Calcul Integral Cours

Lycée A.Torres
I)
2ème PC
Calcul intégral
Intégrale d’une fonction continue sur un segment :
1)
L’intégrale et primitives :
Définition 1 :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, et soient a et b deux éléments de I.
Le nombre F (b) − F (a), où F est une primitive de f sur I, est indépendant du choix de F . Ce nombre est appelé
Z b
f (x) dx. On écrit alors :
l’intégrale de la fonction f de a à b et noté
a
Z
b
a
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
Remarque 1:
♦
Z
b
f (x) dx se lit " somme de f (x)dx de a à b " ou " intégral de f (x)dx de a à b ".
a
♦ Les nombres a à b s’appellent les bornes de cette intégrale.
Z b
Z b
Z b
f (z) dz.
f (t) dt ou
f (x) dx ne dépend pas de la variable choisie. On peut aussi écrire
♦
a
a
a
Conséquences 1:
soit f une fonction continue sur un intervalle I pour tous a et b de I on a :
Z a
♦
f (x) dx = 0.
a
♦
Z
b
a
f (x) dx = −
Z
a
f (x) dx.
b
Exercice d’application 1:
Calculer les intégrales suivants :
1)
Z
1
x
e dx
2)
0
Z
π
sin x dx
−π
3)
Z
ln 2
0
et
dt
et + 1
4)
Z
e
e2
ln x
dx
x
...............................................................................................................
2)
Propriétés de l’intégrale :
Propriété 1:
soit f une fonction continue sur un intervalle I pour tous a , b et c de I on a :
Z b
Z c
Z b
f (x) dx. ( C’est la relation de Chasles pour les intégrales )
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
a
Propriété 2:
soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un nombre réel pour tous a et b de I on a :
Z b
Z b
Z b
g(x) dx.
f (x) dx +
(f (x) + g(x)) dx =
a
a
Z b
Za b
f (x) dx.
kf (x) dx = k
a
a
Exercice d’application 2:
Calculer les intégrales suivants :
1)
Z
0
3
|x − 2| dx
2)
Z
−e
−1
2
dx
x
3)
Z
4
1
√ 2x + x dx
4)
Z
1
4
3
2
−√
2
x
x
dx
...............................................................................................................
1
3)
Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale :
Théorème 1 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle
I et a un élément de I.
Z x
f (t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
La fonction g définie sur I par : g(x) =
a
Remarque 2:
La fonction g citée dans le théorème précédent est dérivable sur I et on : (∀x ∈ I) , g ′ (x) = f (x) de plus on a :
Z x
Z
1
1 a+h
g(x) − g(a)
′
lim
= g (a) = f (a) ; On a aussi : lim
f (t) dt = lim
f (t) dt = f (a)
x→a x − a a
x→a
h→0 h a
x−a
Exercice d’application 3:
1
On considère la fonction f définie sur I = ]0 ; +∞[ par f (x) = 2
:
x +x
1
1
1. Vérifier que (∀x ∈ I) ; f (x) = −
x x+1
2. Déterminer la primitive de la fonction f sur I qui s’annule en 1.
...............................................................................................................
4)
Interprétation géométrique d’une intégrale :
Propriété 3:
Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a ; b] (a < b) et (Cf ) sa
−
→ −
→
courbe représentative dans un repère orthogonal (O; i , j ).
L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf ), l’axe des abscisses et les droites
Z b
d’équations x = a et x = b est : A =
f (x) dx exprimée en unité d’aire.
a
( sachant que une unité d’aire est l’aire du rectangle construit à partir des
vecteurs unités).
II)
~j
1 u.a.
Z b
f (x)dx u.a.
a
O
~i
a
b
Techniques de calcul d’intégrales :
1)
Utilisation direct des primitives :
Exemples :
1
Z
e2x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z0 1
Z0 2
1
x
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + x2
x+1
dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x2 + 2x)2
2)
Intégration par partie :
Théorème 2 :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que leurs dérivées u′ et u′ sont continues sur I.
Z b
Z b
′
b
u(x)v ′ (x) dx
u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)]a −
Alors pour tous réels a et b de I on a :
a
a
Exercice d’application 4:
Calculer les intégrales suivants :
1)
Z
0
1
x
xe dx
2)
Z
π
x sin x dx
3)
0
Z
e
ln x dx
1
...............................................................................................................
2
III)
Intégrales et ordre :
1)
Positivité et croissance :
Proposition 3 :
Soient f et g deux fonction continues sur un intervalle I et soit a et b deux éléments de I.
Z b
f (x) dx ≥ 0.
♦ Si a 6 b et la fonction f est positive sur I alors :
a
♦ Si a 6 b et (∀x ∈ [a ; b]) , f (x) ≥ g(x) alors :
2)
Z
b
a
f (x) dx ≥
Z
b
g(x) dx.
a
Intégrale et valeur absolue :
Proposition 4 :
Soit fZ une fonction continue
sur un intervalle I et soient a et b deux éléments de I tels que a ≤ b.
Z b
b
On a :
f (x) dx ≤
|f (x)| dx.
a
3)
a
Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment :
Proposition 5 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux éléments de I tels que a ≤ b.
♦ S’il existe deux réels m et M tels que pour tout x ∈ [a ; b] ; m ≤ f (x) ≤ M alors :
Z b
f (x) dx ≤ M (b − a).
m(b − a) ≤
a
♦ S’il existe un réel M tels que pour tout x ∈ [a ; b] , |f (x)| ≤ M alors
b
Z
a
f (x) dx ≤ M (b − a).
Définition 2 :
Soit f une fonction continue sur un segment [a ; b] (a < b).
1
La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est le nombre réel µ =
b−a
Z
b
f (x) dx
a
Proposition 6 :
Soit f une fonction continue sur un segment [a ; b] (a < b).
Z b
1
Il existe un réel c ∈ [a ; b] tel que :f (c) =
f (x) dx.
(b − a) a
Exercice d’application 5:
Z
1
2
(ex − ex ) dx ≥ 0
0
√
Z π
3 cos x
1
3
2) Montrer que : ln 2 6
dx 6
ln 2
π
2
x
2
1) Montrer que : I =
6
3) Déterminer la valeur moyenne de la fonction f (x) =
√
x sur l’intervalle [1 ; 2]
...............................................................................................................
3
IV)
Application du calcul Intégral :
1)
Calcul des aires :
Proposition 7 :
Soit f une fonction continue sur un segment [a ; b] (a < b) et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
→ −
−
→
orthogonal (O; i , j ). L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf ), l’axe des abscisses et les droites d’équations
Z b
x = a et x = b est égale à
|f (x)| dx ( en unité d’aire ), sachant que u.a. = ||~i|| × ||~j||
a
Proposition 8 :
Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a ; b] et soient (Cf ) et (Cg ) les courbes représentatives de
f et g dans un repère orthogonal.
Soit (∆) le domaine délimité par les courbes (Cf ) et (Cg ) et les droites d’équations x = a et x = b .
L’aire du domaine (∆) en unités d’aire est donnée par :
Z b
|f (x) − g(x)| dx
A(∆) =
a
Exercice d’application 6:
√
On considère les fonctions f et g définie sur R+ par f (x) = x et g(x) = x3 .
Soit (Cf ) et (Cg ) les courbes représentatives de f et g dans un repère
−
→ −
→
orthonormé (O; i , j ).
1) Calculer l’aire des domaines (D1 ), (D2 ) et (D3 ) ( Voir la figure ).
2) Calculer l’aire du domaine plan limité par les courbes (Cf ) et (Cg ) et les
3
droites d’équations x = 0 et x = .
2
...............................................................................................................
2)
Calcul des volumes :
a)
Volume d’un solide d’ans l’espace :
→
−
→ −
→ −
l’espace est rapporté à un repère orthogonal (O; i , j , k ) ; l’unité de volume est : u.v. = ||~i|| × ||~j|| × ||~k||.
Proposition 9 :
On considère dans l’espace un solide (S) délimité par deux plans (P1 ) et (P2 ) d’équations respectives : z = a et
z = b avec (a < b) ; et soit (t) l’aire de la section du solide S par le plan d’équation z = t avec a 6 t 6 b. Si la
fonction : t 7→ S(t) est continue sur [a ; b] alors le volume du solide S est :
Z b
S(t) dt ( en unités de volume )
V =
a
4
b)
Volume d’un solide de révolution :
Proposition 10 :
→
−
→ −
→ −
l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i , j , k ).
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe (Cf ) autour de l’axe des abscisses est :
Z b
π (f (x))2 dx ( en unités de volume )
V =
a
Exercice d’application 7:
→
−
→ −
→ −
l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i , j , k ).
On considère dans l’espace la sphère (S) de centre O et de rayon R.
Soit t ∈ [−R ; R] et (D) la section de la sphère (S) par le plan (P )
d’équation z = t.
1) Quelle est la nature de la section (D) ?
2) Monter que la surface de (D) est : S(t) = π(R2 − t2 ).
3) Calculer le volume de la sphère (S).
...............................................................................................................
Exercice d’application 8:
l’espace est rapporté à un repère orthonormé
→
−
→ →
− −
(O; i , j , k ).
On considère
p la fonction f définie sur R par :
f (x) = x(ex − 1) et soit (Cf ) sa courbe dans le
−
→ −
→
plan muni d’un repère orthonormé (O; i , j ).
Calculer le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de (Cf ) autour de l’axe des abscisses sur [0 ; 1].
...............................................................................................................
5