Alg`ebre : Série 4

License de Math´ematiques Ann´ee Universitaire 2012-2013
Alg`ebre : S´erie 4
Exercice 1 : Question du cours
Soient Gun groupe, Nun sous-groupe normal et π:G→G/N l’application quotient. Soit f:
G→Hun homomorphisme tel que N⊆Ker(f). Montrer qu’il existe un unique homomorphisme
¯
f:G/N →Htel que f=¯ f◦π, c’est-`a-dire que le diagramme suivant commute :
Gπ//
f
G/N
∃!¯ f
||z
z
z
z
z
z
z
z
H
– Montrer que si Ker(f) = N, alors ¯ fest injectif.
– Montrer que si fest surjectif, alors ¯ fest surjectif.
Exercice 2
Soit kun corps commutatif. Soit Gun sous-ensemble de GL3(k) de la forme :
G=
1x z
0 1 y
0 0 1
:x, y, z ∈k
.
1. Montrer que Gest un groupe. Ce groupe s’appelle le groupe de Heisenberg et on le note
G=Heis(k).
2. Trouver le centre de Heis(k).
Exercice 3
Trouver les centres des groupes GLn(R), O(n) et SO(n).
Exercice 4
1. Trouver les classes de conjugaisons de Dn. En d´eduire le centre de Dn.
2. D´ecrire le sous-groupe des commutateurs et l’ab´elianis´e de Dn.
3. Mˆeme questions avec le groupe Q8.
Exercice 5
1. Trouver le centre Z(GL2(C)) de groupe GL2(C). On note
GL2(C)/Z(GL2(C)) =: P GL2(C).
Justifier que c’est bien l’ensemble des transformations de M¨obius vu `a l’exercice 7 de la
s´erie 3.
2. Montrer que P GL2(C) est isomorphe `a SL2(C)/Z(SL2(C)) =: P SL2(C).

Exercice 6
Soit n≥6 tel que n= 2qavec qun nombre impair. Posons H=hs, r2iet Z={1, r n
2}, o`u sest
une r´eflexion et rest une rotation dans Dn.
1. Montrer que H'Dn
2et Zest un sous-groupe normal de Dn.
2. Montrer qu’il existe un isomorphisme f:H×Z→Dn.
3. En d´eduire que
Dn'Dn
2×Z/2Z.
Exercice 7
Soit Gun groupe engendr´e par aet btels que an= 1 pour un entier n≥3, b2= 1 et bab =a−1.
Montrer qu’il existe un homomorphisme surjectif f:Dn→G.
Montrer de plus si |G|= 2n, alors cet homomorphisme est un isomorphisme.
Exercice 8
1. Soit n≥3. Posons
∆n= ±1x
0 1 :x∈Z/nZ.
Montrer que ∆nest un sous-groupe de GL2(Z/nZ), isomorphe `a Dn.
2. Montrer que, si Gest un groupe non-ab´elian fini engendr´e par deux ´el´ements d’ordres 2,
alors Gest isomorphe `a un groupe di´edral.
Exercice 9
On note
D∞=ha, b|b2= 1, bab−1=a−1i
le groupe dih´edral infini. Trouver le centre, le sous-groupe des commutateurs et l’ab´elianis´e
de D∞.
Exercice 10
Soient Gun groupe, Het Kdeux sous-groupes de G. On note :
HK ={hk |h∈Het k∈K}KH ={kh |h∈Het k∈K}.
1. Montrer que HK est un sous groupe de Gsi et seulement si HK =KH.
2. On suppose KG. Montrer que :
(a) HK est un sous-groupe de G (et donc HK =KH)
(b) H∩KHet KHK.
(c) le deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme
H/H ∩K'HK/K.
(Indication : Consid´erer le morphisme de groupes de Hdans HK/K).

Exercice 11
D´emontrer le troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme :
Soit Ket Ndeux sous-groupes normaux de Gavec N < K. Alors on a :
K/N G/N et (G/N)
(K/N)'G/K.
Exercice 12
Soit Gun groupe. Pour tout x∈Gon note φx:G→Gl’automorphisme int´erieur d´efini par
φx(g) = xgx−1. On note Int(G) l’ensemble des automorphismes int´erieurs.
1. Montrer que Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G). Que se passe-t-il lorsque Gest
ab´elien ?
2. Montrer que le noyau Z(G) de l’application canonique ϕ:G→Aut(G), x7→ φxest un
sous-groupe normal de Get qu’il est ab´elien. D´ecrire ce sous-groupe appel´e centre de G.
3. Montrer que Int(G)'G/Z(G).
Exercice 13
1. Calculer Aut(Z) et Int(Z).
2. Quels sont les g´en´erateurs de Z/n ? Quel est le cardinal de Aut(Z/n) ?
3. Si Gfini d’ordre n, montrer que Aut(G) est isomorphe `a un sous-groupe de Sn−1, le groupe
des permutations de n−1 ´el´ements (i.e. bijections d’un ensemble de n−1 ´el´ements).
Exercice 14
Soit H,Kdeux sous-groupes de G. Montrer que les asertions suivantes sont ´equivalentes :
1. H,Ksont normals dans G,HK =Get H∩K={1}.
2. (a) pour tout h∈Het k∈K,hk =kh ;
(b) pour tout g∈G, il existe unique h∈Het k∈Ktel que g=hk.
3. L’application H×K→G; (h, k)7→ hk est un isomorphisme.
Exercice 15
Montrer que
1. Si Gest un groupe non ab´elien, alors Int(G) n’est pas cyclique.
2. Si Gest un groupe non ab´elien fini tel que |G|=pkavec k∈N, alors p2divise |Int(G)|.
3. Le centre d’un groupe non ab´elien d’ordre p3poss`ede exactement p´el´ements.
Exercice 16
Montrer que Gest r´esoluble si et seulement s’il existe une suite finie d´ecroissante de sous-groupes
de G :
1HnHn−1· · · H1H0=G
tel que Hi/Hi+1 est ab´elian pour tout i.