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chapitre 8 RDM Flexion simple

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Hautes Etudes d’Ingénieur
13, rue de Toul
59046 Lille Cedex
Résistance des Matériaux
Cours de Tronc Commun
CHAPITRE VIII
Flexion pure
I. Hypothèses
 Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope,
 Sa ligne moyenne est rectiligne,
 La section droite est constante et possède un plan de symétrie,
 Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables
par deux moments opposés contenus dans le plan de symétrie.
M
M
II. Définition
Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de
réduction au centre de gravité de chaque section des forces de
cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé
moment de flexion.
N=Ty=Tz=0 , Mt=0 , Mfy et/ou Mfz0
III. Etude des contraintes
Observation
Les sections droites de la poutre ne se déforment pas, elles se déplacent
en restant perpendiculaires à la ligne moyenne qui s’incurve mais ne
s’allonge pas.
M
M
Par conséquent, deux sections droites voisines tournent l’une par
rapport à l’autre d’un angle élémentaire Da autour de l’axe z, normal
au plan de symétrie.
La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de
toutes les rotations relatives de toutes les sections.
III. Etude des contraintes
y
M’
M0
Da
M
y
G
On considère un élément de longueur Dx, délimité
par les sections S0 et S. M0M est une fibre de cet
élément située à une distance y de la ligne moyenne.
Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne
d’un angle Da autour de Gz. On appelle S’ la section
déformée et M’ représente la position de M après
déformation.
x D’après la loi de Hooke, on a :   E.  E. D

Or on a :   Dx
et 
MM'
D

 tgDa  Da
y
y
D’où : D   y.Da
S S’
S0
Dx
Finalement, la loi de Hooke s’écrit :    E.y.
y: position de la fibre étudiée / ligne moyenne
Da
Dx
III. Etude des contraintes
O
Si on prolonge toutes les sections déformées, elles
concourent toutes en un point O, appelé centre de courbure.
La distance OG est appelée r, rayon de courbure.
Da
M0
M’
Dx
 E.y
 tgDa  Da
d’où :  
r
r
y r
Détermination de l’axe neutre   = 0
Da
La force normale élémentaire agissant sur chaque dS vaut :
On a :
dN  σ.dS
M
On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire :
y
G
x
- E.y
-E
N  Sσ.dS  S
.dS 
SydS  0
r
r
Moment
statique/axe x
S0
Dx
S S’
On a donc le moment statique nul  l’axe neutre
passe par le centre de gravité G de S
III. Etude des contraintes
Relation entre contrainte et moment de flexion
On coupe la poutre en une section (S) et on exprime que la partie isolée
est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces de
cohésion dans la section (S).
On sait que la force normale élémentaire vaut: dN  σ.dS
Le moment élémentaire s’écrit : dM  y.σ.dS
L’équilibre de la partie isolée s’écrit donc : M f   S y.σ.dS
E
E
Ce qui donne : M f   S - .y² .dS  S y².dS
r
r
 M f  E .I Gz
r
or on a : r  - E .y

Finalement, on obtient :   
Mf
.y
I Gz

Moment d’inertie /
axe Gz
IGz
M f   .
y
III. Etude des contraintes
Remarques:
y
max
 la distribution de la contrainte normale
dans une section est linéaire,
 l’axe neutre (=0) passe par le centre de
gravité des sections,
G
x
 la contrainte normale est maximale (max)
pour la fibre la plus éloignée de c.d.g. 
ymax=h/2 dans le cas des sections
symétriques / Gz
Module de flexion :
max
 max
Mf

.y max
I Gz
I Gz
y max
III. Etude des contraintes
Cas d’une section non symétrique / Gz
y
cmax
G
x
tmax
IV. Etude des déformations
Nous avons montré que :
Or :   
Mf
.y
I Gz


 E.y
r
1
Mf

r
E.I Gz
L’expression analytique du rayon de courbure
d’une courbe
d’équation y=f(x) est :
3

1  v'² 2
r
v' '
Comme v’ est petit (petites déformations), v’² négligeable / 1, il vient :
1
v' '
On obtient donc l’équation différentielle de la déformée :
M
v' '   f
E.I Gz
r
IV. Etude des déformations
Remarques :
 v représente la flèche de la poutre,
 v’ représente la rotation de la section.
 On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’, pour
trouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc
des constantes d’intégration. Pour connaître leurs valeurs, il faut
appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée.
V. Dimensionnement
V.1 Condition de résistance
On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe
(résistance pratique à l’extension = contrainte normale admissible
adm) définie par :
R pe 
e
s
Limite élastique à l’extension
Coefficient de sécurité
On obtient ainsi l’inéquation suivante:
 max 
Mf
. y max  R pe
I Gz
V. Dimensionnement
V.2 Condition de déformation
On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim)
imposée par le type de construction ou les contraintes
technologiques.
On obtient ainsi l’inéquation suivante:
v max  v lim
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