c91p074

Corrigé centrale 91 M-P'
Première partie.
I- Collision neutron-noyau
1/ Conservation de la qdm : mV mV Mw V V Aw
GG GGG G
12 2122
=+ ⇒=+
Conservation de l'énergie: ½½½mV mV Mw V V Aw
GGGGG G
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
=+⇒=+
2/ De
GG G
VVAw
12 2
=+ , on tire :
GGGGG
VVAw VAwAVw
2
2
12
2
1
2
2
2
12
2=− =+ −() cosθ
Soit cosθ= −+ =+=+
GG GG G
VVAw
AV w
Aw A w
AV w
w
V
A
1
2
2
22
2
2
12
2
22
2
2
12
2
1
22
1
2> 0 donc 0 < θ < π/2
En fonction des énergies : ½ ½ ½ ½ AmmV mV Mw E E w
GGGG
1
2
2
2
2
2
12 2
2
=+⇒−= et E V
11
2
=½m
G
Alors cosθ= +=−+w
V
AEE
AE
A
2
1
12
1
1
2
1
2donc E
E
A
A
2
1
2
2
14
1
=− +
cos
()
θ
II- Modèle des sphères dures.
1/ La force de contact passe par le centre d'inertie,
donc la vitesse G
w2 sera dirigé suivant la réaction
normale. On en déduit : sin θ= +
b
RR
12
2/ Le paramètre d'impact peut varier entre 0 et la valeur
R1 + R2. Ce qui correspond pour le centre du neutron à
θ
b
neutron
noyau
V1
W2
à une cible de surface variant de 0 à (R1 + R2)2.
La probablité de recevoir un impact sur une couronne de rayon : b → b + db est : dP bdb
RR1
2
12
2
=+
π
π()
3/ Par définition: <− − > =<− − +>=− − +
+
∫
Ln K Ln Kb
RR Ln Kb RR db
bb
RR
[cos] [
()
][
()
]11 1
2
2
12
2
2
12
2
0
12
θ
En posant xKb
RR
=+
2
12
2
()
⇒
[][]
1111 11111
0
KxLn x x KKLn K K
K
()()() ( )( )( )− −−− = − −−−+
Ce qui donne : 111+−−
K
KLn K( ) cqfd . Il faut que 0 < K < 1 pour que la fonction aît un sens.
4/ On a obtenu E
E
A
AK
2
1
2
2
2
14
11=− +=−
cos
() cos
θθ avec KA
A
=+
4
12
()
< 1 si A > 1
on peut utiliser le résultat précédent : KA
AKA A
=+⇒− = −
+
4
111 1
2
2
()
Donc coefficient de ralentissement : γ=<− >= + −
−
+=Ln E E
A
ALn A
A
b
[] ( )
2
1
2
11
2
1
1
5/ a)La dérivée de γ vaut zéro pour : 01
22
1
1
11
1
12 12
=−
−+
−
+−
+
−
A
A
AA
ALn A
AAA
//
() ()
Le terme entre crochet ne s'annulant pas, la racine est A = 1. On vérifiera que c'est bien un
maximum pour le ralentissement.
b) A-N : 1H (A = 1) γ = 1 ; 2H (A = 2) γ = 0,725 ; 12C (A = 12) γ = 0,158 ; 238U (A = 238) γ = 0,008 ;
III- Application aux ralentissements des neutrons.
1/ Il y a ½ kT par degré de liberté, donc E300K = 3/2kT = 3,9.10−2 eV.
C'est très faible devant l'énergie initiale des neutrons. On peut considèrer les noyaux immobiles,
sauf pour les dernières collisions.

2 a/ Avec γ=<− >Ln E
Eb
[]
2
1
et en écrivant : E
E
E
E
E
E
E
ELn E ELn E E
nn
n
n
n
np
p
n
01
1
2
1
00 1
1
=⇒
=
−
−
−−
∑
"
on a en raisonnant sur les valeurs moyennes : Ln E
EnEEe
n
n
0
0
=− ⇒ = −
γγ
2b/ nLn
E
E
K
=− 
1300
0
γd'où 1H : n = 17 ; 2H : n = 24 ; 12C : n = 108 ; 238U : n = 214;
3a/ A une date t : vt Et
m
() () =2, la durée moyenne intercollision est: ∆tvt =λ
()
et le nombre de
collisions par unité de temps est : dn
dt t
dn
dt
E
m
=⇒=
112
∆λ
.
3b/ L'équation Ln E
En
n
0
=− γdonne, en passant à la limite : γdn Ln EdE
E
dE
E
=− +=−[]
soit : γλ
dt E
m
dE
E
2=− ; en posant yE
E
=
0
on a γλ
dt E
m
dy
y
20
32
=− /
3c/ L'intégration conduit à :
[]
21 2
12 0
yt
E
m
−−=
/γ
λsoit : E
EtE m
00
12
2
=+
γ
λ
4a/ On calcule d'abord E
E
05000
≈ puis avec γ = 0,158 on trouve t = 120 µs .
On a toujours : E
E
01
>> donc tm
E
=2
2
λ
γ indépendant de E0.
4b/ La distance parcourue pendant dt est : dx v dt dt E
m
==.2 et on a aussi γλ
dt E
m
dE
E
2=−
donc dx dE
ExLn
E
EK
=− ⇒ =
λ
γ
λ
γ
0
300
on trouve ainsi x = 2,8 m.
On peut remarquer que cette distance corespond à nλ puisque nLn
E
E
K
=− 
1300
0
γ.
Deuxième partie.
1a/ Avec ξG uAM=→
1 ⇒ le théorème d'Ampère donne
GGG
BIku=
µ
∧
0
2
2πξ ξ
1b/ AM
1
→=(cos) sinra u a u
r
−+θθ
θ
GG
⇒GG
G
BBau
ra u
r
=−
−
0
2
ξ
θ
θθ
sin
( cos ) et ξθ
222
2=+−ar arcos
1c/
[]
[]
G′=
−=− − −
−=− − + −
BB
au
ra u
0
2
2
2
2
14
234
sin sin sin cos sin [ cos
( cos ) cos [ cos ]
θ
ξθθθθ θ
θ
ξθθθ θ
+2 u ]
cos u cos u
2
22

2a/ Il faut faire une rotation de π et changer le signe du courant. Soit:
GG
Bu Bu"( , ) '( , )
θθπ=− +
2b/
[]
BBu Bu B
rr r10
2
214=−+=−−−'( , ) '( , ) sin sin [ cosθθπ θθθu]
2
[]
BBu Bu B
10
2
234
θθ θ
θθπ θθ θ=−+=−− −' ( , ) ' ( , ) cos [ cos ]cos u2
en linéarisant :
[]
BB
r10
23=− +sin sinθθu2et
[]
BB
10
23
θθθ=− +cos u2cos
3a/ Il faut faire une rotation d'angle − 2π/3 et d'angle +2π/3 .
3b/ Donc BBu Bu Bu
rr r r
=+−++
11 1
23 23(,)(, /)(, /)
θθπ θπ
B B u B u B u
θθ θ θ
θθπ θπ=+−++
11 1
23 23(,)(, /)(, /)
Or cos( / ) cos( / ) cos
sin( / ) sin( / ) sin
θπ θπ θ
θπ θπ θ
−++=−
−++=−
23 23
23 23 on a finalement:
[]
BB
r=−23 3 0u2sin θ
[]
BB
θθ=−23 3
0u2cos donc C=6
4a/ Ligne de champ: dB dr
rd
B
B
r
G
A
G
// ⇒=
θθ
⇒dr
rdrr=⇒=
sin
cos /cos
3
33
3
0
3
θ
θθθ
4b/ ci-contre : allure des lignes de champ.
4c/ Module B r B r a() /=60
22
,
lignes isomodules B(r) = Cte sur un cercle de
centre O
x
y
o
II- Action du champ sur un neutron
1a/ Pour un dipôle E B
p=− GG
M. donc deux cas possibles : E B
// =−M et E B
⊥=M
Soit en remplaçant B par CB r a
0
22
/⇒ Emr
// =−½Ω22
et Emr
/=
// ½Ω22
1b/ La force est donnée par :
GG
FgradE
p
=− donc
GG
Fmr
// =Ω
2 et
GG
Fmr
/=−
// Ω2
Pour confiner il faut une force de rappel, seuls les neutrons antiparallèles peuvent être confinés.
2a/ La RFD donne :
GGGG
Fmrm
dr
dt mdz dt k
/=− = +
// Ω2
2
2
2
2 ⇒−= =mrm
dr
dt
dz
dt
Ω2
2
2
2
20
GG
et
2b/ L'intégration donne : GGG rt A t A t() cos sin=+
12
ΩΩ où
GG
AA
12
et sont des constantes.
soit avec les conditions initiales: z v t=0 et GGG
rt xi t ujt() cos sin=+
0
0
ΩΩΩ.
2c/ La trajectoire est une hélice d'axe Oz et de section elliptique.
3a/ Le neutron est confiné si le grand axe de l'ellipse est inférieur au rayon a; x0 étant plus petit que
a il faut que: au
>0
Ω soit encore : ua
C=Ω.
3b/ A-N: uC = 5,9 m.s−1ce qui donne EC = 18.10−8 eV et aussi TC = 1,4.10−3 K
Ce résultat justifie l'appellation neutron ultra-froids.
3c/ La fonction de répartition de Boltzmann permet de calculer la fraction de neutrons qui ont une
énergie inférieure à la valeur calculée précédemment:
FkT E E kT dE
EC
=−
∫1
2
1
32
0π() exp( / )
/
si T = 300 K << TC on peut simplifier ⇒
[]
FkT EdE kT E
EE
C
C
≈=
∫1
2
11
2
12
3
32
0
32
32
0
ππ
() ()
//
/

Soit finalement : FT
T
C
=
≈−
3
4510
32
9
π
/
. donc extrémement faible.
4/ Les neutrons ont un mouvement de dérive suivant l'axe Oz. or les fils créant le champ magnétique
ne peuvent être rééllement infinis. Le confinement n'a lieu que dans la partie centrale du dispositif et
se termine lorsque les neutrons sortent du dispositif.
III- Amélioration du confinement
1a/ Pour les neutrons confinés :
GG
Fmr
// =− Ω
2 avec maintenant G
r=OM'
→=− +()ρρ
Ru zk
GG
1b/ En cylindriques : GG G
G
au uzk=− + + +( )( ) ρρθ ρθρθ
ρθ
22
1c/ Equations du mouvement :
 ()
ρρθ ρ
ρθ ρθ
−=− −
+=
=−
22
2
20
Ω
Ω
R
zz
2a/ Compte tenu des conditions initiales:  cos( ) sinzzzz t
Vt=− ⇒ = +ΩΩ
ΩΩ
2
0
0.
2b/ 210
2
2
0
2
0
 ()
ρθ ρθ ρ
ρθ ρθ ρω+= =⇒ = = d
dt Cte "mouvement projeté sur x0y à force centrale".
2c/ Il reste l'équation en ρ(t):   ()ρρθ ρ ρω
ρρ−=−
=− −
20
4
0
2
3
2
ΩR
3a/ si ω0 = 0 alors θ = θ0 est constant :  ()()( )cosρρ ρ ρ=− − ⇒ − = −ΩΩ
2
0
RRRt,
c'est l'équation paramètrique (z(t),ρ(t)) d'une ellipse de centre O'.
3b/ si  θω==Cte 0 alors ρρ
2
0
2
=, la trajectoire est sinusoïde dessinée sur un cylindre d'axe Oz.
La trajectoire sera fermée si la durée d'un tour est un multiple de la période, soit Ω=nω0.
4a/ Si
ρ
ρ
ε=+
mt[()]1 alors l'équation en ε est : ρε ρω
ρερρε
m
m
mm
R
 [] ( )
−
−=− −+
0
4
0
2
3
2
13 Ω
4b/ La valeur moyenne correspond à ε = 0 : −
=− −
ρω
ρρ
0
4
0
2
3
2
m
mR
Ω( ) on a
4c/ Par différence : ρε ρω
ρερε
m
m
m
 +
+=
30
0
4
0
2
3
2
Ω soit : 
ερω
ρεε+
+=
30
0
4
0
2
4
2
m
Ω
ce qui s'intègre en εε
ϕ
() cos( ' )tt=+
00
Ω en posant : ΩΩ'=
+30
4
0
2
4
2
ρω
ρm
.
Ce qui donne alors la vitesse angulaire: []θρω
ρ
ρω
ρε=≈ −
0
2
0
2
0
2
0
212
m
.
4d/ Les trajectoires sont alors ses oscillations autour des sinusoïdes tracées sur un cylindre. La
vitesse angulaire étant elle même oscillante.
5/ La pesanteur entaîne un mouvement de chute selon l'équation z = ½ gt2 qui s'ajoute aux
oscillations. Au bout d'une période la "chute" vaut donc : h g=222
π/Ω .
On calcule alors : h = 5,6 mm, ce qui n'est pas négligeable.
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