MPSI LYDEX BENGUERIR ANNÉE SCOLAIRE: 18/19
CONCOURS BLANC 02
Durée 4H
Problème :Transformée de Laplace
Partie I : Définitons et notations
Pour fune application continue par morcaux sur R+à valeurs dans Con définit :
I(f) = {λR/fλ:t7−f(t)eλt est bornée sur R+}
1. Déterminer I(f)dans chacun des cas suivants :
(a) f= 0
(b) f(t) = 1
(c) f(t) = tn, n N
(d) f(t) = et2
2. (a) Montrer si I(f)6=alors (λI(f) =[λ, +[I(f)) .
Indication :pour µ > λ en écrit f(t)eµt =f(t)eλte(µλ)t
Notez bien que l égalité indiquée sera fréquement utilisée dans la suite du problème
(b) Déduire que I(f)est un intervalle non majoré de R
On a inf(I(f)) R∪ {−∞} ;inf(I(f)) s’appelle l’absisse de fest noté αf
3. Montrer que si Pest un polynôme non nul et f∈ E alors P.f et font mêmes abscisses
On note dans ce qui suit E={f/f :R+7−Ccontinue par morceaux et que I(f)6=∅}
4. Montrer que si f∈ E alors λ>αf, fλ:t7−f(t)eλt est intégrable sur R+
L’application L(f) : I=]αf,+[C
λ7−L(f)(λ) = Z+
0
fλ(t)dt =Z+
0
f(t)eλtdt
s’appelle la transformé de Laplace de f
Partie II : Propriétés et exemples
5. Montrer que si ωCet f:t7−eωt alors αf=Re(ω)et λ > Re(ω), L(f)(λ) = 1
λω
6. Montrer que si f, g ∈ E et aCalors
(a) λ > max(αf, αg), L(a.f +g)(λ) = a.L(f)(λ) + L(g)(λ)
(b) Justifier que : αcos =αsin = 0 et λ > 0, L(cos)(λ) = λ
λ2+ 1 , L(sin)(λ) = 1
λ2+ 1
(c) Justifier que :αch =αsh = 1 et λ > 1, L(ch)(λ) = λ
λ21, L(sh)(λ) = 1
λ21
7. (a) Montrer que si f∈ E et p > 0alors g:t7−f(pt)est dans E,αg=fet λ>αg, L(g)(λ) = 1
pL(f)λ
p
(b) Calculer par exemple pour λ > 0, L(g)(λ)g(t) = cos(pt)
Partie III :Régularité de la transformé de Laplace
Dans la suite et sans mention contraire , fest élément de Ed’absisse αf.L(f)est alors bien définie sur ]αf,+[
Pour λ>αffixé,on prend atel que αf< a < λ puis hréel tel que |h|<λa
2
8. (a) Vérifier que λ+h > αfet montrer que : |L(f)(λ+h)L(f)(λ)|6Z+
0
t|h||f(t)|eate(λa)
2tdt
Indication :On peut utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange pour exp entre 0et ht
(b) Conclure que L(f)est continue sur I
11/06/19 Page 1/2Tournez, SVP !
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9. (a) Montrer que : |L(f)(λ+h)L(f)(λ) + hZ+
0
tf(t)eλtdt|6Z+
0
h2t2
2|f(t)|eate(λa)
2tdt
Indication :On peut utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange pour exp entre 0et ht
(b) Conclure que L(f)est dérivable sur Iet expliciter L(f)0(λ)
10. Déduire que L(f)est même de Csur Iet que nN,λI
L(f)(n)(λ) = Z+
0
(t)nf(t)eλtdt c’est à dire L(f)(n)(λ) = L(w)(λ)w:t7−(t)nf(t).
11. Montrer que si f(0+) = lim
t0+f(t)alors lim
λ+
λL(f)(λ) = f(0+)(Propriété de la valeur initiale)
Indication : vérifier que : λL(f)(λ)f(0+) = λZ+
0
eλt(f(t)f(0+))dt pour λ>a>αfet "les epsilons"
Déduire lim
λ+
L(f)(λ)=0
Partie IV :Autres propriétés et applications
12. Montrer que si f(t) = tn, n N,alors λ > 0, L(f)(λ) = n!
λn+1 .
13. On suppose lim
t0
f(t)
t=`Cet on considère h:t7−
f(t)
tsi t > 0
`si t= 0
Justifier que h∈ E, αh=αf=αet que λ>αf;L(h)(λ) = Z+
λ
L(f)(u)du , Indication : t > 0, f(t) = t.h(t)
14. Montrer que λ > 0,Z+
0
sin t
teλtdt =π
2arctan(λ)et déduire que Z+
0
sin t
tdt =π
2
15. Montrer que si lim
t+f(t) = `Calors αf60et lim
λ0+λL(f)(λ) = `(Propriété de la valeur finale)
16. On suppose que fest de classe Cet kN, f(k)∈ E .
(a) Montrer que pour λ > max(αf, αf0), L(f0)(λ) = λL(f)(λ)f(0)
(b) Montrer que si Fest une primitive de falors λ > max(αf, αF), L(F)(λ) = L(f)(λ)
λ+F(0)
λ
(c) Montrer que ,pour λ > max(αf, αf0, ..., αf(n)), L(f(n))(λ) = λnL(f)(λ)
n1
X
k=0
λn1kf(k)(0)
(d) En admettant l’injectivité de la transformée de Laplace donner en utilisant ce qui précède la solution du problème de Cauchy
y00(x) + y0(x) = xet y(0) = y0(0) = 0
Bon courage et bonne chance
11/06/19 Page 2/2Fin
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