TD Mod Actions Méca Entrainement

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Centre d’Intérêt 8 :
TRANSMETTRE l'énergie –
Aspect STATIQUE
Compétences : MODELISER
MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES (sans frottement)
COURS
Modéliser une action mécanique
TP
Entraînement sur cours 1 avec correction
TD Autonomie
1- CISAILLE
On donne le système de cisaillage ci-dessous : le bras porte-lame (3) exerce son action sur une pièce (2) reposant sur la table (6) en
G. Le levier ADF (5) exerce son action sur le bras porte-lame (3) par l'intermédiaire d’une barre (4). L’action verticale au point F est
de 300 N.
Déterminer, par les 3 moyens du cours, le vecteur
𝑦
moment de la force 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 au point A.
F
500mm
𝐹𝑒𝑥𝑡 5
200 mm
D
5
30°
4
1
A
30°
Rq : aucune mesure ne doit être prise sur ce dessin. Les
éléments nécessaires seront calculés à partir des
données de cette figure.
3
150
B
2
100
E
C
𝑥
G
280
Correction :
Méthode 1 : 𝑀𝐴,𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = AF𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = 700. cos 30° . x + 700. sin 30° . y ∧ −300. y
= 606,218. x ∧ −300. y = −181,9. z
𝑒𝑛 𝑁. 𝑚
Méthode 2 : 𝑀𝐴,𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = AF . 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 . sin 60° selon −z (3 doigts de la main droite)
= 0,7 . 300 .
3
. (−z) = −181,9. z
2
𝑒𝑛 𝑁. 𝑚
Méthode 3 (bras de levier) : 𝑀𝐴,𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = 0,606218. 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 . −z = −181,9. z
2- STABILITE D'UNE GRUE
On se propose de déterminer la masse du contrepoids à installer pour assurer la
stabilité de la grue POTAIN MD208A.
La figure 1a représente la grue à vide. En première approche, on utilise la
modélisation de la figure 1b dans laquelle on retrouve :
4
- la force F qui est la charge maxi en bout de flèche (Fmaxi = 2.10 N) ;
- la force Q (lest de contre-flèche). On notera sa norme : Q et son point
d’application : Q ;
- les forces G1 et G2 qui correspondent aux lests de base ;
- la force G3 liée à la masse de la grue (hors lest et charge), rapporté au point G 3
5
(G3 = 2.10 N).
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-1-
𝑒𝑛 𝑁. 𝑚
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béton
3
-2
À partir des dimensions de la figure 1b, et sachant que la masse volumique du béton est de 2222 kg/m et la gravité g = 10 m.s :
1/ Déterminer, au point d’application de chaque force, le torseur (forme vectorielle détaillée) associé à chacun des 5 vecteurs force
cités dans l’énoncé.
2/ Déterminer, au point G3, le torseur (forme vectorielle détaillée) associé à chacun des 5 vecteurs force cités dans l’énoncé.
3/ En déduire Q et la masse du contrepoids pour assurer la stabilité de la grue (pas de rotation autour de (G3, 𝑧)).
(Rq : on n’a pas tenu compte dans ce problème des réactions du sol en A et B, dont les moments en G 3 se compensent).
Correction :
Unités des résultats : Résultantes en Newton et Moments en N.m. On note la pesanteur T (terre).
−2. 104 . y
1/ τTCharge =
0
F
τTLestbase
1
0
Q
−(3.1.1,5).2222.10. y
=
−Q. y
τTLestCF =
0
𝐺1
τTLestbase
0
𝐺1
0
𝐺3
−399960. y
=
−2. 105 . y
τTGrue =
2
−399960. y
=
𝐺2
0
2/ Le calcul des moments au point G3 s’effectue par la formule du bras de levier :
−2. 104 . y
τTCharge =
0
F
−Q. y
τTLestCF =
Q
0
−2. 104 . y
=
𝐺3
𝐺3 F − 2. 104 . y
−Q. y
=
𝐺3
𝐺3 Q − Q. y
=
𝐺3
=
𝐺3
−2. 104 . y
=
−63.2. 104 . z
−Q. y
; τTLestbase
15. Q. z
1
𝐺3
−2. 104 . y
−1,26. 106 . z
𝐺3
−399960. y
; τTLestbase
2 . 399960 . z
=
2
=
𝐺3
3/ En faisant le total des moments en G3 = 0, on trouve Q = 84000 N soit 8400 kg pour le contrepoids nécessaire.
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-2-
−399960. y
−2 . 399960 . z
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3- CABESTAN
Le schéma ci-dessous représente un cabestan (treuil) : il est constitué de deux manivelles solidaires d’un tambour (t) d’axe (O, z), sur
lequel s’enroule un câble tendu.
- Les mains exercent, aux extrémités des manivelles notées, deux forces 𝐹1 et 𝐹2 parallèles et de même intensité 100 N.
- Le câble exerce, en A, sur le tambour, une force 𝐹𝑐𝑡 verticale.
- L’ensemble des autres forces s’exerçant sur le treuil est équivalent à une force 𝑅 exercée en O.
y
F2
d = 30 cm
x
z
On cherche la force disponible
au niveau de la corde, c'est-àdire la norme de 𝑭𝒄𝒕 .
𝐹𝑐𝑡
F1
Main 1
1/ Déterminer le vecteur moment au point O de chacun des 2 vecteurs forces 𝐹1 et 𝐹2 .
2/ Déterminer le torseur statique de l’A.M. exercée par la main 1 sur la manivelle. Vous l’exprimerez en son point d’application (noté
F1) puis au point O sous une forme vectorielle détaillée.
3/ Sachant que la somme vectorielle des moments des 4 actions mécaniques au point O est nulle, déterminer 𝐹𝑐𝑡 (on donne OA =
6,5 cm).
Correction :
1/ Bras de levier : 𝑀O ,𝐹1 = 𝑀O ,𝐹2 = −30. z
en N.m
R main 1manivelle = 𝐹1 = −100. x
2/ τmain 1manivelle =
𝐹1
M𝐹1 ,main 1manivelle = M𝐹1 ,𝐹1 = 0
3/ Après calcul, on trouve Fct = −923. y
𝐹1 = −100. x
=
O
M𝑂,𝐹1 = −30. z
en N et N.m
en N
4- VEHICULE RENVERSE
Dans le cadre de la préparation au rallye Paris/Dakar, on cherche à déterminer
l'effort nécessaire à deux pilotes pour relever un véhicule de 1 500 kg renversé.
On décide d’adopter les 2 modèles suivants (distances en mètres) :
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-3-
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Modèle 1 :
Modèle 2 :
Le poids du véhicule est modélisé par une répartition
de forces locales.
Le poids du véhicule est modélisé globalement par un
glisseur au centre de gravité : G.
y
2
35°
2
𝐵21
35°
1
𝐵21
1
Sol 0
x
Données et notation :
Sol 0
𝒑
𝑷
0,3
2
𝐵21 = 𝑋𝐵 . 𝑥 + 𝑌𝐵 . 𝑦
Coordonnées des points : A(0, 0, 0) B(0.3, 2, 0) G(0.8, 1, 0) en mètres.
Les actions mécaniques aux points A, B et G sont des glisseurs.
-2
Gravité : g = 10 m.s
Pour cette étude, on se place à la limite de relevage, c'est-à-dire que la force exercée par les 2 pilotes est tout juste suffisante pour
commencer à faire basculer le véhicule, qui n’est donc en contact avec le sol qu’au point A.
1/ Pour le modèle 1, exprimer les 2 torseurs (réduits au point A sous forme vectorielle détaillée) associés aux 2 actions mécaniques
globales qui s’exercent aux points :
- B : point d’attache de la corde et représentant l’action des pilotes sur la corde. Ce torseur sera seulement fonction de XB,
- G : centre de gravité du véhicule de masse M = 1 500 kg.
2/ Pour le modèle 1, sachant que 𝑀𝐴,21 + 𝑀𝐴,𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 = 0, déterminer 𝐵21 .
3/ Pour le modèle 2, exprimer le torseur (réduit au point A sous forme vectorielle détaillée) associé à l’action mécanique due à la
gravité, définie par la pression linéique :
𝑝 = − 𝑎𝑥 + 𝑏 . 𝑦 où a et b sont des constantes.
4/ Sachant que les 2 torseurs modélisant l’action mécanique due à la gravité sur les modèles 1 et 2 sont statiquement identiques,
déterminer les constantes a et b.
Correction :
𝑋𝐵 . 𝑥 + 0,7. 𝑋𝐵 . 𝑦
=
0,21. 𝑋𝐵 − 2. 𝑋𝐵 .𝑧
1/ τ21 =
𝐴
−𝑚. 𝑔. 𝑦
τ 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 =
𝐴
−𝐴𝐺 ∧ 𝑚. 𝑔. 𝑦
=
𝐴
𝐴
𝑋𝐵 . 𝑥 + 0,7. 𝑋𝐵 . 𝑦
−1,79. 𝑋𝐵 .𝑧
−15000. 𝑦
(Terre = pesanteur)
−12000.𝑧
2/ XB = -6704 N et YB = -4693 N, donc 𝐵21
3/ τ 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 =
𝐴
𝑀𝐴,𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 =
unités à préciser
= 8183 𝑁.
2,3
𝑑𝐹𝑀 =
0,3
2,3
𝑑𝐹𝑀 = 0,3 (𝑦
2,3
𝑝. 𝑑𝑥 . 𝑦
0,3
𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 =
−
2,3
𝐴𝑀
0,3
+ 𝑥. 𝑥 ) ∧ −(𝑎. 𝑥 + 𝑏). 𝑦. 𝑑𝑥
∧
=
𝐴
−(2,6 . 𝑎 + 2 . 𝑏). 𝑦
−(2,6 . 𝑏 + 4,05 . 𝑎) . 𝑧
4/ 15000 = 2,6 . a + 2 . b et 12000 = 2,6 . b + 4,05 . a conduisent après résolution à b = 22052,2 N/m et a = -11194 N/m.
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-4-
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5- MECANISME ELEVATEUR (d'après sujet concours)
c
-d
a
1/ Déterminer le moment du vecteur force 𝐹 au point 04.
2/ Exprimer { 𝜏 effort F5} au point Q.
3/ Déterminer (forme vectorielle détaillée) le torseur statique associé aux actions mécaniques transmissibles par chacune des 3
liaisons.
Correction :
1/ 𝑀04 ,𝐹 = 04 𝐴  𝐹 = 𝑏. 𝑥5 + 𝑎. 𝑦5 + 𝑐. 𝑧5 ∧ −𝐹. 𝑧5 = 𝑏. 𝐹. 𝑦5 − 𝑎. 𝐹. 𝑥5
2/ 𝑀𝑄,𝐹 = 𝑀04 ,𝐹 + 𝐹 ∧ 04 𝑄 et 𝐹 ∧ 04 𝑄 = 𝐹 ∧ −𝑑 . 𝑥2 = 𝐹. 𝑑. 𝑦2 donc
𝜏𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡
𝐹5
=
𝑄
−𝐹. 𝑧5
𝑏. 𝐹. 𝑦5 − 𝑎. 𝐹. 𝑥5 + 𝐹. 𝑑. 𝑦5
y2 = y 5 )
3/ Liaison pivot entre 4 et 2 : 𝜏42 =
𝑂4
𝑋42 . 𝑥2 + 𝑌42 . 𝑦2 + 𝑍42 . 𝑧2
(on peut aussi l'exprimer dans B4)
𝐿𝑂4 42 . 𝑥2 + 𝑀𝑂4 42 . 𝑦2
Entre 5 et 2 : liaison pivot glissant ; entre 5 et 4 : liaison hélicoïdale … voir cours pour les torseurs.
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(car