Transformée de Laplace : Problème MPSI

MPSI LYDEX BENGUERIR ANNÉE SCOLAIRE: 18/19
CONCOURS BLANC 02
Durée 4H
Problème :Transformée de Laplace
Partie I : Définitons et notations
Pour fune application continue par morcaux sur R+à valeurs dans Con définit :
I(f) = {λ∈R/fλ:t7−→ f(t)e−λt est bornée sur R+}
1. Déterminer I(f)dans chacun des cas suivants :
(a) f= 0
(b) f(t) = 1
(c) f(t) = tn, n ∈N∗
(d) f(t) = et2
2. (a) Montrer si I(f)6=∅alors (λ∈I(f) =⇒[λ, +∞[⊂I(f)) .
Indication :pour µ > λ en écrit f(t)e−µt =f(t)e−λte−(µ−λ)t
Notez bien que l égalité indiquée sera fréquement utilisée dans la suite du problème
(b) Déduire que I(f)est un intervalle non majoré de R
On a inf(I(f)) ∈R∪ {−∞} ;inf(I(f)) s’appelle l’absisse de fest noté αf
3. Montrer que si Pest un polynôme non nul et f∈ E alors P.f et font mêmes abscisses
On note dans ce qui suit E={f/f :R+7−→ Ccontinue par morceaux et que I(f)6=∅}
4. Montrer que si f∈ E alors ∀λ>αf, fλ:t7−→ f(t)e−λt est intégrable sur R+
L’application L(f) : I=]αf,+∞[−→ C
λ7−→ L(f)(λ) = Z+∞
0
fλ(t)dt =Z+∞
0
f(t)e−λtdt
s’appelle la transformé de Laplace de f
Partie II : Propriétés et exemples
5. Montrer que si ω∈Cet f:t7−→ eωt alors αf=Re(ω)et ∀λ > Re(ω), L(f)(λ) = 1
λ−ω
6. Montrer que si f, g ∈ E et a∈C∗alors
(a) ∀λ > max(αf, αg), L(a.f +g)(λ) = a.L(f)(λ) + L(g)(λ)
(b) Justifier que : αcos =αsin = 0 et ∀λ > 0, L(cos)(λ) = λ
λ2+ 1 , L(sin)(λ) = 1 λ2+ 1
(c) Justifier que :αch =αsh = 1 et ∀λ > 1, L(ch)(λ) = λ
λ2−1, L(sh)(λ) = 1 λ2−1
7. (a) Montrer que si f∈ E et p > 0alors g:t7−→ f(pt)est dans E,αg=pαfet ∀λ>αg, L(g)(λ) = 1
pL(f)λ p
(b) Calculer par exemple pour λ > 0, L(g)(λ)où g(t) = cos(pt)
Partie III :Régularité de la transformé de Laplace
Dans la suite et sans mention contraire , fest élément de Ed’absisse αf.L(f)est alors bien définie sur ]αf,+∞[
Pour λ>αffixé,on prend atel que αf< a < λ puis hréel tel que |h|<λ−a
2
8. (a) Vérifier que λ+h > αfet montrer que : |L(f)(λ+h)−L(f)(λ)|6Z+∞
0
t|h||f(t)|e−ate−(λ−a)
2tdt
Indication :On peut utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange pour exp entre 0et −ht
(b) Conclure que L(f)est continue sur I
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9. (a) Montrer que : |L(f)(λ+h)−L(f)(λ) + hZ+∞
0
tf(t)e−λtdt|6Z+∞
0
h2t2
2|f(t)|e−ate−(λ−a)
2tdt
Indication :On peut utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange pour exp entre 0et −ht
(b) Conclure que L(f)est dérivable sur Iet expliciter L(f)0(λ)
10. Déduire que L(f)est même de C∞sur Iet que ∀n∈N∗,∀λ∈I
L(f)(n)(λ) = Z+∞
0
(−t)nf(t)e−λtdt c’est à dire L(f)(n)(λ) = L(w)(λ)où w:t7−→ (−t)nf(t).
11. Montrer que si f(0+) = lim
t→0+f(t)alors lim
λ→+∞
λL(f)(λ) = f(0+)(Propriété de la valeur initiale)
Indication : vérifier que : λL(f)(λ)−f(0+) = λZ+∞
0
e−λt(f(t)−f(0+))dt pour λ>a>αfet "les epsilons"
Déduire lim
λ→+∞
L(f)(λ)=0
Partie IV :Autres propriétés et applications
12. Montrer que si f(t) = tn, n ∈N,alors ∀λ > 0, L(f)(λ) = n!
λn+1 .
13. On suppose lim
t→0
f(t)
t=`∈Cet on considère h:t7−→ 
f(t)
tsi t > 0
`si t= 0
Justifier que h∈ E, αh=αf=αet que ∀λ>αf;L(h)(λ) = Z+∞
λ
L(f)(u)du , Indication : ∀t > 0, f(t) = t.h(t)
14. Montrer que ∀λ > 0,Z+∞
0
sin t
te−λtdt =π 2−arctan(λ)et déduire que Z+∞
0
sin t
tdt =π 2
15. Montrer que si lim
t→+∞f(t) = `∈Calors αf60et lim
λ→0+λL(f)(λ) = `(Propriété de la valeur finale)
16. On suppose que fest de classe C∞et ∀k∈N, f(k)∈ E .
(a) Montrer que pour λ > max(αf, αf0), L(f0)(λ) = λL(f)(λ)−f(0)
(b) Montrer que si Fest une primitive de falors λ > max(αf, αF), L(F)(λ) = L(f)(λ)
λ+F(0) λ
(c) Montrer que ,pour λ > max(αf, αf0, ..., αf(n)), L(f(n))(λ) = λnL(f)(λ)−
n−1
X
k=0
λn−1−kf(k)(0)
(d) En admettant l’injectivité de la transformée de Laplace donner en utilisant ce qui précède la solution du problème de Cauchy
y00(x) + y0(x) = xet y(0) = y0(0) = 0
Bon courage et bonne chance
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