Mécanique du point 1. CINÉMATIQUE du point janvier 17 1 Objec.fs • Connaitre le système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques • Connaitre l’expression des vecteurs posi.on, vitesse et accéléra.on dans les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques • Connaitre la défini.on de quelques mouvements par.culiers janvier 17 2 Sommaire 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Défini.on Référen.el Repère Vecteur vitesse Vecteur accéléra.on Exemples de mouvement Récapitula.f janvier 17 3 Sommaire 1. Défini<on – – 2. 3. 4. 5. 6. 7. Défini.on Objet Référen.el Repère Vecteur vitesse Vecteur accéléra.on Exemples de mouvement Récapitula.f janvier 17 4 1. DÉFINITION • Etude du mouvement d’un point sans se préoccuper des causes (les forces) qui lui donnent naissance. • Objet de la cinéma<que : – Décrire la posi.on – La vitesse – L’accéléra.on janvier 17 d’un point au cours du temps 5 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen<el – – – – 3. 4. 5. 6. 7. Nécessité d’un référen.el Défini.on Caractéris.que d’un référen.el Exemples Repère Vecteur vitesse Vecteur accéléra.on Exemples de mouvement Récapitula.f janvier 17 6 2. REFERENTIEL • Nécessité d’un référen.el : – Mouvement d’un point – Observateur qui analyse – Emplacement de l’observateur • Un référen.el (ou solide de référence) est un ensemble de points tous fixes les uns par rapport aux autres. L’observateur qui étudie le mouvement d’un point est lui-­‐même immobile dans ce référen.el. janvier 17 7 2. REFERENTIEL • Caractéris.que d’un référen.el : – Nom – Repère (Point O et 3 direc.ons fixes) • Exemples : – Référen.el de Copernic – Référen.el géocentrique – Référen.el terrestre janvier 17 8 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère – – – Repère d’espace Repère de temps Systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques) 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement janvier 17 7. Récapitula.f 9 3. REPERES Où se trouve le point ? janvier 17 REPÈRE d’espace • Lié au référen.el • Origine O fixe dans le référen.el • Axes de référence (x,y,z). • Axes liés au référen.el. 10 3. REPERES A quel moment ? janvier 17 REPÈRE de temps • Instant 1, instant 2 • Date t1, date t2 • Durée t2 – t1 11 3. REPERES • • • • Coordonnées cartésiennes Coordonnées polaires Coordonnées cylindriques Système de coordonnées à choisir en fonc.on du mouvement du point mobile: – Trajectoire circulaire → coordonnées polaires • Passage d’un système de coordonnées à un autre janvier 17 12 3. REPERES Coordonnées cartésiennes • Dans le plan janvier 17 • Dans l’espace 13 3. REPERES Coordonnées cartésiennes (suite) • x , y , z ( ) • Base fixe dans le référen.el coordonnées longueur (en m) • Vecteur posi.on u x ,uy ,u z ( ) OM = x u x + y uy + zu z janvier 17 14 3. REPERES Coordonnées polaires • Dans le plan Coordonnées cylindriques • Dans l’espace axe polaire janvier 17 15 3. REPERES Coordonnées polaires (suite) (ρ ,θ ) • coordonnée radiale longueur (en m) • Base mobile dans le coordonnée angulaire référen.el (angle polaire, azimut) angle (en rad) u ρ ,uθ ( ) • Vecteur posi.on OM = ρ u ρ janvier 17 16 3. REPERES Coordonnées cylindriques (suite) • (ρ ,θ , z ) cote longueur (en m) • Vecteur posi.on OM = ρ u ρ + z u z janvier 17 • Base mobile dans le référen.el u ρ ,uθ ,u z ( ) 17 3. REPERES Passage polaire → cartésienne ? x =? y =? ! u! uy ux = ? uy = ? janvier 17 ! u! θ ux 18 3. REPERES Passage polaire → cartésienne x = ρ cosθ y = ρ sinθ ! u! u x = cosθ u ρ − sinθ uθ u y = sinθ u ρ + cosθ uθ janvier 17 uy ! u! θ ux 19 3. REPERES Passage cartésienne → polaire ? ρ =? tanθ = ? uρ = ? uθ = ? janvier 17 ! u! uy ! u! θ ux 20 3. REPERES Passage cartésienne → polaire ρ = x² + y² y tanθ = x ! u! u ρ = cos θ u x + sinθ u y uθ = − sinθ u x + cos θ u y janvier 17 uy ! u! θ ux 21 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse – – – Défini.ons (vitesse moy., instant., angulaire) / Unités Expression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques Expression dans la base de Freinet 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 22 4. VECTEUR VITESSE Vitesse moyenne • Direc.on et sens ceux du mouvement (de M1 vers M2). • La norme renseigne sur la distance parcourue en moyenne par unité de temps. • Unités SI – mètre/seconde – m.s-­‐1 janvier 17 Vm M1M2 OM2 − OM1 = = t 2 − t1 Δt 23 4. VECTEUR VITESSE Vitesse instantanée • Vitesse = dérivée par rapport au temps du vecteur posi.on • Durée élémentaire (infiniment pe.te) : dt OM (t + Δt ) − OM (t ) • Vecteur déplacement V (t ) = lim Δt →0 Δt élémentaire : dOM d l V (t ) = = ⇒ V (t ) dt = d l d OM = dl dt dt janvier 17 24 4. VECTEUR VITESSE Expression en coordonnées cartésiennes • Vecteur posi.on OM = x u x + y uy + z u z • Vecteur vitesse V (t ) = x u x + y uy + z u z • Norme du vecteur vitesse V (t ) = V = x ² + y ² + z² janvier 17 4. VECTEUR VITESSE Expression en coordonnées polaires / cylindriques • Vecteur posi.on – Composante radiale Vρ = ρ OM = ρ u + z u ρ z • Vecteur vitesse V (t ) = Vρ u ρ + Vθ uθ + z u z • Norme du vecteur vitesse V (t ) = V = ρ ² + (ρθ )² + z² janvier 17 – Composante orthoradiale Vθ = ρ θ 4. VECTEUR VITESSE Cas du mouvement plan (base de Freinet) • Vecteur vitesse : Tangent à la trajectoire au point M (%)=' ( ↓% " • Norme du vecteur vitesse ‖" (%)‖="=|'| janvier 17 Base de Freinet • Base mobile • ( ↓% : vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté comme celle-­‐ci • ( ↓, : vecteur unitaire normal à la trajectoire et tourné vers la concavité 27 4. VECTEUR VITESSE Vitesse angulaire • Posi.on angulaire de M dans le plan Oxy : θ • Vitesse angulaire = dérivée par rapport au temps de θ • Vecteur vitesse angulaire : ω = θ uz • Sens posi.f : de x vers y janvier 17 28 Sommaire 1. 2. 3. 4. Défini.on Référen.el Repère Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra<on – – – Défini.on / Unités Expression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques Expression dans la base de Freinet 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 29 5. VECTEUR ACCELERATION • Varia.on du vecteur vitesse par rapport au temps • Unités SI – mètre/seconde au carré – m.s-­‐2 dV (t ) d ²OM a(t ) = = dt dt ² janvier 17 30 5. VECTEUR ACCELERATION Expression en coordonnées cartésiennes • Vecteur accéléra.on a(t ) = x u x + y uy + z u z janvier 17 5. VECTEUR ACCELERATION Expression en coordonnées polaires / cylindriques • Vecteur accéléra.on a(t ) = a ρ u ρ + aθ uθ + z u z – Composante radiale a ρ = ρ − ρ θ² – Composante orthoradiale aθ = ρ θ + 2 ρ θ janvier 17 5. VECTEUR ACCELERATION Cas du mouvement plan (base de Freinet) • Vecteur accéléra.on : + – Composante tangen.elle : at .↓% =/'//% – Composante normale centripète : an .↓, ="²/1 • indique si la valeur de la vitesse change • mvt uniforme : at = 0 • toujours posi.ve • toujours tournée vers le centre de courbure de la trajectoire au point considéré • indique que la direc.on du vecteur vitesse change • mvt rec.ligne: an = 0 janvier 17 janvier 17 34 5. ACCELERATION Accéléra<on angulaire • Vecteur accéléra.on angulaire dω = θ uz dt janvier 17 35 Sommaire 1. 2. 3. 4. 5. Défini.on Référen.el Repère Vecteur vitesse Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement – Mouvements rec.lignes – Mouvements circulaires – Mouvement parabolique 7. Récapitula.f janvier 17 36 6. EXEMPLES de MOUVEMENT • Mouvements rec.lignes – – – – Quelconque Uniforme Uniformément varié Sinusoïdal • Mouvements circulaires – – – – Quelconque Uniforme Uniformément varié Sinusoïdal • Mouvement parabolique janvier 17 37 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne • Trajectoire = por.on de droite • Une seule composante pour : – Posi.on : x (t ) v = x (t ) ux = v ux – Vitesse : – Accéléra.on : a = x(t ) ux = a ux • Origine O : posi.on de M à t = 0 x (t = 0 ) = 0 janvier 17 x0 = 0 38 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne quelconque • Vecteur accéléra.on fonc.on quelconque du temps a = x = f (t ) ⇒ v (t ) = x = ∫ f (t ) dt ⇒ x = ∫ v (t ) dt • Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t=0) permehent de déterminer Vo et x0. janvier 17 39 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne uniforme • Vecteur vitesse constant a = x = 0 v (t ) = V 0 = V0 u x ⎫⎪ ⎬ x = V0 v = x (t ) u x = v u x ⎪⎭ x = V0 ⇒ x = V0 .t + x 0 ⎫ ⎬ x = V0 .t x0 = 0 ⎭ janvier 17 40 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne uniformément varié • Vecteur accéléra.on constant + mouvement rec.ligne a(t ) = a 0 = a0 u x ⎫⎪ ⎬ x = a0 a = x(t ) u x = a u x ⎪⎭ 1 x = a0 ⇒ x = a0 .t + v 0 ⇒ x = a0 .t ² + V0 .t + x 0 2 • Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t=0) permehent de déterminer Vo et x0. janvier 17 41 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne sinusoïdal • Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type x = X m cos(ω t + ϕ ) x = v (t ) = − X m ω sin(ω t + ϕ ) x = a(t ) = − X m ω ² cos(ω t + ϕ ) avec : —ω : pulsa.on (en rad/s) —Xm : amplitude maximale du mouvement —Phase Φ à l’instant t : Φ t = ω t + ϕ —ϕ : phase à l’origine () janvier 17 42 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne sinusoïdal (suite) • Équa.on différen.elle x + ω² x = 0 janvier 17 43 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire quelconque • Voir doc récapitula.f Mouvement circulaire • Trajectoire = cercle de centre O et de rayon R • Origine O : centre du cercle et axe Oz perpendiculaire au plan contenant la trajectoire • Equa.ons horaires en coordonnées polaires ρ = R = cte θ = θ (t ) janvier 17 44 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniforme (suite) • Vecteur vitesse angulaire constant dθ ⎫ = θ (t ) = ω0 = cte⎪ dt ⎬ θ = ω0 .t + θ 0 ⎪⎭ θ (t = 0) = θ 0 v = R ω0 uθ janvier 17 45 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniforme (suite) • Vecteur accéléra.on – Composante tangen.elle nulle at = 0 – Composante normale v² a = a n = u n = R ω0 ² u n = −R ω0 ² u ρ R ðMouvement accéléré à accéléra.on centripète janvier 17 46 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniformément varié • Vecteur accéléra.on angulaire constant !!! = !!!0 = cte !! = !!! .t + !! 0 0 1 !! 2 ! ! = ! 0 .t + ! 0 .t + ! 0 2 • Les condi.ons ini.ales (à t=0) ou des condi.ons par.culières permehent de déterminer θ 0 et θ 0 . janvier 17 47 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire sinusoïdal • Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type θ = Θ m cos(ω t + ϕ ) janvier 17 48 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique janvier 17 49 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique (suite) • Condi.ons ini.ales x(t = 0) = x 0 = 0 z(t = 0) = z0 = 0 v(t = 0) = v 0 = v 0 x u x + v 0 z u z = v 0 cos α u x + v 0 sinα u z • Vecteur accéléra.on x = 0 a= z = a0 • Vecteur vitesse janvier 17 x = v 0 x v= z = a0 .t + v 0 z • Vecteur posi.on x = v0 x .t !!!!" OM = 1 z = a0 .t 2 + v0 z .t 2 50 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique (suite) • Trajectoire – Si V0x = 0 è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z – Si V0x ≠ 0 è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z + mouvement rec.ligne uniforme suivant x – équa.on de la trajectoire 2 ! $ ! x $ 1 x z = a0 # & + v0 z # & 2 " v0 x % " v0 x % janvier 17 1 x2 z = a0 2 + x tan ! 2 2 v0 cos ! 51 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique (suite) • Flèche h – Al.tude maxi que peut aheindre le point mobile v0 ² h= sin ²α 2g • Portée d – Distance maxi que peut aheindre le point mobile d= janvier 17 v0 ² sin2α g 52 Sommaire 1. 2. 3. 4. 5. 6. Défini.on Référen.el Repère Vecteur vitesse Vecteur accéléra.on Exemples de mouvement 7. Récapitula<f è travail perso janvier 17 53 7. Récapitula<f • Système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques + passage de l’un à l’autre • Expression des vecteurs posi.on, vitesse, vitesse angulaire, accéléra.on et accéléra.on angulaire dans les différents systèmes de coordonnées • Passages du vecteur posi.on au vecteur vitesse, du vecteur vitesse au vecteur accéléra.on • Défini.on de quelques mouvements par.culiers janvier 17 54
