fiche électrocinétique

PCSI Physique
Fiche Elec4 : Régimes transitoires : régime libre ou
réponse à un échelon
1Généralités
Rappels : En conv récepteur, uL=LdiL
dt , iC=CduC dt , q =CuC,uC(t)et iL(t)sont continues.
Après une durée de quelques τle régime transitoire se termine pour laisser place au régime permanent
qui est un régime continu dans le cas des régimes libres et des réponses à échelon.
En régime continu :
– une bobine se comporte comme un fil ;
– un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
1.1 Systèmes linéaires du 1er ordre
dx(t)
dt +x(t) τ=cste x(t) = ui(t), ii(t)
x(t) = xh(t) + xp
xpest une solution particulière que l’on cherche de la forme du second membre : xp= cste (ici).
xh(t)est la solution de l’équation sans second membre : xh(t) = Aexp−
t
τ
Aest déterminée par la C.I sur l’expression complète de x(t):x(0+) = A+xp
1.2 Systèmes linéaires du 2nd ordre
d2x(t)
dt2+ 2λdx(t) dt +ω2
0x(t) = cste x(t) = ui(t), ii(t)
d2x(t)
dt2+ω0 Q
dx(t)
dt +ω2
0x(t) = cste x(t) = ui(t), ii(t)
x(t) = xh(t) + xp
xpest une solution particulière que l’on cherche de la forme du second membre : xp= cste (ici).
xh(t)est la solution de l’équation sans second membre :
– Si ∆>0(cad si λ > ω0cad si Q < 1
2) : Régime apériodique
xh(t) = Aexpr1t+Bexpr2tavec r1/2=−λ±ω0q1
4Q2−1
– Si ∆ = 0 (cad si λ=ω0cad si Q=1
2) : Régime critique
xh(t) = (At +B) exp−λt
– Si ∆<0(cad si λ < ω0cad si Q > 1
2) : Régime pseudo-périodique
xh(t) = (Acos(Ωt) + Bsin(Ωt)) exp−λt avec Ω = ω0q1−1
4Q2
xh(t) = (Ccos(Ωt+ϕ)) exp−λt et τ=1
λ
Aet Bsont déterminées par une C.I sur x(t)et une autre sur dx(t)
dt :x(0+)et dx dt (0+)
1.3 Etude énergétique
– Un condensateur détient à la date tl’énergie : EC(t) = 1
2Cu2
C(t).
Un condensateur a donc reçu entre t= 0 et tl’énergie : EC(t)−EC(0).
– Une bobine détient à la date tl’énergie : EL(t) = 1
2Li2
L(t).
Une bobine a donc reçu entre t= 0 et tl’énergie : EL(t)−EL(0).
– Une résistance Rareçu entre t= 0 et tl’énergie : ER(t) = Rt
0Ri2
Rdt.
– Un générateur de tension E fournit entre t= 0 et tl’énergie : EG(t) = Rt
0EiGdt.
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2Circuits linéaires du 1er ordre
2.1 Circuit (R,C)
Le circuit (R,C) est un système linéaire du premier ordre de constante de temps τ=RC (= temps de
relaxation =temps caractéristique).
Réponse à un échelon de tension E :
uC(t) = E(1 −exp−
t
τ)uR(t) = Eexp−
t
τ
Bilan d’énergie pendant dt (à partir de la loi des mailles) : les échanges vérifient Eidt =d(1
2Cu2
C)+Ri2dt
Bilan d’énergie entre 0et t:Rt
0Eidt = (EC(t)−EC(0)) + Rt 0Ri2dt
Régime libre
uC(t) = U0exp−
t
τuR(t) = −U0exp−
t
τ
Bilan d’énergie pendant dt :d(1
2Cu2
C) + Ri2dt = 0
2.2 Circuit (R,L)
Le circuit (R,L) est un système linéaire du premier ordre de constante de temps τ=L
R(= temps de
relaxation =temps caractéristique).
Réponse à un échelon de tension E
uR(t) = E(1 −exp−
t
τ)uL(t) = Eexp−
t
τ
Bilan d’énergie pendant dt :Eidt =d(1
2Li2) + Ri2dt
Régime libre
uR(t) = RI0exp−
t
τuL(t) = −RI0exp−
t
τ
Bilan d’énergie pendant dt :d(1
2Li2) + Ri2dt = 0
3Circuits linéaires du 2nd ordre : circuit (R,L,C) série
Le circuit (R,L,C) est un système linéaire du deuxième ordre de pulsation propre ω0=1
√LC et de
facteur de qualité Q=Lω0
R=1 RCω0.
Pour le régime pseudo-périodique, on introduit :
– le temps caractéristique τ=1
λ;
– la pseudo-pulsation Ω = ω0q1−1
4Q2; la pseudo-période T=2π
Ω;
– le décrément logarithmique δ= ln x(t)
x(t+T)=T
τ.
Bilans d’énergie (quel que soit l’amortissement, à partir de la loi des mailles), pendant dt :
– Régime libre : d(1
2Li2) + d(1 2Cu2
C) + Ri2dt = 0
– Réponse à un échelon de tension E : Eidt =d(1
2Li2) + d(1 2Cu2
C) + Ri2dt
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