Résumé-1-echantiol-s3

Résumé
N’oubliez jamais que le 1er professeur de la personne c’est lui même.
Surtout Bien Dormir, Et Bien Manger
Résumé sur
L’Echantillonnage
Mohamed BARRADI
[email protected].
19 avril 2014
Table des matières
1 Echantillonnage
1
2
3
4
2
Population - Echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Type des échantillons : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Les distributions d’échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1
Importance des distrubutions d’échantillonnage. . . . .
4
2.2
Distributions d’échantillonnage de la Moyenne X : . . .
4
2.3
Distribution d’échantillonnage de la Variance S 2 : . . .
6
2.4
Distributions d’échantillonnage de la Proportion F : . .
7
Champ d’application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1
Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2
Application sur la distribution d’échantillonnage d’une
moyenne (Exercice 1 TD2) . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1.
Echantillonnage
Dans cette partie, nous allons faire connaissance aux caractéristiques d’une
population de taille N (ou inconnue), et comment on peut extraire un echantillon c-à-dire les types des échantillons possibles , leurs caracteristiques et
la relations entres celles du population et celles des échantillons.
1
1.1
Population - Echantillon
Population
Soit une population de taille N et on s’interesse à l’étude d’un caractére X
(Poids, Age, Salaire, .....) et on obtient des valeurs Xi
:
1.2
Echantillon
Comme tout le monde le sait, il n’est pas toujours possible d’étudier un
caractére X sur toute la population, donc on va extraire juste un échantillon
et on cherche des informations sur lui.
1.3
Interprétation
Sur un population on peut avoir sa moyenne m, sa variance (Ecart-type)
( ); Ou sa proportion p:
2
De même pour l’echantillon il y a sa moyenne x; sa variance (Ecart-type) s2 (s);
Ou sa fréquence f:
2
1
3
Population - Echantillon
Exemple : On cherche à étudier le poids chez les …lles inscritent à la faculté
A (Aaa 7chemet ngoul Ain Sebaa :D). Alors on a pris un échantillon de
taille 20 est on a obtenu ces résultats par Kg :
67.5 58.2 75.6 98.3 54.1 66.8 61.06 89.4 61 78.6
Alors la moyenne du poids de l’echantillon est
1 X
x =
xi
10 i=1
10
= 71:056
Et sa variance est
1 X
(xi
=
10 i=1
10
s
2
= A Calculer
x)2
2
4
Les distributions d’échantillonnage.
1.4
Type des échantillons :
Dans notre cours, nous allons travailler sur l’échantillonnage aléatoire
simple, avec deux cas :
1. Non Exaustif : Avec Remise car la taille de la population est grande.
2. Exaustif : Sans Remise car la taille de population est …nie.
2
2.1
Les distributions d’échantillonnage.
Importance des distrubutions d’échantillonnage.
L’importance de cette partie, c’est tout simplement répondre à la question
suivante : Comment on peut avoir des informations sur l’échantillon
à partir des données de la population ?
Le verse versa sera dans la partie d’estimation, c’est elle qui va répondre à la
question : comment à partir d’une étude sur l’échantillon on peut avoir une
idée sur la population ?
Puisque on a trois caractéristiques de population, alors on aura 3 types de
distributions d’échantillonnage : Moyenne, Variance et Proportion.
2.2
Distributions d’échantillonnage de la Moyenne X :
Soit une population, et soit X V.A telque E(X) = m et var(X) = 2 , et un
échantillon de taille n; Et on sait que la moyenne de l’échantillon est
1X
X=
Xi
n i=1
n
Alors puisque E(X) = m et var(X) =
2
; on a :
2
5
Les distributions d’échantillonnage.
1. La moyenne de X :
E(X) = m:
2. La variance de X :
Pour la variance on a deux cas : (ça dépend des types des échantillons)
(a) Non Exaustif : Avec Remise
2
V ar(X) =
n
= p
X
n
(b) Exaustif : Sans Remise (Taille N sera donnée)
2
N n
n
N
r 1
N n
= p
N 1
n
V ar(X) =
X
3. La loi de X :
Pour la loi de X on a deux cas (ça dépend de )
(a) Si (ou 2 ) connue (Donnée) :
Non Exaustif : Avec Remise
N (m; p )
n
X m
X
Donc T
=
p
N (0; 1)
n
Exaustif : Sans Remise
N (m; p
X
Donc T
X
=
p
n
n
r
m
N
N
r
N
N
n
1
n
)
1
N (0; 1)
2
6
Les distributions d’échantillonnage.
(b) Si
(ou
X
Donc T
2.3
2
) inconnue (Non Donnée) :
s
N (m; p )
n
(Puisque est inconnue on la remplace par s)
X m
=
t(n 1) [Student de n 1 degret de Libérté]
s
p
n
Distribution d’échantillonnage de la Variance S 2 :
Soit une population, et soit X V.A telque E(X) = m et var(X) = 2 , et un
échantillon de taille n; Et on sait que la moyenne de l’échantillon est
1X
S =
(Xi
n i=1
n
X)2
2
Alors puisque E(X) = m et var(X) =
2
; on a :
1. La moyenne de S 2 :
E(S 2 ) =
n
1
n
2
:
2. La variance de S 2 :
4
V ar(S 2 ) = 2(n
S2
3. La loi de n
Si X
S2
2
=
p
2(n
1)
n2
2
1)
n
:
N (m; ) Alors
n
S2
2
n 1
:(Khi-deux n 1 degret de libérté)
Et si X ne suit pas loi normale donc on peut rien dire.
n 1
3
7
Champ d’application :
2.4
Distributions d’échantillonnage de la Proportion F :
Soit une population, qui se dévise sur deux parties : A et A tel que P (A) = p
et P (A) = 1 p ; et un échantillon de taille n:
Soit Kn le nombre des indévidus qui ont l’evenement A.
Kn
n
F =
2
Alors puisque E(X) = m et var(X) =
; on a :
1. La moyenne de F :
E(F ) = p:
2. La variance de F :
(1
V ar(F ) =
F
F
3
rn
(1
=
3. La loi de F :
Si Kn
B(n; p) Alors
N (p;
n)
r
(1
p
n)
n
n)
n
p
p)
Champ d’application :
Kifach ils ont obtenu tout had l3ejeb ? !. C’est ce qu’on va voir dans
Tout le monde va poser cette question :
cette partie sur des petites populations par exemple de Taille 3 et des échantillons de tailles 2.
Chaque problématique contient partie Théorique et une autre Pratique.
Les données Théoriques c’est ce qu’on a vu au dessus, et les données Pratiques
sont eux qui nous ont donné la partie théorique, et c’est ce qu’on va voir
maintenant.
3
8
Champ d’application :
3.1
Principe
Le principe se base sur l’étude statistique des distributions concérnées (Moyenne
X; Variance S 2 ou la fréquence F ) et prendre le maximum des informations
possibles, et pour celà nous allons passer par 8 étapes :
1. On détérmine la variable aléatoie X:
2. On Calcule l’espérence et la variance de la population : E(X) = m et
V ar(X) = 2 .
3. Extraire tous les échantillons possibles (ça dépend des types d’echantillonnage : Avec Remise/ Sans Remis).
4. Calculer la distrubution de chaque échantillon , ( = x la moyenne
de chaque échantillon par exemple).
5. On obtient une variable aléatoire pour cette distribution .
6. On calcule les probabilités pour avoir un tableau de probabilité du
variable àléatoire .
7. On calcule
Xl’espérence et la variance
X mathématiques de la distrubution :
E( ) =
( i ) 2 :pi [E( )] 2
i :pi et V ar( ) =
8. On compare maintenant avec les Résultats Théoriques.
3.2
Application sur la distribution d’échantillonnage d’une moyenne (Exercice
1 TD2)
Nous avons une population de 3 indévidus (les cartes dans l’urne : 10; 20
et 30), donc la taille de population N = 3. D’abord on doit détérminer la
variable aléatoire X.
1. Soit X une V.A qui désigne le nombre marqué sur la carte.
(X) = f10; 20; 30g
2. Calculons E(X) = m et V ar(X) =
2
.
3
9
Champ d’application :
On a
1X
xi =
3
1X
V ar(X) = 2 : =
(xi
3
200
=
3
E(X) = m =
1
60
(10 + 20 + 30) =
= 20
3
3
1
m)2 = (( 10)2 + 0 + (10)2 )
3
3. Notre echantillonnage ce base sur le tirage de 2 cartes sans remise
(Le cas de avec remise on va la voir dans nos séances de TD).
Il faut bien marquer deux choses : la taille de l’échantillon n = 2; et le
type d’echantillonnage : Sans remise (Exaustif).
Nous allons extraire tout les échantillons possibles :
On a obtenu dans ce cas 3 échantillons possibles.
4. Puisque on s’intérésse à la distribution de la moyenne, donc nous allons
calculer la moyenne de chaque echatillon :
Alors on a
1X
1X
1
E1 ! x1 =
xi =
xi = (10 + 20) = 15
n
2
2
1X
1X
1
E2 ! x2 =
xi =
xi = (10 + 30) = 20
n
2
2
1X
1X
1
E3 ! x3 =
xi =
xi = (20 + 30) = 25
n
2
2
3
10
Champ d’application :
5. Comme on remarque on a obtenu une variable aléatoire X i tel que
i 2 f1; 2; 3g
(X) = f15; 20; 25g
6. On va calculer maintenant la probabilité P (X = xi )
Alors on a
P (X = 15) = P (fX1 = 10; X2 = 20g ou fX1 = 20; X2 = 10g)
Xi ets la valeur du carte dans le ieme tirage.
P (X = 15) = P (X1 = 10; X2 = 20) + P (X1 = 20; X2 = 10)
= P (X1 = 10=X2 = 20):P (X2 = 20) + P (X1 = 20=X2 = 10):P (X2 = 10)
On peut remarqué que le 2eme tirége n’in‡uance pas sur le 1er donc
P (X1 = 10=X2 = 20) = P (X1 = 10)
Donc
P (X = 15) = P (X1 = 10) P (X2 = 20) + P (X1 = 20)
1
1 1 1 1
+
=
=
3 2 3 2
3
P (X2 = 10)
Par la même méthode on obtient
1
1
P (X = 20) = ; P (X = 25) =
3
3
Donc on a
Echantillon Ei
xi
pi
E1 E2 E3
15 20 25
1
3
1
3
1
3
7. Nous allons calculer l’espérence
et la variance
X
Xmathématiques de la
distrubution : E(X) =
xi :pi et V ar(X) =
(xi ) 2 :pi
E(X) 2
E(X) =
=
X
xi :pi =
60
= 20
3
15 20 25
+
+
3
3
3
4
11
Conclusion
V ar(X) =
X
(xi ) 2 :pi
E(X)
152 202 252
+
+
3
3
3
50
=
3
=
2
202
8. Maintenant nous allons faire la comparaison (F ra7eto 7it Salina : D)
La partie théorie dans le cas de la distribution d’echatillonnage de la
moyenne "Sans remise (Exaustif)" dit que :
E(X) = E(X) = m
et
2
V ar(X) =
n
N
N
n
1
Alors
E(X) = E(X) = 20 obtenu dans l’étape 1
200
2
N n
3 2
= 3
V ar(X) =
n
N 1
2
3 1
200 1
50
=
=
6
2
3
Donc on peut voir, que les résultats obtenues pratiquement sont les même
obtenu par la théorie.
4
Conclusion
J’espére que ce résumé va vous aider à un peu comprende le principe de
l’échantillonnage, et vous devez apprendre par coeur les formules de la partie
théorique, et comprendre les étapes de la partie pratique.
Bon Courage