fiche électrocinétique

PCSI
Physique
Fiche Elec4 : Régimes transitoires : régime libre ou
réponse à un échelon
PCSI
2
2.1
1
Physique
Circuits linéaires du 1er ordre
Circuit (R,C)
Le circuit (R,C) est un système linéaire du premier ordre de constante de temps τ = RC (= temps de
relaxation = temps caractéristique).
Généralités
Rappels : En conv récepteur, uL = L didtL ,
iC = C dudtC ,
q = CuC ,
uC (t) et iL (t) sont continues.
Après une durée de quelques τ le régime transitoire se termine pour laisser place au régime permanent
qui est un régime continu dans le cas des régimes libres et des réponses à échelon.
En régime continu :
– une bobine se comporte comme un fil ;
– un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
Réponse à un échelon de tension E :
t
t
uC (t) = E(1 − exp− τ )
uR (t) = E exp− τ
Bilan d’énergie pendant dt (à partir de la loi des mailles) : les échanges vérifient Eidt = d( 12 Cu2C )+Ri2 dt
Rt 2
Rt
Bilan d’énergie entre 0 et t :
0 Eidt = (EC (t) − EC (0)) + 0 Ri dt
Régime libre
1.1
Systèmes linéaires du 1er ordre
t
t
uC (t) = U0 exp− τ
dx(t) x(t)
+
= cste
dt
τ
x(t) = ui (t), ii (t)
2 ) + Ri2 dt = 0
d( 12 CuC
Bilan d’énergie pendant dt :
2.2
x(t) = xh (t) + xp
xp est une solution particulière que l’on cherche de la forme du second membre : xp = cste (ici).
− τt
xh (t) est la solution de l’équation sans second membre : xh (t) = A exp
A est déterminée par la C.I sur l’expression complète de x(t) : x(0+ ) = A + xp
uR (t) = −U0 exp− τ
Circuit (R,L)
Le circuit (R,L) est un système linéaire du premier ordre de constante de temps τ =
relaxation = temps caractéristique).
x(t) = ui (t), ii (t)
d2 x(t) ω0 dx(t)
+
+ ω02 x(t) = cste
dt2
Q dt
x(t) = ui (t), ii (t)
Régime libre
t
xp est une solution particulière que l’on cherche de la forme du second membre : xp = cste (ici).
r1/2 = −λ ± ω0
q
– Si ∆ = 0 (cad si λ = ω0 cad si Q = 12 ) : Régime critique
xh (t) = (At + B) exp−λt
– Si ∆ < 0 (cad si λ < ω0 cad si Q > 12 ) : Régime pseudo-périodique
avec
xh (t) = (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) exp−λt
q
et
ϕ)) exp−λt
A et B sont déterminées par une C.I sur x(t) et une autre sur
1.3
Ω = ω0
1
4Q2
dx(t)
dt
: x(0+ ) et
dx +
dt (0 )
Etude énergétique
−1
1
4Q2
= λ1
1−
τ
3
uL (t) = −RI0 exp− τ
d( 12 Li2 ) + Ri2 dt = 0
Bilan d’énergie pendant dt :
xh (t) est la solution de l’équation sans second membre :
– Si ∆ > 0 (cad si λ > ω0 cad si Q < 12 ) : Régime apériodique
t
uR (t) = RI0 exp− τ
x(t) = xh (t) + xp
avec
uL (t) = E exp− τ
Eidt = d( 12 Li2 ) + Ri2 dt
Bilan d’énergie pendant dt :
dx(t)
d2 x(t)
+ ω02 x(t) = cste
+ 2λ
dt2
dt
xh (t) = (C cos(Ωt +
t
uR (t) = E(1 − exp− τ )
Systèmes linéaires du 2nd ordre
xh (t) = A expr1 t +B expr2 t
Circuits linéaires du 2nd ordre : circuit (R,L,C) série
Le circuit (R,L,C) est un système linéaire du deuxième ordre de pulsation propre ω0 =
facteur de qualité Q =
Lω0
R
=
1
RCω0 .
Pour le régime pseudo-périodique, on introduit :
– le temps caractéristique τ = λ1 ;
q
1
– la pseudo-pulsation Ω = ω0 1 − 4Q
2 ; la pseudo-période T =
– le décrément logarithmique δ = ln
x(t)
x(t+T )
=
2π
Ω
√1
LC
;
T
τ.
Bilans d’énergie (quel que soit l’amortissement, à partir de la loi des mailles), pendant dt :
– Régime libre :
d( 12 Li2 ) + d( 12 Cu2C ) + Ri2 dt = 0
– Réponse à un échelon de tension E :
Eidt = d( 12 Li2 ) + d( 12 Cu2C ) + Ri2 dt
– Un condensateur détient à la date t l’énergie : EC (t) = 12 Cu2C (t).
Un condensateur a donc reçu entre t = 0 et t l’énergie : EC (t) − EC (0).
– Une bobine détient à la date t l’énergie : EL (t) = 12 Li2L (t).
Une bobine a donc reçu entre t = 0 et t l’énergie : EL (t) − E
R Lt (0).
– Une résistance R a reçu entre t = 0 et t l’énergie : ER (t) = 0 Ri2R dt.
Rt
– Un générateur de tension E fournit entre t = 0 et t l’énergie : EG (t) = 0 EiG dt.
1
(= temps de
Réponse à un échelon de tension E
t
1.2
L
R
2
et de