surjectivité de l`exponentielle complexe

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Surjectivité de l’exponentielle matricielle complexe
Théorème 1. Soit A∈GLn(C), alors il existe P∈C[X]tel que A= exp(P(A)) et l’exponen-
tielle exp : Mn(C)−→ GLn(C)est surjective.
Démonstration. :
Etape 1 :
Montrons que exp(P(A)) ∈C[A]pour P∈C[X]
Comme C[A]'C[X]/(µA)où µAdésigne le polynôme minimal associé à A,C[A]est un C-espace
vectoriel de dimension finie deg(µA). En tant que C-espace vectoriel de dimension finie, C[A]est
un sous-espace complet de Mn(C)donc une partie fermée de Mn(C). Ainsi,
exp(P(A)) = lim
N→∞
N
P
k=0
P(A)k
k!∈C[A]comme limite d’une suite d’éléments de C[A].
Etape 2 : D’après l’étape 1,exp : C[A]−→ C[A]et l’algèbre C[A]étant commutative, on a :
∀P, Q ∈C[X],exp(P(A) + Q(A)) = exp(P(A)) exp(Q(A))
En particulier, In= exp(0) = exp(P(A)) exp(−P(A)) =⇒exp(P(A))−1= exp(−P(A)) ∈C[A]
et on en déduit ainsi que exp : (C[A],+) −→ (C[A]∗,×)est un morphisme de groupes.
Etape 3 :
Montrons que C[A]∩GLn(C)=(C[A]∗,×)
L’inculsion C[A]∗⊂C[A]∩GLn(C)est évidente. Inversement, soit P(A)∈GLn(C)∩C[A]. Alors,
0n’est pas valeur propre de P(A)et n’est pas une racine de µP(A), le polynôme minimal et le
polynôme caractéristique ayant les mêmes racines. Ainsi, X-µP(A)et X∧µP(A)= 1. Par le
théorème de Bezout, il existe Q1, Q2∈K[X]tels que Q1X+Q2µP(A)= 1 et appliqué en P(A)
on a :
Q1(P(A))P(A) + Q2(P(A)) µP(A)(P(A))
| {z }
=0
=In=⇒P(A)−1= (Q1P)(A)∈C[A]
D’où GLn(C)∩C[A] = C[A]∗et en particulier A∈C[A]∗.
Méthode 1. Comme A∈C[A]∗, pour montrer la surjectivité de exp, on va montrer que
C[A]∗= exp(C[A]). L’inclusion exp(C[A]) ⊂C[A]∗étant immédiate, il suffit de montrer l’inclu-
sion réciproque.
Méthode 2. montrer que exp(C[A]) est un sous-groupe ouvert et fermé du groupe C[A]∗=
C[A]∩GLn(C),qui est naturellement muni d’une structure de groupe topologique comme sous-
ensemble de GLn(C)⊂ Mn(C), puis montrer que C[A]∗est connexe.
Etape 4 : montrons par le théorème d’inversion locale que exp(C[A]) contient un voisinage de
In. On rappelle que exp : Mn(C)−→ GLn(C)est C1et donc sa restriction à C[A]l’est encore
avec dexp(0) = IdC[A]qui est inversible. En effet, pour Hdans un voisinage ouvert de 0dans
C[A], on a :
exp(0 + H) = exp(H) = In+H+
∞
P
k=2
Hk
k!=In+H+o(H).
Par le théorème d’inversion locale, il existe :
•Vvoisinage ouvert de 0contenu dans C[A]
•Wvoisinage ouvert de exp(0) = Incontenu dans exp(C[A])
tels que
exp|V:V−→ Wsoit un C1difféomorphisme.
Alors, exp(C[A]) est un groupe qui contient un voisinage ouvert de l’identité. Par le lemme
suivant, il s’agit donc d’un sous-groupe ouvert et fermé de C[A]∗:
Lemme 1. Soit Gun groupe topologique, alors si Hcontient un voisinage ouvert Vde 1G,H
est ouvert et fermé dans G.

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Démonstration. Soit Vun voisinage de 1Gdans H. Pour tout h∈H, l’application :
φh:V−→ hV
v7−→ hv d’inverse φh−1:hV −→ V w7−→ h−1w
est un homéomorphisme, par continuité de la multiplication ×dans le groupe topologique G.
Ainsi, φh(V) = hV est ouvert dans Het contient h, on en déduit que Hest un voisinage de h,
donc de chacun de ces points et est ouvert. De plus,
Hc=S
g6∈H
gH est ouvert comme union quelconque d’ouverts
les gH étant ouverts, d’après ce qui précède. On en conclut donc que Hc=G\Hest ouvert et
finalement Hest aussi fermé.
Etape 5 :
Montrons que C[A]∗est connexe par arcs.
Pour ce faire, prouvons que deux éléments Met Nde C[A]∗sont nécessairement dans la même
composante connexe par arcs, i.e qu’il existe un sous-ensemble connexe par arcs de C[A]∗conte-
nant Met N. On note :
Ω = {z∈C|det(zM + (1 −z)N)=0}
Comme M, N ∈C[A]∗=C[A]∩GLn(C)nécessairement 0,16∈ Ω. L’application det étant
polynômiale, il n’y a qu’un nombre fini de zqui annule det(•M+ (1 − •)N)et alors C\Ωest
connexe par arcs puisque le plan complexe privé d’un nombre fini de points l’est. L’application
continue
φ:C\Ω−→ C[A]
z7−→ zM + (1 −z)N
envoie le connexe par arcs C\Ωsur φ(C\Ω) qui est connexe par arcs et contient M, N . Il nous
reste à vérifier que φ(C\Ω) ⊂C[A]∗. Or,
∀z6∈ Ω,zM + (1 −z)N∈C[A]∩GLn(C) = C[A]∗.
Conclusion : C[A]∗est connexe par arcs, donc connexe. De plus, exp(C[A]) est une partie non
vide, ouverte et fermée de C[A]∗, d’où exp(C[A]) = C[A]∗=C[A]∩GLn(C).
Application 1. Soit A∈GLn(R). Alors,
∃M∈ Mn(R), A = exp(M)⇐⇒ ∃B∈ Mn(R), A =B2.
Démonstration. :
Etape 1 : Si A= exp(M)où M∈ Mn(R), alors M
2commutant avec elle-même, on a :
A= exp(M
2) exp(M 2) = B2avec B= exp(M 2).
Etape 2 : Suppons que A=B2. Comme A∈GLn(R),det(A)6=0=⇒det(B)6= 0 et Best dans
GLn(R)⊂GLn(C). D’après le théorème précédent, il existe P∈C[X]tel que B= exp(P(B)).
Alors, Bétant une matrice réelle, B=Bet exp(P(B)) = exp(P(B)) = exp(P(B)). En effet, la
conjugaison complexe est une application continue, ce qui donne :
exp(P(B)) = lim
N→∞
N
P
k=0
P(B)k
k!= lim
N→∞
N
P
k=0
P(B)k
k!= exp(P(B))
Ainsi :
A=B2= exp(P(B)) exp(P(B)) = exp((P+P)(B))
où P+P∈R[X], ce qui donne le résultat attendu avec M= (P+P)(B).
Rappel 1. L’application exponentielle est de classe C1sur Mn(C).
Rappel 2. Soit K=Rou C. Un K-ev normé de dimension finie est toujours complet.

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Rappel 3. Un groupe topologique est un groupe munid d’une d’une topologie pour laquelle la
multiplication et le passage à l’inverse sont des applications continues.
Rappel 4. Un espace topologique Eest connexe si et seulement s’il ne peut pas s’écrire comme
réunion de deux ouverts non triviaux. C’est équivalent à dire que les seuls sous-ensembles à la
fois ouvert et fermé de Esont Eet ∅.
Rappel 5. La connexité par arcs implique la connexité.
Rappel 6. Un homéomorphisme entre deux espaces topologiques Eet Fest en particulier une
application ouverte, ie envoie tout ouvert de Esur un ouvert de F.
Rappel 7. Théorème d’inversion locale
Soient Uun ouvert de Rnet aun point de U. On suppose que f:U−→ Rnest une application
de classe C1. On suppose que la matrice jacobienne Jf(a)est inversible. Alors :
•Il existe un ouvert Vcontenant aet contenu dans U.
•Il existe un ouvert Wcontenant f(a)
tel que f|Vsoit un difféomorphisme de classe C1de Vsur W=f(V).