Lycée Albert CAMUS
83 600 FREJUS
Durée : 4 h
Bac Blanc Terminale Générale
EPREUVE DE SPECIALITE MATHEMATIQUES
13 janvier 2020
Nombre de pages : 4
L’usage de la calculatrice avec mode examen activé à la demande du surveillant est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
EXERCICE 1 :
3 points
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des
quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est attendue.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent aucun point.
Recopier sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.
1. L’ensemble des solutions de l’inéquation 𝑒−0,25𝑥+6 − 1 > 0 est :
𝐴.
] − ∞ ; 24 [
B. ] − ∞ ; 20 [
C. ] 24 ; +∞ [
D. ] 20 ; +∞ [
2. On considère la fonction f définie et dérivable sur ℝ dont la courbe représentative Cf
ci-dessous. On note f’ la dérivée de f.
A. f’ est négative sur ] − 1 ; 0 [
C. f’ est positive sur [ 2 ; 7 ]
est donnée
B. l’équation f’(x) = 0 a deux solutions dans [ – 7 ; 7 ]
D. l’équation f’(x) = 0 a une unique solution dans [ – 7 ; 7 ]
3. Soit g une fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 30 ] par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 39𝑥 2 + 315𝑥 + 45.
On note Cg sa courbe représentative. On a alors :
A. g est convexe sur [ 0 ; 30 ]
B. g est concave sur [ 5 ; 21 ]
C. Cg admet un point d’inflexion au point d’abscisse 13
D la dérivée g’ de g est croissante sur l’intervalle [ 0 ; 5 ] et sur l’intervalle [ 21 ; 30 ]
EXERCICE 2 :
5 points
Partie A :
La courbe C ci-contre, associée à une
fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 19 ],
représente l’audience journalière d’une
chaîne de télévision entre le 1er janvier
2000 (année numéro 0) et le 1er janvier
2019 (année numéro 19), c’est-à-dire le
nombre quotidien de téléspectateurs, en
milliers.
Ainsi, le 1er janvier 2000 la chaîne a été
regardée par environ 460 000
téléspectateurs.
1. Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1er janvier 2014.
2. La droite (AB), où les points A et B ont pour coordonnées 𝐴(0; 460) et 𝐵(3; 82), est la
tangente à la courbe C au point A.
Déterminer la valeur de f ′(0) où f ′ désigne la dérivée de la fonction f représentée par C .
Partie B :
On cherche maintenant à prévoir l’évolution de l’audience de cette chaîne de télévision lors
des dix prochaines années. On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs
de la chaîne est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 29 ] par :
𝑓 (𝑥) = (20𝑥 2 – 80𝑥 + 460)𝑒 −0,1𝑥
où x représente le nombre d’années depuis 2000.
1. Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1er janvier 2014.
2. On note f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle [ 0 ; 29 ].
a. Démontrer que f ′ est définie par : 𝑓 ′(𝑥) = (−2𝑥 2 + 48𝑥 – 126)𝑒 −0,1𝑥
b. Résoudre l’équation : −2𝑥² + 48𝑥 – 126 = 0.
c. En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle [ 0 ; 29 ] et construire le tableau des variations complet
de f sur l’intervalle [ 0 ; 29 ].
d. Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du
million avant l’année 2029 ? Justifier.
3. Montrer que l’équation f (x) = 800 admet une unique solution α dans l’intervalle [ 3 ; 21 ].
Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision
dépassera-t-il 800 000 ?
EXERCICE 3 :
5 points
Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle
Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone
industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan
conduisent à une réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et que, chaque année, les
implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent 𝐶02 .
En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de 𝐶02 au total.
Pour tout entier naturel n, on note 𝑢𝑛 le nombre de milliers de tonnes de 𝐶02 émis dans cette zone
industrielle au cours de l'année 2005 + n. On a 𝑢0 = 41
1. Déterminer 𝑢1
2. On admet que, pour tout entier naturel n, on a : 𝑢𝑛+1 = 0,98 𝑢𝑛 + 0,2.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛 ≥ 10
b. Démontrer que la suite (𝑢𝑛 ) est décroissante.
c. Justifier que la suite (𝑢𝑛 ) est convergente.
d. Recopier et compléter l'algorithme ci-contre afin qu'il
calcule, selon cette modélisation, le nombre de
milliers de tonnes de 𝐶02 émis au cours de l’année
2010.
3. On considère la suite (𝑣𝑛 ) définie pour tout entier naturel n par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 10
a. Montrer que la suite (𝑣𝑛 ) est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme.
b. Donner l’expression de 𝑣𝑛 en fonction de n.
c. En déduire que, pour tout entier naturel n,
𝑢𝑛 = 31 × 0,98𝑛 + 10
d. Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛 ).
4. On donne la fonction 𝐺𝐸𝑆 ci-contre en langage Python,
calculer GES(37) en reproduisant sur votre copie un tableau
comme celui ci-dessous (ajouter ou supprimer des colonnes si
nécessaire).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
n
U
0
41
EXERCICE 4 :
5 points
ABCDEFGH est un cube.
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
L’espace est rapporté au repère (𝐴; 𝐴𝐵
𝐴𝐸 )
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1. On définit le point N par 𝐷𝑁
2
2
Exprimer le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑁 en fonction des
vecteurs de base (justifier les calculs).
En déduire les coordonnées du point N.
1
2. On donne le point P de coordonnées (4 ; 1; 1) et
1
le point M de coordonnées (0; ; 1).
2
On admet que la droite (FG) a pour représentation
𝑥=1
paramétrique { 𝑦 = 𝑠 𝑠 ∈ ℝ
𝑧=1
𝑥 = 0,25 − 0,25𝑡
a. Justifier que la droite (PM) a pour représentation paramétrique {𝑦 = 1 − 0,5𝑡
𝑧=1
𝑡∈ℝ
b. Justifier que les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles.
c. Les droites (PM) et (FG) sont-elles sécantes ? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point
d’intersection.
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ sont-ils coplanaires ? Justifier
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵
3. Les vecteurs 𝑀𝑃
EXERCICE 5 :
2 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 4 ] par f (x) =
2+3𝑥
4+𝑥
.
On considère la suite (𝑣𝑛 ) définie par 𝑣0 = 0,1 et pour tout entier naturel n, 𝑣𝑛+1 = 𝑓 (𝑣𝑛 ).
On admet que tous les termes de la suite (𝑣𝑛 ) sont positifs.
1. Montrer que pour tout entier naturel n,
2
1 − 𝑣𝑛+1 = (4+𝑣 ) (1 − 𝑣𝑛 ).
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
3. Prouver que la suite (𝑣𝑛 ) converge et préciser sa limite
𝑛
1 𝑛
0 ≤ 1 − 𝑣𝑛 ≤ (2) .
