 4.5 :
Suite à ce schéma d’Horner présenté dans l’expression (4.16), on réduit le
nombre d'opérations nécessaires à l'évaluation du polynôme. De plus, cette forme est
moins sensible aux effets des erreurs d'arrondis.
Il reste maintenant à calculer efficacement la valeur de ce polynôme. La manière la plus
simple consiste à construire une table dite de différences divisées de la façon suivante.
𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖+2 , 𝑥𝑖+3
𝑎0
𝑥0
𝑓 𝑥0
𝑥1
𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥0 , 𝑥1
𝑥2
𝑓 𝑥2
𝑓 𝑥1 , 𝑥2
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2
𝑥3
𝑓 𝑥3
𝑓 𝑥2 , 𝑥3
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
𝑥4
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
𝑓 𝑥4
𝑓 𝑥3 , 𝑥4
𝑓 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4
𝑎1
𝑎4 = 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 =
𝑎2
𝑎3
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3, , 𝑥4 − 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2, , 𝑥3
𝑥4 − 𝑥0
4.17
La construction de cette table est simple. On a présenté les premières, deuxièmes et troisièmes
différences divisées, Nous pouvons obtenir les autres différences divisées de la même manière
comme l’expression 4.17 qui représente le coefficient 𝑎4 .
Remarque 4.6 :
Mr : ALLOUCHE Rachid
59
Cette fois-ci, la forme de polynôme de Newton est bien adaptée à un algorithme, il suffit de
calculer les coefficients à l’aide de la définition des différences divisées par récurrence.
Exemple 4.5 :
Construire le polynôme passant par les points
1 , −2 , 2 , 2 , 3 , 6 𝑒𝑡 4 , 9
par
l'interpolation de Newton.
4.4.3. ERREUR D'INTERPOLATION
L'interpolation permet, à partir des valeurs des points d’appuis dans un intervalle 𝐼, de
faire l'approximation de 𝑓 𝑥 en tout point 𝒙 ∈ 𝑰. On peut exprimer l'erreur d'interpolation de
la façon suivante:
𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝐸𝑛 𝑥
Cela signifie que le polynôme 𝑃𝑛 𝑥 de degré 𝑛 procure une approximation de la fonction
𝒇(𝒙) avec une erreur 𝐸𝑛 𝑥 . Il reste à évaluer cette erreur. Au niveau des points d’appuis
l’erreur est nulle car la fonction et le polynôme passe par le même point d’appui, on constate
immédiatement que :
𝐸𝑛 𝑥𝑖 = 0
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 1 , 2 , 3 , ⋯ 𝑛
Remarque 4.7 :
On suppose que les données des points((𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )) sont exactes, ce qui n'est pas toujours le
cas. En effet, si ces données proviennent des mesures expérimentales, elles peuvent avoir une
erreur de mesure. Dans ce qui suit, nous supposons que cette erreur est nulle.
Théorème
On suppose que la fonction 𝑓 𝑥 est définie dans l'intervalle [𝑥0 , 𝑥𝑛 ] et qu'elle est (𝑛 + 1)
fois dérivable dans cet intervalle. Alors pour arriver à une erreur maximale, pour tout x
compris dans [𝑥0 , 𝑥𝑛 ], il faut chercher une valeur 𝜉 𝑥 appartient à cet intervalle, tel
que 𝑓 𝑛 +1 𝜉(𝑥) est la valeur maximale ∀ 𝑥 ∈ 𝑥0 , 𝑥𝑛 . A la fin on arrive à l’expression
analytique de l'erreur d'interpolation donnée par l’expression suivante :
𝐸𝑛 𝑥 =
4.4.3.1.
𝑆𝑢𝑝 𝑓 𝑛+1 𝜉 𝑥
𝑛+1 !
𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥1 ) ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
4.18
Estimation de L’erreur Dans le Cas où La Fonction 𝒇 est Inconnue :
Mr : ALLOUCHE Rachid
60
L'expression analytique de l'erreur d'interpolation 4.18 ne permet pas d'évaluer la
précision de l'approximation. Cela est possible avec la formule de Newton. En effet,
l'expression 4.18 fait intervenir la dérivée d'ordre (𝑛 + 1) de la fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝜉 .
C'est ce terme qu'il est nécessaire d'estimer, puisque c'est le seul qui ne peut être évalué
exactement.
Considérons le cas particulier où les abscisses 𝑥𝑖 sont également distantes, c'est-à-dire où:
𝑕 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
Il faut établir un lien entre les dérivées de la fonction 𝑓(𝑥) et les différences divisées.
On remarque dans un premier temps que 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 est une approximation d'ordre 1 de la
dérivée de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 = 𝑓 ′ 𝑥0 + 𝜃 𝑕
En effet, on a:
𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 =
=
𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓 𝑥0
𝑕
En utilisant le développement de Taylor de 𝑓 𝑥0 + 𝑕 , on obtient:
𝑕2
𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝑕 + 𝑓 ′′ 𝑥0
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 =
3
2 +𝜃 𝑕
− 𝑓 𝑥0
𝑕
′
= 𝑓 𝑥0
𝑓 ′′ 𝑥0 𝑕
+
+ 𝜃 𝑕2 = 𝑓 ′ 𝑥0 + 𝜃 𝑕
2
De même, on peut montrer qu'à une constante près, la 𝑛𝑖𝑒𝑚𝑒 différence divisée de 𝑓(𝑥) est une
approximation d'ordre 1 de la dérivée 𝑛𝑖𝑒𝑚𝑒 de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0
On peut en effet démontrer que:
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 =
On suppose que la dérivée 𝑛 + 1
𝑖𝑒𝑚𝑒
𝑓
𝑛
𝑥0
+𝜃 𝑕
𝑛!
(4.19)
de 𝑓(𝑥) varie peu dans l'intervalle [𝒙𝟎 , 𝒙𝒏 ]. On a alors
l'approximation suivante:
𝑎𝑛+1 = 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 ≃
𝑓
𝑛+1
𝑥0
𝑓 𝑛+1 𝜉
≃
𝑛+1 !
𝑛+1 !
Mr : ALLOUCHE Rachid
61
On peut ainsi estimer le terme d'erreur 4.18 par:
𝐸𝑛 𝑥 ≃ 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛
(4.20)
L'approximation (4.20) n'est pas toujours d'une grande précision, mais c'est généralement la
seule disponible.
Cela nous amène à suggérer le critère d'arrêt suivant dans le cas de l'interpolation à l'aide de la
formule de Newton. On considère que l'approximation 𝑃𝑛 (𝑥) est suffisamment précise si:
𝑃𝑛+1 (𝑥) − 𝑃𝑛 (𝑥)
≤𝜀
𝑃𝑛+1 (𝑥)
où 𝜀 est une valeur de tolérance fixée à l'avance. Il est généralement recommandé de fixer
également le degré maximal 𝑁 des polynômes utilisés.
Remarque 4.8 :
 Puisque le terme d'erreur en un point 𝑥 fait intervenir des coefficients de la forme
(𝑥 − 𝑥1 ), il y a tout intérêt à choisir les points 𝑥𝑖 qui sont situés le plus près possible de 𝑥.
Ce choix est utile lorsqu'un grand nombre de points de collocation sont disponibles et qu'il
n'est pas nécessaire de construire un polynôme passant par tous les points. On retient alors
seulement les points de collocation les plus près de 𝑥 de manière à minimiser l'erreur.
 La fonction (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 ) est un polynôme de degré (𝑛 + 1) et possède
donc les (𝑛 + 1) racines réelles (𝑥𝑖 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 = 0 , 1 , ⋯ , 𝑛). Dans certaines conditions,
cette fonction peut osciller avec de fortes amplitudes, d'où le risque de grandes erreurs
d'interpolation. Cette propriété fait en sorte qu'il est délicat d'effectuer des interpolations en
utilisant des polynômes de degré élevé.
Exemple 4.6 :
Soit les valeurs expérimentales suivantes, que l'on a obtenues en mesurant la vitesse (en km/h)
d'un avion toutes les 3 secondes:
0 , 550 3 , 600 6 , 580 9 , 540 12 , 550 15 , 600 18 , 540 (21 , 570)
(24 , 520) (27 , 490)
On constate que l’avion se déplace à une vitesse oscillant autour de 550 km/h.
Construire le polynôme de degré 9 passant par ces dix points.
1. Interpoler les valeurs en 𝑡 = 1,5 𝑠 et en 𝑡 = 25,5 𝑠, par ce polynôme de degré 9 .
2. Et refaire l’interpolation par des polynômes de degré 2. Faire une discussion de ces
résultats.
Mr : ALLOUCHE Rachid
62
INTÉGRATION NUMÉRIQUES
5.1.
INTRODUCTION
Dans ce chapitre, le problème consiste à obtenir des approximations de l’intégration de
𝑏
𝑎
la fonction 𝒇(𝒙). Les intégrales traités sont de type
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 dans un intervalle 𝑎 , 𝑏 et
donc on cherche à estimer la valeur numérique de l’intégrale défini de 𝑓 entre 𝑎 𝑒𝑡 𝑏. Les
méthodes d’intégration numérique interviennent essentiellement lorsque une primitive de f à
une expression très compliquée ou inconnue ou n’est connue que par points, on peut
l’approcher alors par interpolation car on remplace la fonction 𝑓(𝑥) par le polynôme de degré
n ainsi que son expression d’erreur tel que :
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥) + 𝐸𝑛 (𝑥)
Une fois nous avons la forme polynomiale donc on l’intègre numériquement:
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑃
𝑎 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑎
𝐸𝑛 𝑥 𝑑𝑥
5.1
où 𝑷𝒏 (𝒙) est un polynôme d'interpolation et 𝑬𝒏 (𝒙) est l'erreur qui y est associée.
L'intégration numérique est basée principalement sur la relation 5.1 .
On fait face à ce type de problèmes lorsque, par exemple, on connaît la vitesse d'un satellite à
intervalles de temps réguliers et que l'on souhaite obtenir sa position. On doit alors effectuer
l’intégrale la forme polynomiale de la vitesse connue seulement en quelques points, on obtient
la distance parcourue dans l'intervalle [𝒙𝟏 , 𝒙𝒏 ]
5.2.
EXTRAPOLATION DE RICHARDSON
La méthode d'extrapolation de Richardson est valable non seulement pour la
différentiation et l'intégration numériques, mais aussi pour l'interpolation, la résolution
numérique des équations différentielles, etc. Cette technique permet d'augmenter la précision
d'une méthode d'approximation par une technique d'extrapolation.
Prenons comme point de départ une approximation numérique, notée 𝑄𝑎𝑝𝑝 (𝑕), d'une certaine
quantité exacte 𝑄𝑒𝑥𝑎 inconnue. L'approximation numérique dépend d'un paramètre h.
Généralement, plus h est petit, plus l'approximation est précise. On suppose de plus que cette
approximation est d'ordre n, c'est-à-dire:
Mr : ALLOUCHE Rachid
63
𝑄𝑒𝑥𝑎 = 𝑄𝑎𝑝𝑝 𝑕 + 𝜃 𝑕𝑛
La notion 𝜃 𝑕𝑛 signifie en fait que l’on a :
𝑄𝑒𝑥𝑎 = 𝑄𝑎𝑝𝑝 𝑕 + 𝑐𝑛 𝑕
𝑛
+ 𝑐𝑛+1 𝑕
𝑛+1
𝑛+2
+ 𝑐𝑛+2 𝑕
+∙∙∙∙∙
5.2
La technique d'extrapolation de Richardson consiste à obtenir, à partir de l'approximation
(5.2) d'ordre 𝑛, une nouvelle approximation d'ordre au moins (𝑛 + 1). Pour ce faire, il suffit
de remplacer 𝒉 par 𝒉/𝟐 dans l'équation (5.2), ce qui conduit à la relation:
𝑕
𝑄𝑒𝑥𝑎 = 𝑄𝑎𝑝𝑝
𝑕
L'approximation 𝑄𝑎𝑝𝑝
2
2
𝑕 𝑛
+ 𝑐𝑛
2
+ 𝑐𝑛 +1
𝑕 𝑛+1
2
+ 𝑐𝑛 +2
𝑕 𝑛+2
2
+∙∙∙∙
5.3
est généralement plus précise que 𝑄𝑎𝑝𝑝 𝑕 . On peut cependant se
servir de ces deux approximations pour obtenir une nouvelle, encore plus précise. L'idée
consiste à combiner les relations (5.2) et (5.2) de telle sorte que le terme d'ordre (𝒄𝒏 𝒉𝒏 )
disparaisse. Cela est possible si on multiplie l'équation (5.2) par 2𝑛 pour obtenir:
𝑕
2𝑛 𝑄𝑒𝑥𝑎 = 2𝑛 𝑄𝑎𝑝𝑝
2
+ 𝑐𝑛 𝑕𝑛 + 𝑐𝑛 +1
𝑕 𝑛 +1
2
+ 𝑐𝑛 +2
𝑕 𝑛+2
22
+∙∙∙∙
5.4
on soustrait l'expression (5.2) de cette dernière relation, on obtient:
2𝑛 − 1 𝑄𝑒𝑥𝑎 = 2𝑛 𝑄𝑎𝑝𝑝
𝑕
2
1
3
2
4
− 2𝑛 𝑄𝑎𝑝𝑝 𝑕 − 𝑐𝑛+1 𝑕𝑛+1 − 𝑐𝑛 +2 𝑕𝑛+2 +∙∙
D’où
𝑄𝑒𝑥𝑎 =
2𝑛 𝑄𝑎𝑝𝑝
𝑕
1
3
𝑛+1
− 2𝑛 𝑄𝑎𝑝𝑝 𝑕
𝑐
𝑕
−
𝑐𝑛+2 𝑕𝑛+2 +∙∙
𝑛+1
2
2
4
−
2𝑛 − 1
2𝑛 − 1
qui s'écrit plus simplement:
𝑕
𝑄𝑒𝑥𝑎 =
2𝑛 𝑄𝑎𝑝𝑝 2 −𝑄𝑎𝑝𝑝 𝑕
2𝑛 −1
+ 𝛳 𝑕𝑛+1
5.5
L'expression de droite est donc une approximation d'ordre au moins (𝑛 + 1) de 𝑄𝑒𝑥𝑎 .
L'extrapolation de Richardson permet donc de gagner au moins un ordre de convergence.
Mr : ALLOUCHE Rachid
64
Par ailleurs, l'extrapolation de Richardson, alliée judicieusement à l'une des formules de
Newton-Cotes, conduit à la méthode de Romberg, l'une des techniques d'intégration
numérique les plus précises.
5.3.
DEFINITION DES METHODES DE NEWTON-COTES
Le principe général des méthodes de newton-cotes est d’approximer la fonction 𝑓(𝑥) par un
polynôme 𝑃𝑛 (𝑥) pour l’intégrer, donc en fait varier la valeur de 𝑛 de degré de polynôme lors
d’intégration numérique, on obtient les formules de Newton-Cotes. L’approximation de
l’intégrale de cette fonction est suffisamment bonne si le degré de polynôme est grand ainsi
que le nombre des panneaux est grand (méthodes de Newton-Cotes composés). Les formules
d'intégration numérique sont également appelées formules de quadrature.
5.3.1. METHODES DES RECTANGLES
5.3.1.1.
Principe de la méthode :
On se base sur une interpolation par un
𝑓(𝑥)
polynôme de degré 0. Soit l’intégrale de la
fonction f dans l’intervalle
que
𝑥1
𝑥0
𝑥0 , 𝑥1
tel
𝑓(𝑥1 )
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . Où 𝑓 est une fonction
connue seulement en deux points ou encore
une fonction n'ayant pas de primitive. La
𝑓(𝑥0 )
solution qui vient tout de suite, consiste à
remplacer 𝑓 𝑥 par le polynôme de degré 0
passant
par
(𝑥1 , 𝑓 𝑥1 )
les
points
comme
(𝑥0 , 𝑓 𝑥0 )
l'illustre
la
ou
figure
𝑥0
𝑥1
Figure 1: Méthode des rectangles simple
ci-contre.
 L’intégrale des rectangles simple sommet gauche 𝑅𝑠𝑔 est donné comme suite :
𝑅𝑠𝑔 = 𝑓(𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0
5.6
 L’intégrale des rectangles simple sommet droit 𝑅𝑠𝑑 est donné comme suite :
𝑅𝑠𝑑 = 𝑓(𝑥1 ) 𝑥1 − 𝑥0
5.7
Mr : ALLOUCHE Rachid
65
L’interprétation graphique est immédiate, l’aire sous la courbe entre 𝑥0 et 𝑥1 est encadrée par
les aires de deux rectangles, d’où le nom de la méthode.
Si l’on raisonne sur une fonction f positive, donc le résultat exact de l’intégrale 𝐼 est donné par
l’inégalité suivante :
𝑓(𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0 ≤ 𝐼 ≤ 𝑓(𝑥1 ) 𝑥1 − 𝑥0
Avec
𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥1 )
5.3.1.2.
Méthode Composée Des Rectangles :
On considère une subdivision de [𝑎 , 𝑏] en sous intervalles égaux [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ] où
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖𝑕 avec 𝑖 allons de zéro à 𝑛 (𝑖 = 0,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙, 𝑛) pornonsprenons 𝑎 = 𝑥0 , 𝑏 = 𝑥𝑛 et la
longueur de chaque segment 𝑕 est exprimé comme suite :
𝑕=
(𝑏−𝑎)
5.8
𝑛
On suppose les valeurs de la fonction
𝑓(𝑥𝑖 ) connues pour toutes les valeurs
Sommet
de 𝑖 = 0,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙, 𝑛 − 1 . Puisque on
gauche
remplace la fonction 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
par la
fonction 𝑓(𝑥𝑖 ) dans le cas de la
méthode des rectangles composée
sommets gauche 𝑅𝑐𝑝𝑠𝑔 représentée
𝑥0
dans la figure ci-contre.
∙∙∙∙ 𝑥𝑖 ∙∙∙∙
𝑥𝑛
Figure 2: Méthode composée des rectangles
 Donc la forme générale de la méthode composée des rectangles sommets gauche 𝑅𝑐𝑝𝑠𝑔
est donnée par la forme générale suivante :
𝑅𝑐𝑝𝑠𝑔
(𝑏 − 𝑎)
=
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
𝑓( 𝑥𝑖 ) = 𝑕
𝑖=0
𝑓( 𝑎 + 𝑖𝑕)
5.9
𝑖=0
Mr : ALLOUCHE Rachid
66
On suppose les valeurs de la fonction
Sommet
𝑓(𝑥𝑖+1 ) connues pour toutes les
valeurs
de
droit
𝑖 = 0,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙, 𝑛 − 1 .
𝑓(𝑥)
Puisque on remplace la fonction 𝑓(𝑥)
par la fonction 𝑓(𝑥𝑖+1 ) dans le cas de
la méthode des rectangles composée
sommets droit 𝑅𝑐𝑝𝑠𝑑
représentée
𝑥0
dans la figure (3) ci-contre.
∙∙∙∙ 𝑥𝑖 ∙∙∙∙
𝑥𝑛
Figure 3: Méthode composée des rectangles
 la forme générale de la méthode composée des rectangles sommets droit 𝑅𝑐𝑝𝑠𝑑 et
donnée par l’équation suivante
𝑅𝑐𝑝𝑠𝑑
5.3.1.3.
(𝑏 − 𝑎)
=
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
𝑓( 𝑥𝑖+1 ) = 𝑕
𝑖=0
𝑓( 𝑎 + (𝑖 + 1)𝑕)
5.10
𝑖=0
Erreur de la méthode des rectangles :
Revenons sur le problème important du contrôle de l’erreur. Supposons pour fixer les idées
que l’on choisisse de renvoyer comme résultat la valeur moyenne.
𝑅𝑟 =
𝑅𝑐𝑝𝑠𝑑 − 𝑅𝑐𝑝𝑠𝑔
2
5.11
Toujours en supposant que la fonction f est monotone sur l’intervalle [𝑥0 , 𝑥𝑛 ], on peut
majorer l’erreur commise
𝐼 − 𝑅𝑟 ≤
𝑅𝑐𝑝𝑠𝑑 − 𝑅𝑐𝑝𝑠𝑔
2
=
𝑏−𝑎
𝑓 𝑥0 − 𝑓(𝑥𝑛 )
2𝑛
L’erreur de cette Méthode est présentée sous la forme suivante :
𝑏−𝑎
𝑚𝑎𝑥 𝑓 𝜉 ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜉 𝜖[𝑥0 , 𝑥𝑛 ]
2𝑛
5.12
Mr : ALLOUCHE Rachid
67
5.3.1.4.
Méthode des rectangles points-milieux :
Cette fois-ci on prend pour chaque sousintervalle [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ],
𝑓(
𝑥 𝑖 +𝑥 𝑖+1
2
)
la
fonction
Point
comme hauteur du rectangle.
milieu
𝑓(𝑥)
On suppose les valeurs de la fonction
𝑓(
𝑥 𝑖 +𝑥 𝑖+1
de
2
) connues pour toutes les valeurs
𝑖 = 0,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙, 𝑛 − 1 .
Puisque
remplace la fonction 𝑓(𝑥)
on
par cette
fonction dans le cas de la méthode des
𝑥0
𝑥𝑛
∙∙∙∙ 𝑥𝑖 ∙∙∙∙
rectangles composée point milieu 𝑅𝑐𝑝𝑝𝑚
Figure 4: Méthode composée des rectangles
représentée dans la figure ci-contre.
On a alors l’intégrale de la fonction f dans l’intervalle présidant présenté comme suit :
𝑥 𝑖+1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≃ 𝑕𝑓
𝑥𝑖
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
2
D’où
𝑥𝑛
𝑥0
𝑏−𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≃
𝑛
𝑛−1
𝑖=0
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
𝑓
2
𝑛−1
=𝑕
𝑓 𝑥0 +
𝑖=0
2𝑖 + 1
2
𝑕
5.13
5.3.2. METHODE DES TRAPEZES
5.3.2.1.
Principe de la méthode :
On se base sur une interpolation par un polynôme de degré 1. Soit l’intégrale de la fonction f
dans l’intervalle 𝑥0 , 𝑥1
tel que
𝑥1
𝑥0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . Où 𝑓 est une fonction connue seulement en
deux points ou encore une fonction n'ayant pas de primitive. La solution qui vient tout de
suite, consiste à remplacer 𝑓 𝑥 par le polynôme de degré 1 passant par les points (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 )
et (𝑥1 , 𝑓 𝑥1 ) comme l'illustre la figure ci-après.
Mr : ALLOUCHE Rachid
68
𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥0
𝑥1
𝑥0
Figure 4: Méthode simple des trapèzes
La valeur approximative de l'intégrale correspond à l'aire sous la courbe du polynôme. Cette
aire forme un trapèze qui donne son nom à la méthode du trapèze.
Remplaçons la fonction f par le polynôme de Newton de degré 1 ainsi que l’erreur tel que :
𝑓(𝑥) = 𝑃1 (𝑥) + 𝐸1 (𝑥)
𝑥1
𝑥1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥1
𝑃1 𝑥 𝑑𝑥 +
𝐸1 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
𝑥0
Avec
𝑃1 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 (𝑥 − 𝑥0 ) et 𝐸1 𝑥 =
𝑀 𝑓 ′′ 𝜉
2!
𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥1 )
ce qui peut également s'écrire, si on intègre le polynôme:
𝑥1
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
2
𝑥1
+
𝑥0
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1
𝑓 ′′ 𝜉(𝑥)
2!
𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑑𝑥
5.14
Le premier terme de droite est la surface du trapèze de la figure précédente, tandis que le
deuxième terme est l'erreur commise.
Mr : ALLOUCHE Rachid
69
Si on tient en compte le cas où les abscisses sont également distantes, il suffit de poser:
𝑡=
𝑥 − 𝑥0
𝑕
De cette équation en obtiens
𝑥 − 𝑥0 = 𝑡 ∙ 𝑕
(5.15)
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖𝑕
(5.16)
De plus on a :
donc
𝑥 − 𝑥𝑖 = 𝑥 − 𝑥0 + 𝑖𝑕 = 𝑥 − 𝑥0 − 𝑖𝑕
D’où l’on tire que
𝑥 − 𝑥𝑖 = 𝑡𝑕 − 𝑖𝑕 = 𝑡 − 𝑖 𝑕
et que 𝑑𝑥 = 𝑕 ∙ 𝑑𝑡 , le terme d’erreur devient alors
𝑥1
𝑥0
𝑓 ′′ 𝜉 𝑥
2!
𝑥1
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑓 ′′ 𝜉 𝑡
2!
𝑡 𝑡 − 1 𝑕3 𝑑𝑡
Pour simplifier cette expression en faisant appel au second théorème de la moyenne.
Théorème 1
Soit 𝒇𝟏 𝒙 , une fonction continue dans l'intervalle [𝑎 , 𝑏] et 𝒇𝟐 𝒙 , une fonction intégrable
qui ne change pas de signe dans l'intervalle [𝑎, 𝑏]. Il existe alors 𝜑 ∈ [𝑎 , 𝑏] tel que:
𝑏
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓1 𝜑
𝑎
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥
5.17
𝑎
Comme la fonction 𝑡(𝑡 − 1) ne change pas de signe dans [0 , 1], on peut mettre à la faveur
de ce théorème, ce qui donne:
𝑥1
𝑥0
𝑓 ′′ 𝜉 𝑡
2!
𝑓 ′′ 𝜑 3
𝑡 𝑡 − 1 𝑕 𝑑𝑡 =
𝑕
2!
3
𝑥1
𝑥0
𝑓 ′′ 𝜑 3
𝑡 𝑡 − 1 𝑑𝑡 = −
𝑕
12
La méthode du trapèze se résume donc à l'égalité:
𝑥1
𝑥0
𝑕
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1
2
𝑓 ′′ 𝜑 3
+ −
𝑕
12
5.18
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝜑 ∈ 𝑥0 , 𝑥1
5.3.2.2.
Méthode composée des trapèzes :
Mr : ALLOUCHE Rachid
70
En général, la précision fournie par la méthode des trapèzes simple n’est pas suffisante. On
divise alors le segment
𝑎 , 𝑏
en segment partiels égaux, et à chaque sous-
intervalle [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ] des quels on applique la méthode des trapèzes. Les différents points
engendrés sont notés 𝑥𝑖 pour 𝑖 = 0,1,2,∙∙∙∙, 𝑛. Les valeurs aux extrémités sont 𝑎 = 𝑥0
et 𝑏 = 𝑥𝑛 . On a alors:
𝑥0
𝑥1
𝑥2 ∙
∙
∙
∙
∙ 𝑥𝑛
Figure 4: Méthode composée des trapèzes
𝑏
𝑥1
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑥2
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 +
𝑥0
𝑛 −1
𝑎
𝑛−1
𝑥 𝑖+1
𝑥𝑖
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 𝑛 −1
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≃
𝑖=0
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∙ ∙ ∙ +
𝑥1
=
𝑏
𝑥𝑛
𝑖=0
𝑕
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖+1 )
2
𝑕
𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2
2
+∙∙∙∙∙ + 𝑓 𝑥𝑛 −2 + 𝑓 𝑥𝑛 −1
+ (𝑓 𝑥𝑛 −1 + 𝑓 𝑥𝑛 )
On remarque que tous les termes 𝑓(𝑥𝑖 ) sont répétés deux fois, sauf le premier et le dernier. On
conclut que cette expression:
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑕
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥𝑛
2
+ 2 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓 𝑥2 +∙∙∙∙∙ +𝑓 𝑥𝑛−2 + 𝑓 𝑥𝑛−1
5.19
Mr : ALLOUCHE Rachid
71
est la formule des trapèzes composée.
5.3.2.3.
Erreur De la Méthode des trapèzes :
Dans chacun des n sous-intervalles [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ], on fait une erreur liée à la méthode du trapèze
d‘un panneau donnée comme suite :
−
Puisque: 𝑕 =
𝑏−𝑎
et donc 𝑛 =
𝑛
𝑓 ′′ 𝜑
12
𝑕3 .
𝑏−𝑎
𝑕
L’erreur totale commise par la méthode des trapèzes composée égale 𝑛 fois l’erreur de
trapèzes simples pour le segment [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ] donc
𝑓 ′′ 𝜑 3
𝑏−𝑎
𝐸𝑇 = 𝑛 −
𝑕 =
12
𝑕
=−
𝑏−𝑎
12
𝑓 ′′ 𝜑 3
−
𝑕
12
𝑓 ′′ 𝜑 𝑕2
5.20
Exemple 5.1:
Évaluer numériquement la fonction 𝑓 𝑥 =
avec 𝑕 =
𝜋
−0
2
1
=
𝜋
2
𝜋
0
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 par la méthode des trapèzes simple
; la valeur exacte de cette intégrale est 1.
La méthode du trapèze simple donne dans ce cas la valeur suivante:
𝑓 𝑥 =
𝜋
0
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝜋
4
sin 0 + sin
𝜋
2
= 0,785 398164
Ce dernier résultat est une approximation loin de la valeur exacte et peu impressionnant vient
du fait que l'on approche la fonction 𝑠𝑖𝑛𝑥 dans l'intervalle [0 ,
𝜋
2
] au moyen d'un polynôme
de degré 1 pour un seul panneau. Cette approximation est assez médiocre, comme confirmée
par la figure 5.
Mr : ALLOUCHE Rachid
72
𝜋
2
0
Figure 5: Méthode des trapèzes simple, 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (1 intervalle)
La méthode des trapèzes composée est une stratégie intéressante qui consiste à décomposer
l'intervalle où l'on doit faire l'intégration, soit l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles de
longueur 𝑕 =
𝑏−𝑎
𝑛
.
Exemple 5.2 :
𝜋
On reprend le calcul de:
0
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 à l'aide de la méthode des trapèzes composée.
Soit d'abord 4 intervalles de longueur: 𝑕 =
𝜋
−0
2
4
=
𝜋
8
tels que les montre la figure 6. On a
alors:
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
0
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋
sin 0 + sin + 2 sin + sin + sin
16
2
8
4
8
= 0,9871158
soit une erreur absolue d'environ 0,01288 par rapport à la solution exacte.
On constate une nette amélioration en comparaison du résultat obtenu avec un seul intervalle.
Remarque 5.1 :
La méthode des trapèzes composée est d'ordre 2.
La méthode des trapèzes composée donne un résultat exact si la fonction 𝑓(𝑥) est un
polynôme de degré inférieur ou égal à 1. Cela s'explique par la présence de la dérivée seconde
de 𝑓(𝑥) dans le terme d'erreur s’annule dans le cas de polynômes de degré 1.
Mr : ALLOUCHE Rachid
73
0
𝜋
8
𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
8
Figure 6: Méthode des trapèzes composée, 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (4 intervalle)
Exemple 5.3 :
Prenant l’intégrale de l’exemple précédant
𝜋
0
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 pour deux cas (n=4intervalls,
n=8intervalles)
 Pour le cas de nombre des panneaux n=4, résultat de
π
2
0
sinx dx = 0,9871158 l’erreur
absolue est d'environ 0,012 88 par rapport à la solution exacte.
 Pour le cas de nombre des panneaux n=8, résultat de
π
0
2
sinx dx = 0,996 7852 l’erreur
absolue d'environ 0,0032. Cette erreur absolue est d’environ 4 fois plus petite que
l'erreur obtenue avec 4 intervalles, ce qui confirme que cette méthode est d'ordre 2
On peut de plus utiliser l'extrapolation de Richardson pour améliorer la précision de ces deux
résultats. Avec l’ordre deux donc 𝑛 = 2, on obtient l'approximation d'ordre au moins 3
suivante:
𝜋
0
2
22 0.9967852 − 0.9871158
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ≃
1.00000833
22 − 1
ce qui s'approche rapidement de la valeur exacte, cette nouvelle approximation est une
approximation d'ordre 4.
Mr : ALLOUCHE Rachid
74
5.3.3. INTEGRATION PAR LA FORMULE DE SIMPSON 1/3
5.3.3.1.
principe de la méthode :
Reprenons le raisonnement utilisé
(𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ))
𝑃2 (𝑥)
𝑓(𝑥)
avec la méthode des trapèzes, mais
cette fois en utilisant un polynôme de
degré 2 dont la courbe passe par les
points (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )),
(𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ))
et
(𝑥2 , 𝑓(𝑥2 )). Ce polynôme est donné
par la formule de Newton dans le
chapitre précédent
𝑥0
𝑥2
𝑥1
Figure 7: Méthode de Simpson simple
𝑃2 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
On se sert ensuite de l'approximation
𝑥2
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≃
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
𝑥0
𝑥2
=
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
𝑑𝑥
𝑥0
On se place de nouveau dans le cas où les abscisses sont également distancées. On pose
encore 𝑡 =
𝑥−𝑥 0
𝑕
, ce qui entraîne que
𝑥 − 𝑥𝑖 = (𝑡 − 𝑖)𝑕.
La dernière expression devient:
2
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 𝑡𝑕 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 𝑕2 𝑡 𝑡 − 1
𝑕𝑑𝑡
0
Après intégration, on remplace les différences divisées par leur valeur respective:
Mr : ALLOUCHE Rachid
75
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 =
𝑓 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0
𝑕
𝑒𝑡
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 =
𝑓 𝑥2 − 2𝑓 𝑥1 ) + 𝑓(𝑥0
2𝑕2
On trouve que
𝑥2
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑕
𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2
3
La dernière formule est la formule de Simpson 1/3 simple. Cette terminologie est due au
facteur de 1/3 qui multiplie h.
5.3.3.2.
Etude de L'erreur de la méthode de Simpson:
Cette méthode est basée sur l'utilisation d'un polynôme de degré 2 et l'erreur soit donnée par:
𝑥2
𝐸2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
On peut accroitre l'analyse de l'erreur en introduisant un quatrième point
𝑥3 , 𝑓 𝑥2
quelconque et le polynôme de degré 3 correspondant:
𝑃3 𝑥 = 𝑃2 𝑥 + 𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
qui n'est rien d'autre que le polynôme de degré 2 déjà utilisé auquel on ajoute une correction
de degré 3 permettant au polynôme de passer également par le point 𝑥3 , 𝑓 𝑥2 . Or:
𝑥2
2
𝑡 𝑡 − 1 𝑡 − 2 𝑕4 𝑑𝑡 = 0
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥0
0
comme on peut le vérifier facilement. Il s'ensuit que:
𝑥2
𝑥2
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑃3 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
En utilisant un polynôme de degré 2, on obtient en fait la même précision qu'avec un
polynôme de degré 3. Le terme d'erreur est donc de ce fait:
𝑥2
𝑥2
𝐸3 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥0
𝑓 (4) 𝜉
4!
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥
Mr : ALLOUCHE Rachid
76
Il n'est pas possible à ce stade-ci d'appliquer le théorème de la moyenne, comme nous l'avons
fait pour la méthode des trapèzes. En effet, la fonction
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥3 . Peut changer de signe dans l'intervalle [0 ; 2], à moins de
choisir judicieusement 𝑥3 . Comme le choix de 𝑥3 est arbitraire, on peut poser 𝑥3 = 𝑥1 . Le
terme d'erreur devient alors:
𝑥2
𝑥2
𝐸3 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥0
𝑓 (4) 𝜉
4!
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥1 𝑑𝑥
Après intégration on arrive à l’expression suivante de l’erreur de Simpson simple :
𝑥2
𝐸3 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥0
𝑓
4
𝜑 5
𝑕
90
Donc la méthode de Simpson simple est l’intégrale de 𝑃2 𝑥 plus 𝐸3 𝑥 comme l’indique la
forme suivante
𝑥2
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥2
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
𝐸3 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
La méthode de Simpson 1/3 simple se résume donc par l’équation 5.21 suivante:
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑕
𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2
3
+−
𝑓 (4) 𝜑 5
𝑕
90
5.21
Remarque 5.2:
La valeur de h exprime toujours la distance entre les points 𝑥𝑖 , c'est-à-dire qu'elle est
équivalente dans ce cas à la longueur de l'intervalle divisée par 2 comme l’indique la figure 7 .
La méthode de Simpson 1/3 simple est peu précise, comme en témoigne par l'exemple suivant.
Exemple 5.4:
𝜋
Évaluer numériquement la fonction 𝑓 𝑥 = 0 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 par la méthode de Simpson simple
avec
𝜋
−0
𝜋
𝑕= 2
=
2
4
𝜋
0
2
𝑥2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ≃
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥0
𝜋
𝜋
𝜋
sin 0 + sin + 4 sin +
12
2
4
= 1,0022799
Ce résultat est plus précis que l'approximation obtenue par la méthode du trapèze simple.
Mr : ALLOUCHE Rachid
77
5.3.3.3.
Méthode composée de Simpson :
Pour améliorer la précision de la formule de
𝑃2 (𝑥)
𝑓(𝑥)
Simpson 1/3 Une stratégie intéressante
consiste à décomposer l'intervalle où l'on
doit faire l'intégration. Puisque la méthode
simple requiert deux intervalles, il semble
souhaitable
de
diviser
l'intervalle
d'intégration [a, b] en 𝑚 = 𝟐𝒏 sousintervalles avec 𝒎 pair, et d'utiliser la
méthode de Simpson 1/3 simple dans chaque
paire de sous-intervalles. La figure ci-contre
𝑥0
illustre cette approche. On a alors :
𝑏
𝑥2
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥4
𝑥0
𝑛−1
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥𝑚
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 +
𝑥 𝑚 −4
𝑛−1
𝑥 2𝑖+2
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≃
𝑖=0
𝑏
𝑥 𝑚 −2
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∙ ∙
𝑥2
=
𝑎
Figure 7: Méthode de Simpson composée
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑥2
𝑥𝑖
𝑥 2𝑖
𝑖=0
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 𝑚 −2
𝑕
𝑓 𝑥2𝑖 + 4𝑓 𝑥2𝑖+1 + 𝑓 𝑥2𝑖+2
2
𝑕
𝑓 𝑥0 + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓 𝑥2 + 4𝑓(𝑥3 ) + 2𝑓 𝑥4 +∙∙∙∙∙ +2𝑓 𝑥𝑚 −2
3
+ 4𝑓 𝑥𝑚 −1 + 𝑓 𝑥𝑚 )
Avec 𝒎 est le nombre des panneaux et il est toujours un nombre pair.
On remarque, que tous les termes de rang impair sont multipliés par quatre 4 tandis
que ceux de rang pair sont multipliés par deux, sauf le premier 𝑓(𝑥0 ) et le dernier 𝑓 𝑥𝑛 , donc
on peut écrire la forme générale suivant avec n pair.
𝑕
𝑠=
3
𝑛
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥2𝑛
+4
𝑛−1
𝑓 𝑥2𝑖−1 + 2
𝑖=1
𝑓 𝑥2𝑖
5.22
𝑖=1
Mr : ALLOUCHE Rachid
78
Analyse d’erreur de Simpson 1/3 composée :
5.3.3.4.
L'analyse d'erreur liée à la méthode de Simpson 1/3 composée est similaire à celle qui
s'applique à la méthode des trapèzes composée. En divisant [a, b] en 2𝑛 intervalles, on utilise
n fois la méthode de Simpson 1/3 simple et on commet donc pour chaque 2 intervalles une
erreur et pour l’intervalle [a, b] on commet n fois l'erreur liée à cette méthode. On a alors:
𝑕=
𝑏−𝑎 𝑏−𝑎
=
𝑚
2𝑛
donc
𝑛=
𝑏−𝑎
2𝑕
Et enfin l'erreur totale 𝐸𝑆𝐶𝑜𝑚𝑝 de la méthode de Simpson1/3 composé est:
𝐸𝑆𝐶𝑜𝑚𝑝
𝑓 (4) 𝜑 5
𝑏−𝑎
=𝑛 −
𝑕 =
90
2𝑕
𝑓 (4) 𝜑 5
𝑏−𝑎
−
𝑕 = −
90
180
𝑓 (4) 𝜑 𝑕4
Remarque 5.3 :
Le terme d'erreur E=I - S de la méthode de Simpson 1/3 composée est:
𝐸𝑆 = −
𝑏 − 𝑎 𝑕4
𝑓
180
4
𝜑
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜑 ∈ 𝑎 ; 𝑏
Donc
𝐸𝑆 ≤
𝑏 − 𝑎 𝑕4
𝑚𝑎𝑥 𝑓
180
4
𝜑
≤𝜀
5.23
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜀 critère d’arrêt ou test de convergence
Exemple 5.5:
 évaluer numériquement la fonction 𝑓 𝑥 =
𝜋
0
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 par la méthode de Simpson
composée pour un nombre des panneaux égale 4 avec 𝑕 =
𝜋
2
𝑥2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ≃
0
=
4
=
𝜋
8
𝑥4
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
𝜋
−0
2
𝑃2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋
𝜋
sin 0 + sin + 4 sin + sin
+ 2 sin
= 1,0001346
24
2
8
8
4
Mr : ALLOUCHE Rachid
79
 On va refait le calcul d’intégrale de la même fonction avec 8 panneaux de longueur
𝜋
−0
2
𝑕=
𝜋
0
2
8
=
𝜋
16
on trouve :
4
𝑕
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ≅
3
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥8
3
+4
𝑓 𝑥2𝑖−1 + 2
𝑖=1
𝑓 𝑥2𝑖
= 1.000008296
𝑖=1
Cette plus grande précision vient du fait que cette méthode est d'ordre 4. On constate qu'en
passant de 4 à 8 intervalles (c'est-à-dire en divisant h par 2) on divise l'erreur par un facteur
d'environ 16.22, ce qui confirme l'ordre 4 de la méthode. On peut également utiliser
l'extrapolation de Richardson 5 avec 𝑛 = 4 à partir de ces deux valeurs. On obtient ainsi
l'approximation:
24 1,000008296 − 1,0001346
= 0,999999876
24 − 1
5.3.4. METHODE DE BOOLE
Si on a au départ un polynôme de degré 4 dans l'intervalle [𝑥0 , 𝑥4 ] dont la courbe passe par
les points ((xi, f(xi)) pour i = 0,1, 2,3,4), la formule de Boole simple s'écrit:
𝑥4
𝑓 𝑥 =
𝑥0
2𝑕
45
7𝑓 𝑥0 + 32𝑓 𝑥1 + 12𝑓 𝑥2 + 32𝑓 𝑥3 + 7𝑓 𝑥4
𝐸𝐵𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒
+𝐸𝐵𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒
8𝑓 6 𝜑 7
=7−
𝑕
945
5.24
5.25
pour un certain 𝜑 ∈ 𝑥0 , 𝑥4 .
On compose cette méthode en divisant cette fois l'intervalle d'intégration [𝑎 , 𝑏] en 4𝑛 sousintervalles de longueur:
𝑕=
𝑏−𝑎
4𝑛
et en utilisant la formule de Boole simple dans chacun de sous-intervalles. On obtient alors la
formule suivante de Boole composée:
𝑏
𝑥4
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑥8
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥0
𝑥 12
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥4
𝑥𝑚
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 … …
𝑥8
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
𝑥 𝑚 −4
Donc le nombre des panneaux 𝑚 = 4𝑛 sous-intervalles de l’intervalle [𝑎 , 𝑏]
Pour cela :
Mr : ALLOUCHE Rachid
80
𝑛−1
𝑏
𝑥 4𝑖+4
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑖=0
𝑛−1
≃
𝑖=0
𝑥 4𝑖
2𝑕
45
7𝑓 𝑥4𝑖 + 32𝑓 𝑥4𝑖+1 + 12𝑓 𝑥4𝑖+2 + 32𝑓 𝑥𝑥𝑖 +3 + 7𝑓 𝑥𝑥𝑖 +4
5.26
et le terme d'erreur:
8𝑓 6 𝜑 7
𝑏 − 𝑎 8𝑓 6 𝜑 7
2 𝑏−𝑎 𝑓
𝑛 −
𝑕 =−
𝑕 =−
945
4𝑕
945
945
6
𝜑
𝑕6
La méthode de Boole conduit à une approximation d'ordre 6.
Le terme d'erreur 𝐸𝐵𝑜𝑜𝑙𝑒 = 𝐼 − 𝐵 de la méthode de Simpson 1/3 composée est:
𝐸𝐵𝑜𝑜𝑙𝑒
2 𝑏 − 𝑎 𝑕6
=−
𝑓
945
6
𝜑
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜑 ∈ 𝑎 , 𝑏
Donc
𝐸𝐵𝑜𝑜𝑙𝑒 ≤
2 𝑏 − 𝑎 𝑕6
𝑚𝑎𝑥 𝑓
945
6
𝜑
≤𝜀
5.27
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜀 critère d′arrêt
5.3.5. METHODE DE ROMBERG
5.3.5.1.
Principe de la méthode :
La méthode de Romberg est une méthode d'intégration qui permet d'atteindre des résultats
très précis. Elle est basée sur une utilisation très astucieuse de la méthode des trapèzes
composée d'ordre 2 et de la technique d'extrapolation de Richardson. L’extrapolation de
Richardson permet de gagner deux ordres de convergence à chaque extrapolation. De plus, les
valeurs extrapolées, qui sont d'ordre 4, peuvent à leur tour être extrapolées pour passer à
l'ordre 6, et ainsi de suite. Cette utilisation systématique de l'extrapolation de Richardson
permet d'obtenir successivement des approximations de:
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
d'ordre 2, 4, 6, 8, 10 et plus. Sur le plan pratique, on obtient généralement des résultats
extrêmement précis.
Mr : ALLOUCHE Rachid
81
Dans un premier temps, introduisons quelques notations. On note 𝑇1,𝑖 le résultat obtenu
à l'aide de la méthode des trapèzes composée avec 2𝑖−1 intervalles. Les 𝑇1,𝑖 sont des
approximations d'ordre 2. Pour passer de 𝑇1,𝑖 à 𝑇1,𝑖+1 , on doit doubler le nombre de sousintervalles, ce qui revient à diviser la valeur de 𝑕 par deux pour passer de 𝑇1,𝑖 à 𝑇1,𝑖+1 .
Tel que
𝑇1,1 : 𝑀é𝑡𝑕𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 1 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑕= 𝑏−𝑎
𝑇1,2 : 𝑀é𝑡𝑕𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 2 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑕=
𝑇1,3 : 𝑀é𝑡𝑕𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 4 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑕=
𝑇1,4 : 𝑀é𝑡𝑕𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 8 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑕=
𝑇1,5 : 𝑀é𝑡𝑕𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 16 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑕=
𝑇1,6 : 𝑀é𝑡𝑕𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 32 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑕=
5.3.5.2.
𝑏−𝑎
2
𝑏−𝑎
4
𝑏−𝑎
8
𝑏−𝑎
16
𝑏 −𝑎
32
Algorithme de Romberg :
L’algorithme des 𝑻𝟏,𝒊 dans la méthode de Romberg
𝑇1,1 =
𝑕1
𝑓 𝑎 +𝑓 𝑏
2
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑕1 = 𝑏 − 𝑎
Pour passer de 𝑇1,𝑖 à 𝑇1,𝑖+1 , on doit doubler le nombre de sous-intervalles, ce qui revient à
diviser la valeur de h par 2.
𝑇1,2 =
𝑕2
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 2𝑓 𝑥1
2
=
𝑇1,1
+ 𝑕2 𝑓 𝑥1
2
Avec
𝑥1 =
𝑎+𝑏
2
𝑒𝑡 𝑕2 =
𝑕1
𝑏−𝑎
=
2
2
Généralisation des termes 𝑇1,𝑖 pour 𝒊 > 1
On peut poser
𝑕𝑖 =
𝑕𝑖−1
2
5.28
Donc le terme général des 𝑇1,𝑖 pour 𝒊 > 1 est représenter comme suit
𝑇1,𝑖 =
1
𝑇
+ 𝑕𝑖−1
2 1,𝑖−1
2𝑖−2
𝑓 𝑎 + 2𝑘 − 1
𝑘=1
𝑕𝑖−1
2
5.29
Mr : ALLOUCHE Rachid
82
Au moyen de l'extrapolation de Richardson 5.5 avec 𝑛 = 2, on définit alors:
𝑇2,𝑖
22 𝑇1,𝑖 − 𝑇1,𝑖−1
=
22 − 1
;
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖 ≥ 2
5.30
;
5.31
et les 𝑇2,𝑖 sont des approximations d'ordre 4.
On pose ensuite successivement:
L’extrapolation de Richardson avec 𝑛 = 4, on définit alors:
𝑇3,𝑖
24 𝑇2,𝑖 − 𝑇2,𝑖−1
=
24 − 1
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖 ≥ 3
et les 𝑇3,𝑖 sont des approximations d'ordre 6.
L’extrapolation de Richardson avec 𝑛 = 8, on définit alors:
𝑇4,𝑖
26 𝑇3,𝑖 − 𝑇3,𝑖−1
=
26 − 1
;
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖 ≥ 4
5.32
et les 𝑇4,𝑖 sont des approximations d'ordre 8.
Le tableau suivant résume la procédure récursive employée dans la méthode de Romberg.
Chaque ligne de ce triangle est de deux ordres de convergence plus précis que la ligne
précédente.
La première ligne est tout simplement constituée des approximations obtenues à l'aide de la
méthode des trapèzes composée avec
1 , 2 , 4 , 8 , 16 ⋯ intervalles.
Pour passer d'une ligne à l'autre, on utilise l'extrapolation de Richardson par le biais des
relations 5.30 , 5.31 𝑒𝑡 5.32 .
La deuxième ligne et la méthode de Simpson composée avec
2 , 4 , 8 , 16 ⋯ intervalles
et la troisième ligne sont les résultats obtenus par la méthode de Boole composée avec
4 , 8 , 16 , 32 ⋯ intervalles.
La quatrième ligne représente Romberg d’ordre 8 avec
8 , 16 , 32 ⋯ intervalles et la
cinquième c’est Romberg d’ordre 10 avec 16 panneaux.
Mr : ALLOUCHE Rachid
83
𝐿𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑕
𝑕=
𝑏−𝑎
1
𝑕=
𝑏−𝑎
2
𝑕=
𝑏−𝑎
4
𝑕=
𝑏−𝑎
8
𝑕=
𝑏−𝑎
16
Nbre des panneaux
𝑛=1
𝑛=2
𝑛=4
𝑛=8
𝑛 = 16
Trapèzes Ordre 2
𝑇1,1
𝑇1,2
𝑇1,3
𝑇1,4
𝑇1,5
𝑇2,2
𝑇2,3
𝑇2,4
𝑇2,5
𝑇3,3
𝑇3,4
𝑇3,5
𝑇4,4
𝑇4,5
Simpson
Ordre 4
Boole
Ordre 6
Romberg Ordre 8
𝑇5,5
Romberg Ordre 10
Exemple 5.6 :
Faire un programme de calcul pour les méthodes des rectangles, trapèzes, Simpson, Boole et
Romberg pour évaluer l’intégrale de la fonction 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
∙ 𝑒𝑥𝑝 −𝑥 2
Faire la comparaison de ces résultats avec la solution exacte de cet intégrale et quelle est la
méthode la plus précise.
Avec un nombre de 32 panneaux (intervalles) et en travaillant en double précision, on obtient
les valeurs suivantes.
1. Méthode composée des rectangles sommets droits, sommets gauches et point milieu.
1. Méthode des trapèzes composée.
2. Méthode de Simpson 1/3 composée.
3. Méthode de Romberg d’ordre 10.
Mr : ALLOUCHE Rachid
84
Références
1. Méthode numériques, Manfred GILLI / Université de Genève (Version 25 mars 2006)
2. Introduction aux Méthodes Numériques, Professeur Q. Louveaux / Université de Liège
3. Méthodes numériques, Guillaume Legendre / université de Paris
4. Numerical Recipes in FORTRAN;The Art of Scientific Computing Second Edition
5. Acuracy and Stability of Numerical Algorithms. Nicolas J. Higham, SIAM, 2002
Mr : ALLOUCHE Rachid