
3) Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet aun élément de I.
La fonction gdéfinie sur Ipar : g(x) = Zx
a
f(t)dtest la primitive de fsur Iqui s’annule en a.
Théorème 1 :
Remarque 2:
La fonction gcitée dans le théorème précédent est dérivable sur Iet on : (∀x∈I), g′(x) = f(x)de plus on a :
lim
x→a
1
x−aZx
a
f(t)dt= lim
x→a
g(x)−g(a)
x−a=g′(a) = f(a); On a aussi : lim
h→0
1
hZa+h
a
f(t)dt=f(a)
Exercice d’application 3:
On considère la fonction fdéfinie sur I= ]0 ; +∞[par f(x) = 1
x2+x:
1. Vérifier que (∀x∈I) ; f(x) = 1
x−1
x+ 1
2. Déterminer la primitive de la fonction fsur Iqui s’annule en 1.
...............................................................................................................
4) Interprétation géométrique d’une intégrale :
Propriété 3:
Soit fune fonction continue et positive sur un segment [a;b] (a < b)et (Cf)sa
courbe représentative dans un repère orthogonal (O;−→
i , −→
j).
L’aire du domaine délimité par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=aet x=best : A=Zb
a
f(x)dxexprimée en unité d’aire.
( sachant que une unité d’aire est l’aire du rectangle construit à partir des
vecteurs unités).
a
~
i
~
j
bO
1u.a. Zb
a
f(x)dx u.a.
II) Techniques de calcul d’intégrales :
1) Utilisation direct des primitives :
Exemples :
Z1
0
e2xdx=......................................................................................................
Z1
0
x
1 + x2dx=...................................................................................................
Z2
1
x+ 1
(x2+ 2x)2dx=...............................................................................................
2) Intégration par partie :
Soient uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle Itelles que leurs dérivées u′et u′sont continues sur I.
Alors pour tous réels aet bde Ion a : Zb
a
u′(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]b
a−Zb
a
u(x)v′(x)dx
Théorème 2 :
Exercice d’application 4:
Calculer les intégrales suivants :
1) Z1
0
xexdx2) Zπ
0
xsin xdx3) Ze
1
ln xdx
...............................................................................................................
2