a) On consid`ere H:= {(a, b)∈Z2:a−best divisible par 10}. Montrer que Hest un sous-groupe
de Z2, calculer son rang, en donner une base et d´ecrire le quotient Z2/H.
b) On note Hle sous-groupe de Z2engendr´e par (2,5), (5,−1) et (1,−2). D´eterminer une base
de Het d´ecrire le quotient Z2/H.
c) On note Hle quotient de Z3par le sous-groupe engendr´e par les vecteurs (4,8,10) et (6,2,0).
D´eterminer la structure du groupe H.
Solution de l’exercice 11.
a) Il est clair que Hest un sous-groupe de Z2. Soit (a, b)∈Z2. Alors (a, b)∈Hsi et seulement
s’il existe k∈Ztel que b=a+ 10k. Cela assure que H={(a, a + 10k) : (a, k)∈Z2}=
Z(1,1) ⊕Z(0,10), donc que Hest de rang 2, de base (1,1) et (0,10). Alors (1,1) et (0,1)
forment une base de Z2adapt´ee `a l’inclusion H⊂Z2, ce qui assure que Z2/H ∼
=Z/10Z.
b) On applique l’algorithme de r´eduction des matrices `a coefficients entiers pour montrer que des
op´erations ´el´ementaires sur les colonnes de la matrice obtenue en inscrivant les trois vecteurs
donn´es en colonne, `a savoir 2 5 1
5−1−2,
aboutissent `a la matrice 0 0 1
0 9 −2.
Cela assure que (1,−2) et (0,9) forment une base de H. Donc Hest de rang 2, et ((1,−2); (0,1))
est une base adapt´ee `a l’inclusion H⊂Z2, ce qui assure que Z2/H ∼
=Z/9Z.
c) En r´eduisant la matrice correspondante, on voit qu’une base du sous-groupe Z(4,8,10) +
Z(6,2,0) est donn´ee par (−20,0,10) et (6,2,0). Cela assure qu’une base adapt´ee `a l’inclu-
sion de ce groupe dans Z3est donn´ee par les trois vecteurs (−2,0,1), (3,1,0) et (1,0,0). Donc
le quotient Hest isomorphe `a Z⊕Z/2Z⊕Z/10Z.
Exercice 12 :
Soit n≥1. Constuire dans Run sous-groupe isomorphe `a Zn.
Solution de l’exercice 12. Soient p1, . . . , pndes nombres premiers distincts. Considrons le sous-groupe
additif de Rengendr par log(p1),...,log(pn). Si a1, . . . , an∈Zsont tels que a1log(p1) + ··· +
anlog(pn) = 0, alors en prenant l’exponentielle on trouve pa1
1. . . pan
n= 1 donc a1=··· =an= 0. Donc
ce sous-groupe est isomorphe `a Zn.
Autre exemple : le groupe engendr´e par 2(2−i), 1 ≤i≤nconvient aussi.
Autre exemple : le groupe engendr´e par les racines carr´ees des npremiers entiers positifs sans facteurs
carr´es 1,√2,...,√mconvient aussi.
Encore un autre exemple : si θ∈Rest un nombre transcendant (il en existe, par cardinalit´e), alors
le sous-groupe engendr´e par 1, θ, . . . , θn−1convient ´egalement (pour un exemple explicite, on pourra
prendre θ=π, mais la preuve de la transcendance est difficile, ou plus directement un nombre de
Liouville comme θ=P+∞
k=0 10−k!).
Exercice 13 :
Soit n≥1 est un entier. Montrer que tout syst`eme libre maximal dans Znest de cardinal n.
Donner un exemple o`u un tel syst`eme n’est pas une base.
Solution de l’exercice 13. On peut voir G=Zncomme un sous-groupe de Qn. Soit e1, . . . , erun
syst`eme libre maximal de G.
— Supposons r > n. Alors e1, . . . , ern’est pas libre sur Qdonc il existe q1, . . . , qr∈Qtels que
q1e1+··· +qrer= 0. Quitte `a multiplier par le PPCM des d´enominateurs des q1, . . . , qr, on
peut supposer que q1, . . . , qr∈Z. Donc e1, . . . , ern’est pas libre sur Z.
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