Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex Résistance des Matériaux Cours de Tronc Commun CHAPITRE VIII Flexion pure I. Hypothèses Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne, La section droite est constante et possède un plan de symétrie, Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés contenus dans le plan de symétrie. M M II. Définition Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé moment de flexion. N=Ty=Tz=0 , Mt=0 , Mfy et/ou Mfz0 III. Etude des contraintes Observation Les sections droites de la poutre ne se déforment pas, elles se déplacent en restant perpendiculaires à la ligne moyenne qui s’incurve mais ne s’allonge pas. M M Par conséquent, deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un angle élémentaire Da autour de l’axe z, normal au plan de symétrie. La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de toutes les rotations relatives de toutes les sections. III. Etude des contraintes y M’ M0 Da M y G On considère un élément de longueur Dx, délimité par les sections S0 et S. M0M est une fibre de cet élément située à une distance y de la ligne moyenne. Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne d’un angle Da autour de Gz. On appelle S’ la section déformée et M’ représente la position de M après déformation. x D’après la loi de Hooke, on a : E. E. D Or on a : Dx et MM' D tgDa Da y y D’où : D y.Da S S’ S0 Dx Finalement, la loi de Hooke s’écrit : E.y. y: position de la fibre étudiée / ligne moyenne Da Dx III. Etude des contraintes O Si on prolonge toutes les sections déformées, elles concourent toutes en un point O, appelé centre de courbure. La distance OG est appelée r, rayon de courbure. Da M0 M’ Dx E.y tgDa Da d’où : r r y r Détermination de l’axe neutre = 0 Da La force normale élémentaire agissant sur chaque dS vaut : On a : dN σ.dS M On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire : y G x - E.y -E N Sσ.dS S .dS SydS 0 r r Moment statique/axe x S0 Dx S S’ On a donc le moment statique nul l’axe neutre passe par le centre de gravité G de S III. Etude des contraintes Relation entre contrainte et moment de flexion On coupe la poutre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces de cohésion dans la section (S). On sait que la force normale élémentaire vaut: dN σ.dS Le moment élémentaire s’écrit : dM y.σ.dS L’équilibre de la partie isolée s’écrit donc : M f S y.σ.dS E E Ce qui donne : M f S - .y² .dS S y².dS r r M f E .I Gz r or on a : r - E .y Finalement, on obtient : Mf .y I Gz Moment d’inertie / axe Gz IGz M f . y III. Etude des contraintes Remarques: y max la distribution de la contrainte normale dans une section est linéaire, l’axe neutre (=0) passe par le centre de gravité des sections, G x la contrainte normale est maximale (max) pour la fibre la plus éloignée de c.d.g. ymax=h/2 dans le cas des sections symétriques / Gz Module de flexion : max max Mf .y max I Gz I Gz y max III. Etude des contraintes Cas d’une section non symétrique / Gz y cmax G x tmax IV. Etude des déformations Nous avons montré que : Or : Mf .y I Gz E.y r 1 Mf r E.I Gz L’expression analytique du rayon de courbure d’une courbe d’équation y=f(x) est : 3 1 v'² 2 r v' ' Comme v’ est petit (petites déformations), v’² négligeable / 1, il vient : 1 v' ' On obtient donc l’équation différentielle de la déformée : M v' ' f E.I Gz r IV. Etude des déformations Remarques : v représente la flèche de la poutre, v’ représente la rotation de la section. On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’, pour trouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc des constantes d’intégration. Pour connaître leurs valeurs, il faut appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée. V. Dimensionnement V.1 Condition de résistance On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe (résistance pratique à l’extension = contrainte normale admissible adm) définie par : R pe e s Limite élastique à l’extension Coefficient de sécurité On obtient ainsi l’inéquation suivante: max Mf . y max R pe I Gz V. Dimensionnement V.2 Condition de déformation On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim) imposée par le type de construction ou les contraintes technologiques. On obtient ainsi l’inéquation suivante: v max v lim
