LYDEX BENGUERIR
MPSI
ANNÉE SCOLAIRE: 18/19
CONCOURS BLANC 02
Durée 4H
Problème :Transformée de Laplace
Partie I : Définitons et notations
Pour f une application continue par morcaux sur R+ à valeurs dans C on définit :
I(f ) = {λ ∈ R/fλ : t 7−→ f (t)e−λt est bornée sur R+ }
1. Déterminer I(f ) dans chacun des cas suivants :
(a) f = 0
(b) f (t) = 1
(c) f (t) = tn , n ∈ N∗
(d) f (t) = et
2.
2
(a) Montrer si I(f ) 6= ∅ alors (λ ∈ I(f ) =⇒ [λ, +∞[⊂ I(f )) .
Indication :pour µ > λ en écrit f (t)e−µt = f (t)e−λt e−(µ−λ)t
Notez bien que l égalité indiquée sera fréquement utilisée dans la suite du problème
(b) Déduire que I(f ) est un intervalle non majoré de R
On a inf(I(f )) ∈ R ∪ {−∞} ; inf(I(f )) s’appelle l’absisse de f est noté αf
3. Montrer que si P est un polynôme non nul et f ∈ E alors P.f et f ont mêmes abscisses
On note dans ce qui suit E = {f /f : R+ 7−→ C continue par morceaux et que I(f ) 6= ∅}
4. Montrer que si f ∈ E alors ∀λ > αf , fλ : t 7−→ f (t)e−λt est intégrable sur R+
L’application L(f ) : I =]αf , +∞[ −→ C
Z +∞
Z +∞
λ 7−→ L(f )(λ) =
fλ (t)dt =
f (t)e−λt dt
0
0
s’appelle la transformé de Laplace de f
Partie II : Propriétés et exemples
5. Montrer que si ω ∈ C et f : t 7−→ eωt alors αf = Re(ω) et ∀λ > Re(ω), L(f )(λ) =
1
λ−ω
6. Montrer que si f, g ∈ E et a ∈ C∗ alors
(a) ∀λ > max(αf , αg ), L(a.f + g)(λ) = a.L(f )(λ) + L(g)(λ)
λ
(b) Justifier que : αcos = αsin = 0 et ∀λ > 0 , L(cos)(λ) = 2
λ +1
λ
(c) Justifier que :αch = αsh = 1 et ∀λ > 1 , L(ch)(λ) = 2
,
λ −1
7.
,
L(sin)(λ) =
L(sh)(λ) =
λ2
1
λ2 + 1
1
−1
(a) Montrer que si f ∈ E et p > 0 alors g : t 7−→ f (pt) est dans E,αg = pαf et ∀λ > αg , L(g)(λ) =
1
L(f )
p
λ
p
(b) Calculer par exemple pour λ > 0, L(g)(λ) où g(t) = cos(pt)
Partie III :Régularité de la transformé de Laplace
Dans la suite et sans mention contraire , f est élément de E d’absisse αf . L(f ) est alors bien définie sur ]αf , +∞[
λ−a
2
Z +∞
(λ−a)
(a) Vérifier que λ + h > αf et montrer que : |L(f )(λ + h) − L(f )(λ)| 6
t|h||f (t)|e−at e− 2 t dt
Pour λ > αf fixé,on prend a tel que αf < a < λ puis h réel tel que |h| <
8.
0
Indication :On peut utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange pour exp entre 0 et −ht
(b) Conclure que L(f ) est continue sur I
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Tournez, SVP !
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Z
9.
+∞
(a) Montrer que : |L(f )(λ + h) − L(f )(λ) + h
tf (t)e
−λt
+∞
Z
dt| 6
0
0
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(λ−a)
h2 t2
|f (t)|e−at e− 2 t dt
2
Indication :On peut utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange pour exp entre 0 et −ht
(b) Conclure que L(f ) est dérivable sur I et expliciter L(f )0 (λ)
10. Déduire que L(f ) est même de C ∞ sur I et que ∀n ∈ N∗ , ∀λ ∈ I
Z +∞
(n)
L(f ) (λ) =
(−t)n f (t)e−λt dt c’est à dire L(f )(n) (λ) = L(w)(λ) où w : t 7−→ (−t)n f (t).
0
11. Montrer que si f (0+ ) = lim+ f (t) alors lim λL(f )(λ) = f (0+ ) (Propriété de la valeur initiale)
λ→+∞
t→0
Z +∞
+
Indication : vérifier que : λL(f )(λ) − f (0 ) = λ
e−λt (f (t) − f (0+ ))dt pour λ > a > αf et "les epsilons"
0
Déduire lim L(f )(λ) = 0
λ→+∞
Partie IV :Autres propriétés et applications
n!
12. Montrer que si f (t) = tn , n ∈ N, alors ∀λ > 0, L(f )(λ) = n+1 .
λ
f (t)
si t > 0
f (t)
t
13. On suppose lim
= ` ∈ C et on considère h : t 7−→
t→0 t
`
si t = 0
Z +∞
Justifier que h ∈ E, αh = αf = α et que ∀λ > αf ; L(h)(λ) =
L(f )(u)du
, Indication : ∀t > 0, f (t) = t.h(t)
λ
Z +∞
π
sin t
π
sin t −λt
e dt = − arctan(λ) et déduire que
dt =
t
2
t
2
0
0
15. Montrer que si lim f (t) = ` ∈ C alors αf 6 0 et lim λL(f )(λ) = ` (Propriété de la valeur finale)
Z
+∞
14. Montrer que ∀λ > 0,
t→+∞
λ→0+
16. On suppose que f est de classe C ∞ et ∀k ∈ N, f (k) ∈ E .
(a) Montrer que pour λ > max(αf , αf 0 ) ,
L(f 0 )(λ) = λL(f )(λ) − f (0)
L(f )(λ) F (0)
+
λ
λ
n−1
X
L(f (n) )(λ) = λn L(f )(λ) −
λn−1−k f (k) (0)
(b) Montrer que si F est une primitive de f alors λ > max(αf , αF ) ,
(c) Montrer que ,pour λ > max(αf , αf 0 , ..., αf (n) ) ,
L(F )(λ) =
k=0
(d) En admettant l’injectivité de la transformée de Laplace donner en utilisant ce qui précède la solution du problème de Cauchy
y 00 (x) + y 0 (x) = x et y(0) = y 0 (0) = 0
Bon courage et bonne chance
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Fin
