Chapitre 2-Suites réelles 2021-2022

.
Année universitaire 2021-2022
UNIVERSITÉ A. MIRA
BEJAIA
FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES
DÉPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COURS D’ANALYSE PREMIERE ANNEE
Présenté par : KERAI Boudjemaa
COURS D’ANALYSE
i
Table des matières
Avant - Propos
1
2 Les suites numériques
2
2.1
Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2
Suite croissante, décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.3
Produit, somme de deux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Théorème de Gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5
Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.6
Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6.1
Monotonie d’une suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.7
Théorème des segments emboîtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.8
Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.9
Théorème de Bolzano-weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.10 Limite inférieure et limite supérieure d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.10.1 Valeur d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
ii
Avant - Propos
Depuis quelque temps, on a pu relever une certaine disparité entre le cours de mathématiques destinés
aux étudiants des sciences exactes et le support pédagogique.
je serais très reconnaissant à tous ceux, parmi les enseignants et les étudiants qui voudraient bien
me faire parvenir leurs suggestions et leurs critiques.
1
2
Les suites numériques
Sommaire
2.1
Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2
Suite croissante, décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.3
Produit, somme de deux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Théorème de Gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5
Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.6
Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6.1
Monotonie d’une suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.7
Théorème des segments emboîtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.8
Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.9
Théorème de Bolzano-weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.10 Limite inférieure et limite supérieure d’une suite . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.10.1 Valeur d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2
2.1. Premières définitions
2.1
Premières définitions
Définition 2.1 On appelle suite numérique ou réelle, toute application de N ou d’une partie de N à
valeurs dans R,
U : N −→ R
ou
U : D ⊂ N −→ R
n 7→ U (n) = Un ,
n 7→ U (n) = Un .
La suite numérique de terme général Un est notée (Un )n∈N .
2.1.1
Suite majorée, minorée, bornée
Définition 2.2 Soit (Un )n une suite numérique
(Un )n est dite majorée si, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, Un 6 M.
(Un )n est dite minorée si, ∃m ∈ R, ∀n ∈ N, Un > m.
(Un )n est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée .
Propriété :
(Un )n bornée ⇐⇒ ∃M > 0, ∀n ∈ N, |Un | 6 M, (−M 6 Un 6 M ) .
2.1.2
Suite croissante, décroissante
Définition 2.3
(Un )n est dite croissante si, ∀n ∈ N, Un+1 > Un .
(Un )n est dite décroissante si, ∀n ∈ N, Un+1 6 Un .
(Un )n est dite strictement croissante si, ∀n ∈ N, Un+1 > Un .
(Un )n est dite strictement décroissante si, ∀n ∈ N, Un+1 < Un .
(Un )n est dite monotone, si elle est soit croissante ou décroissante.
(Un )n est dite strictement monotone, si elle est soit strictement croissante ou strictement décroissante.
Définition 2.4 Si (Un )n est une suite à termes strictement positifs, alors elle est croissante (resp.
décroissante) si et seulement si pour tout entier naturel n, on a
Un+1
Un+1
> 1 (resp.
6 1).
Un
Un
3
2.2. Limite d’une suite
2.1.3
Produit, somme de deux suites
Définition 2.5 Soient (Un )n∈N et (Vn )n∈N deux suites numériques et λ ∈ R.
On appelle somme de deux suites (Un )n∈N et (Vn )n∈N , la suite (Wn )n∈N définie par Wn = Un + Vn .
On appelle produit de deux suites (Un )n∈N et (Vn )n∈N , la suite (Pn )n∈N définie par Pn = Un .Vn .
On appelle produit externe de la suite (Un )n∈N par le nombre λ, la suite (Kn )n∈N définie par Kn = λ.Un .
Définition 2.6 Soit (Un )n une suite numérique on dira que la suite (Vn )n est sous-suite ou suite extraite
de (Un )n si, ∃ϕ : N −→ N telle que ϕ strictement croissante et Vn = U ϕ(n) .
Exemple 2.1 Soit (Un )n∈N une suite définie par Un = (−1)n . La suite (Vn )n∈N définie par
Vn = U2n = (−1)2n = 1,
est une sous-suite de la suite (Un )n∈N car
ϕ : N −→ N
n −→ ϕ(n) = 2n.
est strictement croissante et Vn = U2n = Uϕ(n) .
2.2
Limite d’une suite
Définition 2.1 Soit (Un )n une suite numérique, on dit que (Un )n est convergente s’il existe l ∈ R, tel
que
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < ε.
l est appelé la limite de la suite (Un )n et on écrit lim Un = l.
n→+∞
Exemple 2.1
Un =
1
, l = 0.
n
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 =⇒ |Un − 0| < ε.
1
1
1
−0 =
= .
n
n
n
1
1
|Un − 0| < ε ⇐⇒ < ε ⇐⇒ n > ,
n
ε
|Un − 0| =
4
2.2. Limite d’une suite
1
il suffit de prendre n0 = E
+ 1.
ε
1
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , n0 = E
+ 1, ∀n ∈ N∗ , n > n0 =⇒ |Un − 0| < ε.
ε
∗
D’où
1
= 0.
n
lim
n−→+∞
Définition 2.2 (Un )n est dite divergente si elle n’est pas convergente.
Proposition 2.1 Si (Un )n est convergente alors sa limite est unique.
Démonstration. On raisonne par l’absurde. Supposons que (Un )n possède deux limites l0 , l avec
|l − l0 |
.
l0 6= l. Choisissons ε > 0 tel que ε =
3
lim Un = l =⇒ ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < ε.
n→+∞
lim Un = l0 =⇒ ∃n1 ∈ N, ∀n1 ∈ N, n > n1 =⇒ |Un − l0 | < ε.
n→+∞
Prenons N = max (n0 , n1 ) , on a alors pour n > N
|Un − l| < ε et |Un − l0 | < ε.
|l − l0 | = |l − Un + Un − l0 | 6 |l − Un | + |Un − l0 | = |Un − l| + |Un − l0 | ,
|l − l0 | |l − l0 |
2
<
+
= |l − l0 | .
3
3
3
Alors,
|l − l0 | <
2
|l − l0 |
3
2
On vient d’aboutir à l’inégalité 1 <
qui est impossible. D’où l’unicité de la limite.
3
Proposition 2.2 (Un )n est convergente =⇒ (Un )n est bornée.
Démonstration. (Un )n converge vers l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n◦ =⇒ |Un − l| < ε.
Montrons que la suite (Un )n est bornée (c’est à dire ∃M > 0, ∀n ∈ N, |Un | ≤ M ).
En particulier si ε = 1, on obtient qu’il existe un n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < 1.On a
∀n ≥ n0 , |Un | = |Un − l + l| 6 |Un − l| + |l| < 1 + |l| .
5
2.2. Limite d’une suite
Donc si on pose
M = max {|U0 | , |U1 | , ..., |Un0 −1 | , 1 + |l|} ,
on a alors
∀n ∈ N, |Un | 6 M.
Proposition 2.3 Soit (Un )n une suite numérique. Si lim Un = l, alors toute sous-suite de (Un )n
n→+∞
converge vers l.
Démonstration. Comme l’application ϕ est strictement croissante, on montre facilement par
récurrence que
∀n ∈ N, ϕ(n) > n.
lim Un = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < ε.
n→+∞
Soit (Vn ) une sous-suite de (Un )n . Posons Vn = Uϕ(n) . Soit ε > 0
n > n0 =⇒ ϕ(n) > n > n0 =⇒ |Vn − l| = Uϕ(n) − l < ε,
donc
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Vn − l| < ε.
D’où la suite (Vn )n converge vers l.
Remarque 2.1 1) On montrerait de même que si une suite numérique tend vers +∞ (resp. −∞)
alors toute sous-suite de cette suite tend également vers +∞ (resp. −∞).
2) En prenant la contraposée de l’assertion énoncée dans la proposition (2.3) on obtient une condition
suffisante pour qu’une suite n’admette pas se limite, il suffit que deux suites extraites aient deux limites
distinctes. Ainsi la suite de terme général (−1)n diverge car la suite des termes pairs converge vers 1
et la suite des termes impairs converge vers −1.
Définition 2.3
lim Un = +∞, si ∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ Un > A.
n−→+∞
lim Un = −∞, si ∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ Un < A.
n−→+∞
6
2.2. Limite d’une suite
Exemple 2.2 important :
q > 1 ⇒ lim q n = +∞.
n→+∞
q > 1 ⇒ h = q − 1 > 0.
q = h + 1 =⇒ q n = (h + 1)n > 1 + nh > A vraie dés que n > A−1
.
h
Il suffit de prendre n0 = E A−1
+ 1, n > n0 > A−1
=⇒ q n > A.
h
h
Vérification :
n ≥ n0 =⇒ n ≥ E
=⇒ n >
A−1
h
A−1
h
+1>
A−1
h
≥
A−1
h
=⇒ nh + 1 > A
=⇒ q n ≥ nh + 1 > A =⇒ q n > A.
Remarque 2.2
0 < q < 1 =⇒ q 0 =
1
>1
q
1
=⇒ (q 0 )n = ( )n → +∞,
q
1
=⇒ n → +∞ =⇒ q n → 0.
q
Proposition 2.4


(Un )n bornée
=⇒ (Un .Vn )n converge vers 0.
(Vn )n converge vers 0 
Démonstration. (Un )n bornée ⇐⇒ ∃M > 0, ∀n ∈ N, |Un | 6 M .
lim Vn = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Vn − 0| = |Vn | <
n→+∞
ε
,
M
Montrons que lim Un .Vn = 0. Soit ε > 0.
n→+∞
∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un .Vn − 0| = |Un .Vn | = |Un | . |Vn | < M.
Donc
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un .Vn − 0| < ε.
D’où
lim Un .Vn = 0.
n→+∞
Proposition 2.5

Un > 0, ∀n > n0 , 
lim Un = l

n−→+∞
7
=⇒ l > 0.
ε
= ε.
M
2.2. Limite d’une suite
Démonstration. On raisonne par l’absurde
lim Un = l ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n1 =⇒ l − ε < Un < l + ε.
n→+∞
et
Un > 0, ∀n > n0 .
l
Supposons que : l < 0. Prenons ε = − > 0. On aura
2
l
l
= < 0.
2
2
=⇒ Un < 0, ∀n > n1 , impossible car, Un > 0, ∀n > n0 .
∃n1 ∈ N, ∀n > n1 =⇒ Un < l + ε = l −
Remarque 2.3
1) Un > 0 (pour un certain rang) ;
Un =
lim Un > 0.
n−→+∞
1
> 0, ∀n ∈ N∗ , mais
n
lim Un = 0.
n−→+∞
2) Un > 0 (pour un certain rang) =⇒ lim Un ≥ 0.
n−→+∞
Théorème 2.1 Soient (Un )n et (Vn )n deux suites numériques convergentes,
lim Un = l et
n−→+∞
lim Vn = l0 .
n−→+∞
Alors
1)
2)
lim (Un + Vn ) = l + l0 .
n−→+∞
lim (Un .Vn ) = l.l0
n−→+∞
3) l0 6= 0 =⇒
lim
n−→+∞
Un
l
= 0.
Vn
l
Démonstration.
lim Un = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < 2ε .
n→+∞
lim Vn = l0 =⇒ ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n1 =⇒ |Vn − l0 | < 2ε .
n→+∞
Montrons que (Un + Vn )n converge vers (l + l0 ) . Posons n2 = max (n0 , n1 ) , on a
|(Un + Vn ) − (l + l0 )| = |(Un − l) + (Vn − l0 )|
6 |(Un − l) + (Vn − l0 )|
<
8
ε
2
+
ε
2
= ε, ∀n > n2 ,
2.2. Limite d’une suite
donc
∀ε > 0, ∃n2 = max (n0 , n1 ) , ∀n ∈ N, n > n2 =⇒ |(Un + Vn ) − (l + l0 )| < ε.
D’ou (Un + Vn )n converge vers (l + l0 ) .
2) Montrons que (Un .Vn )n converge vers l.l0
lim Un = l =⇒ ∃M > 0, ∀n ∈ N, |Un | ≤ M.
n→+∞
lim Un = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 =⇒ |Un − l| <
n→+∞
lim Vn = l0 =⇒ ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N, ∀n > n1 =⇒ |Vn − l0 | <
n→+∞
ε
.
2|l0 |
ε
.
2M
Prenons n2 = max (n0 , n1 )
|Un Vn − ll0 | = |Un Vn − Un l0 + Un l0 − ll0 |
6 |Un Vn − Un l0 | + |Un l0 − ll0 | = |Un | . |Vn − l0 | + |l0 | . |Un − l|
6 M |Vn − l0 | + |l0 | . |Un − l|
<M
ε
ε
+ |l0 |
= ε, ∀n > n2 ,
2M
2 |l0 |
donc
∀ε > 0, ∃n2 = max (n0 , n1 ) , ∀n ∈ N, n > n2 =⇒ |Un .Vn − l.l0 | < ε.
0
D’où (Un Vn )n converge
vers l.l .
Un
Un
1
l
3) Montrons que
est le produit de Un par
. Compte tenu
converge vers 0 . Le quotient
Vn n
l
Vn
Vn
de la limite d’un produit, il suffit de vérifier que
1
1
0
(Vn )n converge vers l =⇒
converge vers 0 .
Vn n
l
Nous avons
lim Vn = l0 =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Vn − l0 | <
n→+∞
Indication : (Vn )n converge vers l0 =⇒ ∃n1 ∈ N, ∀n ≥ n1 , |Vn | >
On a
1
1
− 0
Vn l
|l0 |
.
2
=
|l0 − Vn |
|Vn − l0 |
1
=
=
|Vn − l0 |
0
0
0
|Vn .l |
|Vn | . |l |
|Vn | . |l |
6
2
|Vn − l0 | .
l02
9
l02 ε
.
2
2.2. Limite d’une suite
Prenons n2 = max (n0 , n1 )
∀n ≥ n2 =⇒
1
1
2
2 l02 ε
− 0 6 02 |Vn − l0 | < 02 .
= ε.
Vn l
l
l
2
D’où
1
Vn
converge vers
n
1
.
l0
Proposition 2.6 Soit (Un )n une suite numérique.
Si (Un )n converge vers l, alors (|Un |)n converge vers |l| .
Démonstration. On a
lim Un = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < ε.
n→+∞
Montrons que lim |Un | = |l| . On a
n→+∞
||Un | − |l|| ≤ |Un − l| ,
donc
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ ||Un | − |l|| ≤ |Un − l| < ε.
D’où
lim |Un | = |l| .
n→+∞
Proposition 2.7 Soient (Un )n et (Vn )n deux suites convergentes.
Un 6 Vn (pour un certain rang) =⇒
lim Un 6 lim Vn .
n→+∞
n→+∞
Démonstration.
Un 6 Vn
=⇒ Vn − Un > 0
=⇒
lim (Vn − Un ) > 0
n−→+∞
=⇒ lim Vn − lim Un > 0
n→+∞
n→+∞
=⇒ lim Vn > lim Un .
n→+∞
n→+∞
Remarque 2.4 Si Un < Vn (pour un certain rang) =⇒ lim Un 6 lim Vn .
n→+∞
10
n→+∞
2.3. Théorème de Gendarmes
2.3
Théorème de Gendarmes
Théorème 2.1 (de Gendarmes) :
Soient (Un )n , (Vn )n et (Wn )n trois suites numériques tels que, Un 6 Vn 6 Wn , ∀n ∈ N, n > n2 .
Supposons que (Un ) et (Wn ) convergent vers une même limite l. Alors, (Vn )n converge et lim Vn = l.
n→+∞
Démonstration. On a
lim Un = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ l − ε < Un < l + ε
n→+∞
lim Wn = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n1 =⇒ l − ε < Wn < l + ε
n→+∞
∀n ∈ N, n > n2 , Un 6 Vn 6 Wn .
Posons n3 = max (n0 , n1 , n2 ) .
∀n ∈ N, n > n3 =⇒ l − ε < Un 6 Vn 6 Wn < l + ε,
donc
∀ε > 0, ∃n3 = max (n0 , n1 , n2 ) ∈ N, ∀n ∈ N, n > n3 =⇒ l − ε < Vn < l + ε =⇒ |Vn − l| < ε.
D’où
lim Vn = l.
n→+∞
2.4
Suites monotones
Théorème 2.1
1) Soit (Un )n une suite croissante. Alors
(Un )n convergente ⇐⇒ (Un )n majorée.
2) Soit (Un )n une suite décroissante. Alors
(Un )n convergente ⇐⇒ (Un )n minorée.
3) Soit (Un )n une suite croissante. Alors
(Un )n non majorée =⇒
11
lim Un = +∞.
n→+∞
2.4. Suites monotones
Démonstration.
1) On sait déjà que toute suite convergente est bornée. Il reste donc à démontrer que toute suite (Un )n
croissante majorée est convergente. Soit A = {Un , n ∈ N} . On a


A 6= φ car U0 ∈ A
=⇒ sup A existe.
A est majorée car (U ) l’est 
n n
Posons α = sup A.
∀ε > 0, α − ε n’est plus un majorant de A
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, α − ε < Un0 .
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ α − ε < Un0 ≤ Un 6 α =⇒ −ε < Un − α ≤ 0 < ε.
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − α| < ε.
D’où
lim Un = α,
n→+∞
donc la suite (Un )n est convergente.
2) Cette assertion se démontre de même à l’aide de la propriété de la borne inférieure.
3) Supposons que (Un )n croissante et non majorée. On a alors
∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, Un0 > A,
et comme (Un )n est croissante, donc
∀n ∈ N, n > n0 =⇒ Un > Un0 > A =⇒ Un > A.
On en déduit bien que
lim Un = +∞.
n→+∞
Remarque 2.1 Si (Un )n est décroissante. Alors
(Un )n non minorée =⇒
12
lim Un = −∞.
n→+∞
2.5. Suites adjacentes
Exemple 2.1 Un =
2n
X
1
k=n
k
.
2(n+1)
Un+1 − Un
2n
X 1 X
1
=
−
k k=n k
k=n+1
1
1
1
1
1
1
1
+ ... +
+
+
−
+
+ ... +
=
n+1
2n 2n + 1 2n + 2
n n+1
2n
=
1
1
1
+
−
2n + 1 2n + 2 n
=
− (3n + 2)
n (2n + 1) (2n + 2)
=
− (3n + 2)
< 0,
n (2n + 1) (2n + 2)
donc la suite (Un )n est décroissante. Comme (Un )n est minorée, car
Un =
2n
X
1
k=n
k
> 0.
D’où (Un )n est convergente.
2.5
Suites adjacentes
Définition 2.1 Deux suites (Un )n et (Vn )n sont dites adjacentes si :
l’une croissante et l’autre décroissante et lim (Un − Vn ) = 0.
n→+∞
Théorème 2.1 Si (Un )n et (Vn )n sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont la même limite.
Démonstration. 1) Supposons que (Un )n croissante et (Vn )n décroissante.
Montrons que
∀n ∈ N, Un 6 Vn .
Première méthode : Posons Wn = Un − Vn . On a
Wn+1 − Wn = Un+1 − Vn+1 − Un + Vn = (Un+1 − Un ) + (Vn − Vn+1 ) ≥ 0,
donc (Wn )n est croissante. Comme lim Wn = 0, donc (Wn )n est majorée par sa limite 0. D’où
n→+∞
∀n ∈ N, Un 6 Vn .
13
2.6. Suites récurrentes
Deuxième méthode : On raisonne par l’absurde, on suppose qu’il
∃p0 ∈ N, Up0 > Vp0 .
Comme (Un )n croissante et (Vn )n décroissante, donc
∀n > p0 , Un > Up0 > Vp0 > Vn .
D’où
Un − Vn ≥ Up0 − Vp0 .
Posons Wn = Un − Vn .
Wn ≥ Up0 − Vp0 > 0 =⇒ lim Wn ≥ Up0 − Vp0 > 0 =⇒ lim Wn > 0, (0 > 0) impossible.
n→+∞
n→+∞
D’où
∀n ∈ N, Un 6 Vn
On a ainsi
U0 ≤ U1 ≤ ... ≤ Un−1 ≤ Un ≤ Vn ≤ Vn−1 ≤ ... ≤ V1 ≤ V0 .
La suite (Un )n étant croissante et majorée (par V0 ) est convergente. La suite (Vn )n étant décroissante et
minorée (par U0 ) est convergente. En notant lim Un = l et lim Vn = l0 , on a lim (Un − Vn ) = l − l0 ,
n→+∞
n→+∞
n→+∞
0
or lim (Un − Vn ) = 0, donc l = l .
n→+∞
Exercice 2.1 Montrer que (Un )n et (Vn )n sont adjacentes
Un =
n
X
1
k=0
k
, Vn = Un +
1
, n ∈ N.
n!
Exercice 2.2 Montrer que (Un )n et (Vn )n sont adjacentes


 U0 = a
 V =b
0
,
a, b < 0,
√
U
+
V
n
n
 Un+1 =
 V
Un Vn
n+1 =
2
2.6
Suites récurrentes
Définition 2.1 Soit f : D ⊂ R −→ R. On appelle suite récurrente, une suite (Un )n définie par la
donnée U0 ∈ D et de la relation



U
= f (Un ) , ∀n ∈ N,

 n+1
avec



 f (D) ⊂ D.
14
2.7. Théorème des segments emboîtés
2.6.1
Monotonie d’une suite récurrente
L’étude de la monotonie de la suite revient à celle de la fonction f .
Si f est croissante, la suite (Un )n est croissante si f (U0 ) − U0 > 0 et décroissante si f (U0 ) − U0 6 0.
Si f est décroissante, Un+1 − Un est alternativement positif et négatif.
2.7
Théorème des segments emboîtés
Théorème 2.1 Des segments emboîtés :
Soit In = [an , bn ] , une suite de segments de R vérifiant les deux conditions
1) In+1 ⊂ In .
2) lim |bn − an | = 0. Alors
n→+∞
∃ξ ∈ R,
T
In = {ξ} .
n∈N
Démonstration. In = [an , bn ] , In+1 ⊂ In =⇒ (an )n croissante, (bn )n décroissante et
lim (bn − an ) = 0 (car − |bn − an | ≤ (bn − an ) ≤ |bn − an |). Par conséquent (an )n et (bn )n sont
n→+∞
adjacentes.
D’où elles sont convergentes et ont la même limite ξ.
an 6 ξ 6 bn , ∀n ∈ N =⇒ ξ ∈ In , ∀n ∈ N =⇒ {ξ} ⊂
T
In .
n∈N
T
Montrons que
In ⊂ {ξ}.
T n∈N
Soit x ∈
In =⇒ x ∈ In , ∀n ∈ N =⇒ an 6 x 6 bn , ∀n ∈ N. D’après le théorème de gendarmes
n∈N
lim an = lim bn = ξ =⇒ x = ξ.
n→+∞
n→+∞
Donc
T
In ⊂ {ξ} .
nN
2.8
Suite de Cauchy
Définition 2.1 Soit (Un )n une suite numérique, (Un )n est de Cauchy si :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀p ∈ N, ∀q ∈ N, p > n0 et q > n0 =⇒ |Up − Uq | < ε.
15
2.8. Suite de Cauchy
Théorème 2.1 Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Démonstration. Soit (Un )n une suite convergente ( lim Un = l).
n→+∞
ε
lim Un = l =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < .
n→+∞
2
Montrons que (Un )n est de Cauchy. On a
|Up − Uq | = |(Up − l) + (−Uq + l)|
6 |Up − l| + |Uq − l|
<
ε ε
+ = ε, si p > n0 , q > n0 .
2 2
D’où (Un )n est de Cauchy.
Lemme 2.1 (Un )n est de Cauchy =⇒ (Un )n est bornée.
Démonstration.
(Un )n est de Cauchy ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀p, q ∈ N, p > n0 et q > n0 =⇒ |Up − Uq | < ε.
Nous choisissons par exemple ε = 1. il existe donc un rang n0 tel que
∀p, q ∈ N, p > n0 et q > n0 =⇒ |Up − Uq | < 1.
En particulier cette inégalité est vraie pour tout p > n0 et q = n0 . On a donc
∀p > n0 , |Up − Un0 | < 1.
Or
||Up | − |Un0 || ≤ |Up − Un0 | < 1 =⇒ |Up | ≤ |Un0 | + 1,
donc
∀p > n0 , |Up | < |Un0 | + 1.
Posons M = max (|U0 | , |U1 | , ..., |Un0 −1 | , |Un0 | + 1). Par conséquent, la suite (Un )n est bornée par M.
16
2.9. Théorème de Bolzano-weierstrass
2.9
Théorème de Bolzano-weierstrass
Théorème 2.1 de Bolzano-weierstrass :
De toute suite bornée, on peut extraire une sous suite convergente.
Démonstration. (Un )n bornée ⇐⇒ ∃a, b ∈ R, a 6 Un 6 b, ∀n ∈ N.
a+b (Un )n ⊂ [a, b] = I. On divise I en deux par son milieu. On obtient deux intervalles a, a+b
et 2 , b ,
2
au moins l’un des deux contient une infinité de termes de (Un )n . On l’appelle I0 et soit Un0 un terme
de I0 . On refait l’opération, en divisant I0 par deux par son milieu, on obtient I1 et Un1 ∈ I1 , avec
n1 > n0 . En refaisant l’opération on obtient I2 et Un2 ∈ I2 , avec n2 > n1 > n0 ....etc
Posons
V1 = Un1 , V2 = Un2 , ..., Vk = Unk .
On obtient une suite d’intervalles (Ik )k tel que Ik+1 ⊂ Ik et Vk ∈ Ik , ∀k ∈ N.
min Ik 6 Vk 6 max Ik ,
On a
T
b−a
= 0 =⇒ ∃ξ ∈ R,
In = {ξ} .
k
k→+∞ 2
n∈N
Ik+1 ⊂ Ik , lim |Ik | = lim
k→+∞
(En appliquant le théorème des segments emboîtés) donc (min Ik et max Ik sont adjacentes).
lim Vk = ζ.
k→+∞
Théorème 2.2 Dans R, toute suite de Cauchy est convergente.
Démonstration. Soit (Un )n une suite de Cauchy dans R, cette suite (Un )n est bornée.
On peut en extraire une sous-suite convergente (par Bolzano). Soit vn = Uϕ(n) , cette sous-suite convergente et soit l sa limite.
La suite (Un )n est de Cauchy. On a donc, par définition :
ε
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀p, q ∈ N, p, q > n0 =⇒ |Up − Uq | < .
2
|Un − l| = |(Un − Up0 ) + (Up0 − l)|
6 |Un − Up0 | + |Up0 − l| , ∀p0 ∈ N, p0 > n0
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2.10. Limite inférieure et limite supérieure d’une suite
et Up0 soit un terme de cette suite extraite (vn )n vérifiant
ε
|Up0 − l| < .
2
ε
Si en même temps on a : p0 > n0 , n > n0 , on a |Un − Up0 | < . Donc
2
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ |Un − l| < ε.
D’où
(Un )n converge vers l.
2.10
2.10.1
Limite inférieure et limite supérieure d’une suite
Valeur d’adhérence
Définition 2.1 Soit (Un )n une suite numérique, on dit que le nombre a ∈ R= ]−∞, +∞[ ∪ {−∞, +∞}
est valeur d’adhérence de (Un )n s’il existe une sous-suite Uϕ(n) n ⊂ (Un )n converge vers a.
Remarque 2.1 L’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (Un )n est noté Ad {Un } ⊂ R.
Définition 2.2 On appelle limite supérieure (resp. inférieure) de la suite (Un )n la borne supérieure
(resp. inférieure) de Ad {Un } qu’on note
lim Un = max Ad {Un } , lim Un = min Ad {Un } .
Exemple 2.1 Soit (Un )n une suite définie par Un = (−1)n .
Ad {Un } = {−1, 1} , lim Un = 1, lim Un = −1.
Remarque 2.2
1) lim Un et lim Un existent toujours (dans R).
2) lim Un existe, si et seulement si lim Un = lim Un .
n→+∞
Exemple 2.2 ((−1)n )n∈N sa limite n’existe pas car ses valeurs d’adhérence sont −1 et 1.
18