Calcul Integral Cours

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Lycée A.Torres Calcul intégral 2ème PC
I) Intégrale d’une fonction continue sur un segment :
1) L’intégrale et primitives :
Définition 1 :
Soit fune fonction définie et continue sur un intervalle Ide R, et soient aet bdeux éléments de I.
Le nombre F(b)F(a),Fest une primitive de fsur I, est indépendant du choix de F. Ce nombre est appelé
l’intégrale de la fonction fde aàbet noté Zb
a
f(x)dx. On écrit alors :
Zb
a
f(x)dx= [F(x)]b
a=F(b)F(a)
Remarque 1:
Zb
a
f(x)dxse lit " somme de f(x)dxde aàb" ou " intégral de f(x)dxde aàb".
Les nombres aàbs’appellent les bornes de cette intégrale.
Zb
a
f(x)dxne dépend pas de la variable choisie. On peut aussi écrire Zb
a
f(t)dtou Zb
a
f(z)dz.
Conséquences 1:
soit fune fonction continue sur un intervalle Ipour tous aet bde Ion a :
Za
a
f(x)dx= 0.
Zb
a
f(x)dx=Za
b
f(x)dx.
Exercice d’application 1:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z1
0
exdx2) Zπ
π
sin xdx3) Zln 2
0
et
et+ 1 dt4) Ze2
e
ln x
xdx
...............................................................................................................
2) Propriétés de l’intégrale :
Propriété 1:
soit fune fonction continue sur un intervalle Ipour tous a,bet cde Ion a :
Zb
a
f(x)dx=Zc
a
f(x)dx+Zb
c
f(x)dx. ( C’est la relation de Chasles pour les intégrales )
Propriété 2:
soient fet gdeux fonctions continues sur un intervalle Iet kun nombre réel pour tous aet bde Ion a :
Zb
a
(f(x) + g(x)) dx=Zb
a
f(x)dx+Zb
a
g(x)dx.
Zb
a
kf (x)dx=kZb
a
f(x)dx.
Exercice d’application 2:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z3
0|x2|dx2) Ze
1
2
xdx3) Z4
12x+xdx4) Z4
12
x23
xdx
...............................................................................................................
1
3) Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet aun élément de I.
La fonction gdéfinie sur Ipar : g(x) = Zx
a
f(t)dtest la primitive de fsur Iqui s’annule en a.
Théorème 1 :
Remarque 2:
La fonction gcitée dans le théorème précédent est dérivable sur Iet on : (xI), g(x) = f(x)de plus on a :
lim
xa
1
xaZx
a
f(t)dt= lim
xa
g(x)g(a)
xa=g(a) = f(a); On a aussi : lim
h0
1
hZa+h
a
f(t)dt=f(a)
Exercice d’application 3:
On considère la fonction fdéfinie sur I= ]0 ; +[par f(x) = 1
x2+x:
1. Vérifier que (xI) ; f(x) = 1
x1
x+ 1
2. Déterminer la primitive de la fonction fsur Iqui s’annule en 1.
...............................................................................................................
4) Interprétation géométrique d’une intégrale :
Propriété 3:
Soit fune fonction continue et positive sur un segment [a;b] (a < b)et (Cf)sa
courbe représentative dans un repère orthogonal (O;
i ,
j).
L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=aet x=best : A=Zb
a
f(x)dxexprimée en unité d’aire.
( sachant que une unité d’aire est l’aire du rectangle construit à partir des
vecteurs unités).
a
~
i
~
j
bO
1u.a. Zb
a
f(x)dx u.a.
II) Techniques de calcul d’ingrales :
1) Utilisation direct des primitives :
Exemples :
Z1
0
e2xdx=......................................................................................................
Z1
0
x
1 + x2dx=...................................................................................................
Z2
1
x+ 1
(x2+ 2x)2dx=...............................................................................................
2) Intégration par partie :
Soient uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle Itelles que leurs dérivées uet usont continues sur I.
Alors pour tous réels aet bde Ion a : Zb
a
u(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]b
aZb
a
u(x)v(x)dx
Théorème 2 :
Exercice d’application 4:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z1
0
xexdx2) Zπ
0
xsin xdx3) Ze
1
ln xdx
...............................................................................................................
2
III) Intégrales et ordre :
1) Positivité et croissance :
Soient fet gdeux fonction continues sur un intervalle Iet soit aet bdeux éléments de I.
Si a6bet la fonction fest positive sur Ialors : Zb
a
f(x)dx0.
Si a6bet (x[a;b]) , f(x)g(x)alors : Zb
a
f(x)dxZb
a
g(x)dx.
Proposition 3 :
2) Intégrale et valeur absolue :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux éléments de Itels que ab.
On a :
Zb
a
f(x)dx
Zb
a|f(x)|dx.
Proposition 4 :
3) Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux éléments de Itels que ab.
S’il existe deux réels met Mtels que pour tout x[a;b];mf(x)Malors :
m(ba)Zb
a
f(x)dxM(ba).
S’il existe un réel Mtels que pour tout x[a;b],|f(x)| ≤ Malors
Zb
a
f(x)dx
M(ba).
Proposition 5 :
Définition 2 :
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b] (a < b).
La valeur moyenne de la fonction fsur [a;b]est le nombre réel µ=1
baZb
a
f(x)dx
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b] (a < b).
Il existe un réel c[a;b]tel que :f(c) = 1
(ba)Zb
a
f(x)dx.
Proposition 6 :
Exercice d’application 5:
1) Montrer que : I=Z1
0
(exex2)dx0
2) Montrer que : 1
2ln 2 6Zπ
3
π
6
cos x
xdx63
2ln 2
3) Déterminer la valeur moyenne de la fonction f(x) = xsur l’intervalle [1 ; 2]
...............................................................................................................
3
IV) Application du calcul Intégral :
1) Calcul des aires :
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b] (a < b)et (Cf)sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (O;
i ,
j). L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites d’équations
x=aet x=best égale à Zb
a|f(x)|dx( en unité d’aire ), sachant que u.a.=||~
i|| × ||~
j||
Proposition 7 :
Soient fet gdeux fonctions continues sur un segment [a;b]et soient (Cf)et (Cg)les courbes représentatives de
fet gdans un repère orthogonal.
Soit (∆) le domaine délimité par les courbes (Cf)et (Cg)et les droites d’équations x=aet x=b.
L’aire du domaine (∆) en unités d’aire est donnée par :
A(∆) = Zb
a|f(x)g(x)|dx
Proposition 8 :
Exercice d’application 6:
On considère les fonctions fet gdéfinie sur R+par f(x) = xet g(x) = x3.
Soit (Cf)et (Cg)les courbes représentatives de fet gdans un repère
orthonormé (O;
i ,
j).
1) Calculer l’aire des domaines (D1),(D2)et (D3)( Voir la figure ).
2) Calculer l’aire du domaine plan limité par les courbes (Cf)et (Cg)et les
droites d’équations x= 0 et x=3
2.
...............................................................................................................
2) Calcul des volumes :
a) Volume d’un solide d’ans l’espace :
l’espace est rapporté à un repère orthogonal (O;
i ,
j ,
k); l’unité de volume est : u.v.=||~
i|| × ||~
j|| × ||~
k||.
On considère dans l’espace un solide (S)délimité par deux plans (P1)et (P2)d’équations respectives : z=aet
z=bavec (a < b); et soit (t)l’aire de la section du solide Spar le plan d’équation z=tavec a6t6b. Si la
fonction : t7→ S(t)est continue sur [a;b]alors le volume du solide Sest :
V=Zb
a
S(t)dt( en unités de volume )
Proposition 9 :
4
b) Volume d’un solide de révolution :
l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;
i ,
j ,
k).
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a;b].
Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe (Cf)autour de l’axe des abscisses est :
V=Zb
a
π(f(x))2dx( en unités de volume )
Proposition 10 :
Exercice d’application 7:
l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;
i ,
j ,
k).
On considère dans l’espace la sphère (S)de centre Oet de rayon R.
Soit t[R;R]et (D)la section de la sphère (S)par le plan (P)
d’équation z=t.
1) Quelle est la nature de la section (D)?
2) Monter que la surface de (D)est : S(t) = π(R2t2).
3) Calculer le volume de la sphère (S).
...............................................................................................................
Exercice d’application 8:
l’espace est rapporté à un repère orthonormé
(O;
i ,
j ,
k).
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar :
f(x) = px(ex1) et soit (Cf)sa courbe dans le
plan muni d’un repère orthonor(O;
i ,
j).
Calculer le volume Vdu solide de révolution engen-
dré par la rotation de (Cf)autour de l’axe des abs-
cisses sur [0 ; 1].
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