Calcul Intégral : Cours pour Lycée

Lycée A.Torres Calcul intégral 2ème PC
I) Intégrale d’une fonction continue sur un segment :
1) L’intégrale et primitives :
Définition 1 :
Soit fune fonction définie et continue sur un intervalle Ide R, et soient aet bdeux éléments de I.
Le nombre F(b)−F(a),où Fest une primitive de fsur I, est indépendant du choix de F. Ce nombre est appelé
l’intégrale de la fonction fde aàbet noté Zb
a
f(x)dx. On écrit alors :
Zb
a
f(x)dx= [F(x)]b
a=F(b)−F(a)
Remarque 1:
♦Zb
a
f(x)dxse lit " somme de f(x)dxde aàb" ou " intégral de f(x)dxde aàb".
♦Les nombres aàbs’appellent les bornes de cette intégrale.
♦Zb
a
f(x)dxne dépend pas de la variable choisie. On peut aussi écrire Zb
a
f(t)dtou Zb
a
f(z)dz.
Conséquences 1:
soit fune fonction continue sur un intervalle Ipour tous aet bde Ion a :
♦Za
a
f(x)dx= 0.
♦Zb
a
f(x)dx=−Za
b
f(x)dx.
Exercice d’application 1:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z1
0
exdx2) Zπ
−π
sin xdx3) Zln 2
0
et
et+ 1 dt4) Ze2
e
ln x
xdx
...............................................................................................................
2) Propriétés de l’intégrale :
Propriété 1:
soit fune fonction continue sur un intervalle Ipour tous a,bet cde Ion a :
Zb
a
f(x)dx=Zc
a
f(x)dx+Zb
c
f(x)dx. ( C’est la relation de Chasles pour les intégrales )
Propriété 2:
soient fet gdeux fonctions continues sur un intervalle Iet kun nombre réel pour tous aet bde Ion a :
Zb
a
(f(x) + g(x)) dx=Zb
a
f(x)dx+Zb
a
g(x)dx.
Zb
a
kf (x)dx=kZb
a
f(x)dx.
Exercice d’application 2:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z3
0|x−2|dx2) Z−e
−1
2
xdx3) Z4
12x+√xdx4) Z4
12
x2−3
√xdx
...............................................................................................................
1

3) Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet aun élément de I.
La fonction gdéfinie sur Ipar : g(x) = Zx
a
f(t)dtest la primitive de fsur Iqui s’annule en a.
Théorème 1 :
Remarque 2:
La fonction gcitée dans le théorème précédent est dérivable sur Iet on : (∀x∈I), g′(x) = f(x)de plus on a :
lim
x→a
1
x−aZx
a
f(t)dt= lim
x→a
g(x)−g(a)
x−a=g′(a) = f(a); On a aussi : lim
h→0
1
hZa+h
a
f(t)dt=f(a)
Exercice d’application 3:
On considère la fonction fdéfinie sur I= ]0 ; +∞[par f(x) = 1
x2+x:
1. Vérifier que (∀x∈I) ; f(x) = 1
x−1 x+ 1
2. Déterminer la primitive de la fonction fsur Iqui s’annule en 1.
...............................................................................................................
4) Interprétation géométrique d’une intégrale :
Propriété 3:
Soit fune fonction continue et positive sur un segment [a;b] (a < b)et (Cf)sa
courbe représentative dans un repère orthogonal (O;−→ i , −→ j).
L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=aet x=best : A=Zb
a
f(x)dxexprimée en unité d’aire.
( sachant que une unité d’aire est l’aire du rectangle construit à partir des
vecteurs unités).
a
~
i
~
j
bO
1u.a. Zb
a
f(x)dx u.a.
II) Techniques de calcul d’intégrales :
1) Utilisation direct des primitives :
Exemples :
Z1
0
e2xdx=......................................................................................................
Z1
0
x
1 + x2dx=...................................................................................................
Z2
1
x+ 1
(x2+ 2x)2dx=...............................................................................................
2) Intégration par partie :
Soient uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle Itelles que leurs dérivées u′et u′sont continues sur I.
Alors pour tous réels aet bde Ion a : Zb
a
u′(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]b
a−Zb
a
u(x)v′(x)dx
Théorème 2 :
Exercice d’application 4:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z1
0
xexdx2) Zπ
0
xsin xdx3) Ze
1
ln xdx
...............................................................................................................
2

III) Intégrales et ordre :
1) Positivité et croissance :
Soient fet gdeux fonction continues sur un intervalle Iet soit aet bdeux éléments de I.
♦Si a6bet la fonction fest positive sur Ialors : Zb
a
f(x)dx≥0.
♦Si a6bet (∀x∈[a;b]) , f(x)≥g(x)alors : Zb
a
f(x)dx≥Zb
a
g(x)dx.
Proposition 3 :
2) Intégrale et valeur absolue :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux éléments de Itels que a≤b.
On a : 
Zb
a
f(x)dx
≤Zb
a|f(x)|dx.
Proposition 4 :
3) Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux éléments de Itels que a≤b.
♦S’il existe deux réels met Mtels que pour tout x∈[a;b];m≤f(x)≤Malors :
m(b−a)≤Zb
a
f(x)dx≤M(b−a).
♦S’il existe un réel Mtels que pour tout x∈[a;b],|f(x)| ≤ Malors 
Zb
a
f(x)dx
≤M(b−a).
Proposition 5 :
Définition 2 :
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b] (a < b).
La valeur moyenne de la fonction fsur [a;b]est le nombre réel µ=1
b−aZb
a
f(x)dx
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b] (a < b).
Il existe un réel c∈[a;b]tel que :f(c) = 1
(b−a)Zb
a
f(x)dx.
Proposition 6 :
Exercice d’application 5:
1) Montrer que : I=Z1
0
(ex−ex2)dx≥0
2) Montrer que : 1
2ln 2 6Zπ
3
π
6
cos x
xdx6√3 2ln 2
3) Déterminer la valeur moyenne de la fonction f(x) = √xsur l’intervalle [1 ; 2]
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3

IV) Application du calcul Intégral :
1) Calcul des aires :
Soit fune fonction continue sur un segment [a;b] (a < b)et (Cf)sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (O;−→ i , −→ j). L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites d’équations
x=aet x=best égale à Zb
a|f(x)|dx( en unité d’aire ), sachant que u.a.=||~
i|| × ||~ j||
Proposition 7 :
Soient fet gdeux fonctions continues sur un segment [a;b]et soient (Cf)et (Cg)les courbes représentatives de
fet gdans un repère orthogonal.
Soit (∆) le domaine délimité par les courbes (Cf)et (Cg)et les droites d’équations x=aet x=b.
L’aire du domaine (∆) en unités d’aire est donnée par :
A(∆) = Zb
a|f(x)−g(x)|dx
Proposition 8 :
Exercice d’application 6:
On considère les fonctions fet gdéfinie sur R+par f(x) = √xet g(x) = x3.
Soit (Cf)et (Cg)les courbes représentatives de fet gdans un repère
orthonormé (O;−→ i , −→ j).
1) Calculer l’aire des domaines (D1),(D2)et (D3)( Voir la figure ).
2) Calculer l’aire du domaine plan limité par les courbes (Cf)et (Cg)et les
droites d’équations x= 0 et x=3
2.
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2) Calcul des volumes :
a) Volume d’un solide d’ans l’espace :
l’espace est rapporté à un repère orthogonal (O;−→ i , −→ j , −→ k); l’unité de volume est : u.v.=||~ i|| × ||~ j|| × ||~ k||.
On considère dans l’espace un solide (S)délimité par deux plans (P1)et (P2)d’équations respectives : z=aet
z=bavec (a < b); et soit (t)l’aire de la section du solide Spar le plan d’équation z=tavec a6t6b. Si la
fonction : t7→ S(t)est continue sur [a;b]alors le volume du solide Sest :
V=Zb
a
S(t)dt( en unités de volume )
Proposition 9 :
4

b) Volume d’un solide de révolution :
l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j , −→ k).
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a;b].
Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe (Cf)autour de l’axe des abscisses est :
V=Zb
a
π(f(x))2dx( en unités de volume )
Proposition 10 :
Exercice d’application 7:
l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j , −→ k).
On considère dans l’espace la sphère (S)de centre Oet de rayon R.
Soit t∈[−R;R]et (D)la section de la sphère (S)par le plan (P)
d’équation z=t.
1) Quelle est la nature de la section (D)?
2) Monter que la surface de (D)est : S(t) = π(R2−t2).
3) Calculer le volume de la sphère (S).
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Exercice d’application 8:
l’espace est rapporté à un repère orthonormé
(O;−→ i , −→ j , −→ k).
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar :
f(x) = px(ex−1) et soit (Cf)sa courbe dans le
plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j).
Calculer le volume Vdu solide de révolution engen-
dré par la rotation de (Cf)autour de l’axe des abs-
cisses sur [0 ; 1].
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