Cours RDM: Vecteurs & Statique

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COURS DE RESISTANCE DES MATERIAUX
OBJECTIF PEDAGOGIQUE
L’étudiant devra n’avoir aucune difficulté à déterminer les sollicitations dans un élément
quelconque d’un ouvrage courant du Génie Civil (en particulier pour les systèmes
isostatiques), le calcul des structures en quelque matériau que ce soit ne pouvant se faire
sans de solides connaissances en R.D.M.
I. RAPPELS SUR LES VECTEURS – NOTION DE FORCE
Soit deux vecteurs
y1
y1
x1
V1
et
y2
y2
x2
V2
et un réel a:
1.1 Définitions:
1.11 Vecteur : un vecteur est une grandeur définie par une direction, un sens et une
intensité.
1.2 Coordonnées cartésiennes d’un vecteur : ce sont les valeurs x, y, et z.
1.3 Norme d’un vecteur : soit un vecteur
y
y
x
V
. La norme de V notée
V
ou V et
vaut
222 zyx 
.
1.4 Addition et soustraction de deux vecteurs
a) Analytiquement :
21
21
21
21 z
yyVV
z
xx
21
21
21
21 z
yyVV
z
xx
b) Vectoriellement :
1.5 Formules utiles pour l’addition des vecteurs

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1.6 Produit scalaire de deux vecteurs :
1.7 Produit d’un scalaire par un vecteur :
1.8 Produit vectoriel de deux vecteurs :
1.9 Projections sur les axes
0. REPERE - CONVENTIONS
Repère orthonormé :
Dans toute la suite du cours de
mécanique on prendra comme
repère de l'espace le TRIEDRE
DIRECT ci-contre :
Z
O
Y
X
En
représentation
plane du trièdre,
on aura les
différentes
représentations :
Z
O
Y
X
ZOZ
Y
X
OY
X
Sens positif :
Nous serons amenés à définir des déplacements (translations, rotations) dans l'espace ainsi
que des projections de grandeurs mécaniques diverses dans le repère direct. Par convention,
nous prendrons les sens positifs suivants :
pour les translations :
pour les rotations :

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OZ
X
Y
O
Z
X
Y
I. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
1.1 STATIQUE ANALYTIQUE
1.1.1 Rappels de mathématiques
Voir photocopie.
1.1.2 Principe fondamental de la statique
a) Les actions mécaniques
On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de
créer ou de modifier un mouvement, de déformer un corps.
Notion de force
On appelle force l'action mécanique qui s'exerce mutuellement entre 2 particules
élémentaires pas forcément en contact.
La force est modélisée (représentée) par un VECTEUR qui sera entièrement défini par les
caractéristiques suivantes :
- point d’application
- direction
- sens
- module ou norme ou
intensité
A
b) Moment d'une force
La seule notion de force est insuffisante pour représenter une action mécanique. En effet
suivant le point d'application d'une force, un solide peut tourner ; cet effet peut être
caractérisé par le moment de la force en un point.
La définition du moment la plus pratique à utiliser était la suivante :
d
O
Y
AX I
F
On appelle moment d'une force
F
par
rapport à un point I la grandeur égale au
produit de la norme de
F
par la valeur du
"bras de levier" affectée du signe de la
rotation possible autour de I.

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MIF F d
Cette définition est insuffisante pour la détermination de moments dans l'espace. On est
amené à considérer la définition vectorielle du moment.
On appelle moment d'une force
F
par rapport à un point I le VECTEUR égal au produit
vectoriel :
M F F AI
I
(A point d'application de
F
)
c) Méthode pratique de calcul des coordonnées du VECTEUR moment :
FX Y
ZAI x x
y y
z z
F
F
F
I A
I A
I A
;
;
Y y y
Z z z
X x x
Y y y
F I A
F I A
F I A
F I A
On dispose les coordonnées
sous forme de déterminants
en commençant à YF et yI-
yA et on détermine les
différentes coordonnées du
produit vectoriel en
calculant les déterminants
2x2.
M F F AI X Y
Z
x x
y y
z z
Y y y
Z z z
Z z z
X x x
X x x
Y y y
I
F
F
F
I A
I A
I A
F I A
F I A
F I A
F I A
F I A
F I A
Relation fondamentale : Si l'on veut calculer le moment de
F
en un autre point de l'espace
on peut utiliser la relation suivante :
MBF MIFFBI
d) Modélisation de l'action mécanique d'une force sur un solide :

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M
1O
A
2
2
1
R
A
2
1
Soit un système (1) soumis à l'action d'une
force
A1
2
appliquée en A. On pourra
représenter l'action mécanique de la force
A1
2
sur le système (1) par le vecteur
R1
2
et
le moment
M A
O 1
2
tels que:
R A
1
21 2
M A A AO
O 1
21 2
moment de
A1
2
en O point de l’espace et accessoirement origine du
repère
L'ensemble de ces 2 vecteurs est appelé TORSEUR de l'action mécanique de la force
A1
2
sur le système matériel (1) au point O et est noté
OA( )
1
2
Plusieurs écritures sont possibles suivant les calculs à mener :
OAR A
M A
X
Y
Z
L
M
N
O
A
A
A
O
O
O
( )
1
21
21 2
1
2
1
2
1
2
1
2
AX Y
Z
A
A
A
1
21
2
1
2
1
2
;
M A L M
N
O
O
O
O
1
2
L'écriture sous forme de torseurs des actions mécaniques n'ajoute rien quant aux acquis de
première et terminale. C'est seulement une façon synthétique d'écrire ces actions. Elle
paraît peut-être lourde au premier abord mais c'est une méthode très efficace pour éviter
d'oublier des actions mécaniques dans la résolution d'un problème de statique.
e) Modélisation de l'action mécanique d'un système de forces sur un système matériel
Il est rare qu'un système matériel soit soumis à une seule force, si l'on veut déterminer
l'action mécanique de n forces
Fi
, il faut déterminer le vecteur somme des forces
Fi
ainsi
que la somme des vecteurs moments en un point commun.
On obtient ainsi le torseur de l'action mécanique du système de forces
F F Fn1 2 , ,........,
.
R F F F F
i n 1 2 ........ .....
M M F M F M F M F
O O O O i O n 1 2 ....... .......
R
est appelé la résultante du torseur de l'action mécanique du système de forces appliqué
sur le système matériel étudié.