Séries Numériques MPSI

Chapitre 20 Séries numériques
N.B dans tout le chapitre, IK désigne ou .
I-Définition- Convergence :
Définition
Soit
()
n
x
une suite d’éléments de IK, la suite
()
n
S
des sommes partielles de
()
n
x
, définie par
01
0
S ...
n
n k n
kx x x x
, s’appelle série de terme général
()
n
x
et se note
n
x
.
Le IK-espace vectoriel des séries à termes dans IK
Soit
IK
et
n
x
,
n
y
deux séries de termes généraux
()
n
x
et
()
n
y
. On définit :
i. la série
nn
xy
par
n n n n
x y x y  
;
ii. la série
n
x
par
n
x
.
Les opérations ainsi définies confèrent à l’ensemble des séries à termes dans IK une structure de IK-
espace vectoriel.
Convergence et somme d’une série
Définition
Soit
n
x
une série de terme général
()
n
x
,
()
n
S
étant la suite de ses sommes partielles.
Si la suite
()
n
S
converge vers
IKS
, quand n tend vers , on dit que la série
n
x
est convergente et de
somme égale à S. On écrit
0n nxS
.
Si la série n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente, il y’a deux cas :
● La limite de
()
n
S
est infinie (lorsque
IK=
), la divergence dans ce cas est dite de première espèce.
● La limite de
()
n
S
n’existe pas, dans ce cas, on dit que la divergence est de deuxième espèce.
► Étudier la nature d’une série signifie : examiner si elle est convergente ou divergente.
Exemples :
1. Montrons que la série
1
( 1)nn
est convergente, dans cette exemple, 1 est l’indice du premier terme
de la somme partielle. Soit
*
n
posons
1
1
( 1)
n
nk
Skk
.
On a
11
1 1 1 1
1
( 1) 1 1
nn
nkk
Sk k k k n
, donc
lim 1
n
nS
; par conséquent, la série
1
( 1)nn
est
convergente de somme
1
11
( 1)
n
Snn
.
2. La série
1!n
est convergente, en effet, nous avons vu dans le cours des intégrales (formule de Taylor
avec reste intégral) que
, lim1 ...
1! !
n
x
n
xx
xe n
. Ainsi,
1!n
est de somme
0
1!
n
Se
n
.

►La nature d’une série
n
x
ne change pas si on modifie ou si on supprime un nombre fini des termes
n
x
. Par exemple,
n
nx
et
0
n
nnx
sont de même nature.
IK-espace vectoriel des séries convergentes
Proposition
L’ensemble des séries convergentes à valeurs dans IK est un IK-espace vectoriel (c’est plus précisément
un sous-espace de l’espace des séries à termes dans IK).
Si
n
x
et
n
y
sont deux séries convergentes de sommes respectives x et y et si
IK
alors,
●
nn
xy
est convergente de somme
xy
.
●
n
x
est convergente de somme
x
.
Preuve : Il suffit de faire appel aux sommes partielles, on se ramène aux opérations sur les suites
convergentes.
Corollaire
Notons C l’espace des séries convergentes à valeurs dans IK, l’application
: IKC
,
0
nn
n
xx
est une forme linéaire.
Reste d’une série convergente
Définition
Soit
n
u
une série convergente et S sa somme, et soit
n
. Le nombre
0
n
nk
k
R S u
est appelé reste
de rang n de la série
n
u
.
Ainsi,
nn
R S S
où
0
n
nk
k
Su
est la somme partielle de rang n ou encore
12
1....
n k n n
kn
R u u u
► Il est clair que
lim 0
n
nR
.
Condition nécessaire de convergence d’une série
Proposition
Soit
n
u
une série à termes dans IK, une condition nécessaire de convergence est que son terme général
tende vers 0, c'est-à-dire
lim 0
n
nu
.
Autrement dit, [
n
u
est convergente]
lim 0
n
nu
.
Preuve : supposons que
n
u
est convergente de somme S, considérons
()
n
S
la suite des sommes
partielles, on a
lim n
nSS
, en outre,
1n n n
u S S 
donc
lim 0
n
nu S S
.
►La condition
lim 0
n
nu
n’est pas suffisante pour la convergence de
n
u
, comme le montre l’exemple
suivant : le terme général de la série
1
n
qui est
1
n
tend vers 0, mais la série n’est pas convergente.
La série
1
n
est appelée la série harmonique.

►La proposition permet de conclure rapidement la divergence des séries dont le terme général ne tend
pas vers 0 en ; on dit, dans ce cas, que la divergence est grossière.
Par exemple, la série
2
n
est divergente car
2
lim
nn
.
Séries géométriques :
Théorème
Soit
IKq
, la série
n
q
,appelée série géométrique, est convergente si, et seulement si,
1q
et dans
ce cas, sa somme est
0
1
1
n
nqq
.
Preuve : considérer la somme partielle
0
nk
kq
.
Séries à termes complexes
Théorème
Soit
n
z
une série à termes complexes où
n n n
z x iy
et
,
nn
xy
.
n
z
est convergente si, et seulement si,
n
x
et
n
y
sont convergentes. En cas de convergence,
0 0 0
n n n
n n n
z x i y
.
II. Séries à termes positifs (donc à termes réels)
Lemme
Soit
n
u
une suite à termes positifs.
n
u
est convergente si, et seulement si, la suite
()
n
S
de ses sommes partielles est majorée.
Preuve : Par hypothèse,
, 0
n
nu  
.
Posons
0
n
nk
k
Su
. On a
()
n
S
est croissante, car
11
0
n n n
S S u
; donc
()
n
S
est convergente si, et
seulement si, elle est majorée.
Il en résulte qu’en cas de convergence la somme est
00
sup n
nk
n
nk
S u u
.
Série et intégrale
Théorème
Soit f une fonction numérique continue par morceaux, positive et décroissante sur
0,
.
La série
1() nfn
et l’intégrale généralisée
1()f x dx
sont de même nature. Dans le cas de convergence
on a l’encadrement suivant :
1
11
(1) ( ) ( ) ( )
kk
f f k f t dt f k
.
Preuve
On peut admettre le théorème et revoir la lecture de la preuve ultérieurement, afin ″d’économiser
l’énergie″.

Établissons d’abord un encadrement qui nous sera utile. La fonction f est décroissante, pour
*
k
donné,
on a :
, 1 , ( 1) ( ) ( )x k k f k f x f k     
, donc
1 1 1
( 1) ( ) ( )
k k k
k k k
f k dt f t dt f k dt
c'est-à-dire,
1
( 1) ( ) ( )
k
k
f k f t dt f k
(E)
Supposons que
1() nfn
est convergente de somme S, comme elle est à termes positifs, on a
11
( ) sup ( )
n
nk
S f n f k
(*) .
Montrons que l’intégrale
1()f x dx
est convergente, il suffit à cet effet, puisque f est positive, de montrer
que la fonction
1
: (t)
x
F x f dt
est majorée (voir le lemme du chapitre des intégrales généralisées).
Soit
1x
, et soit
()N E x
sa partie entière.
On a
11
11
( ) ( )
N
Nk
k
k
f t dt f t dt
( on a utilisé la relation de CHASLE).
L’inégalité droite de l’encadrement (E), donne:
1
1
11
( ) ( )
NN
k
k
kk
f t dt f k
, donc
1
1
11
( ) ( )
N
N
k
f t dt f k
.
On a
1
11
( ) ( ) ( )
xN
F x f t dt f t dt
(car,
11
11
0 et 1 donc ( ) ( ) ( ) 0)
N x N
x
f N x f t dt f t dt f t dt
donc
1
11
( ) (t) ( )
N
x
k
F x f dt f k
. De (*) on déduit que
1
( ) (t)
x
F x f dt S
.
La fonction F est ainsi majorée, l’intégrale
1()f x dx
converge alors.
Réciproquement, supposons que l’intégrale
1()f x dx
est convergente donc, f étant positive, on a
11
1
( ) sup ( ) 0
x
x
f t dt f t dt H
(**).
Montrons que la série
1() nfn
est convergente. D’après le lemme ci-dessus,
()fn
étant positif, il suffit de
montrer que la suite des sommes partielles est majorée, c'est-à-dire, montrons qu’il existe un réel A positif
tel que
*
1
, ( )
n
k
n f k A
.
Soit
*
n
, l’inégalité gauche de (E), donne:
1
11
( 1) ( )
nn
k
k
kk
f k f t dt
, donc
1
1
1( 1) ( )
nn
kf k f t dt
.
Ainsi, d’après (**),
1( 1)
n
kf k H
ou encore
1
2()
n
kf k H
. Il en résulte que, pour tout
*
n
,
1
1 2 2
( ) (1) ( ) (1) ( ) (1)
n n n
k k k
f k f f k f f k f H
, il suffit de prendre
(1)A f H
.
En conclusion,
1() nfn
est convergente.
Établissons, en cas de convergence, l’encadrement :
1
11
(1) ( ) ( ) ( )
kk
f f k f t dt f k
.
D’après (E), on a
1
1 1 1
( 1) ( ) ( )
n n n
k
k
k k k
f k f t dt f k
, donc :
11
1
11
(1) ( ) ( ) ( )
nn
n
kk
f f k f t dt f k
.
En faisant tendre n vers on obtient :
1
11
(1) ( ) ( ) ( )
kk
f f k f t dt f k
.

Remarque : Cet encadrement peut aussi s’écrire :
11
1
( ) ( ) (1) ( )
k
f t dt f k f f t dt
.
Encadrement du reste
Proposition
Sous les hypothèses du théorème ci-dessus. Si l’intégrale
1()f x dx
converge alors, la série
1() nfn
converge et le reste
n
R
de rang n vérifie
1( ) ( )
n
nn
f x dx R f x dx
.
Preuve
On a, par définition,
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ......
n
nk k k n
R f k f k f k f n f n
Reprenons l’encadrement établi dans la preuve ci-dessus :
1
( 1) ( ) ( )
k
k
f k f t dt f k
.
Soient
*
,np
tels que
1pn
, en appliquant l’inégalité gauche on a :
1
( 1) ( )
pp
k
k
k n k n
f k f t dt
donc
11
1( ) ( )
pp
n
kn f k f t dt
; n étant fixé, on fait tendre p vers on obtient :
()
nn
R f x dx
.
Appliquons à présent l’inégalité droite, on aura :
1
11
( ) ( )
pp
k
k
k n k n
f t dt f k
, par suite
1
11
( ) ( )
p
p
nkn
f t dt f k
; de même, n étant fixé, on fait tendre p vers on obtient :
1() n nf x dx R
;
la preuve est achevée.
Séries de Riemann
Théorème et définition
Soit , la série
*
1
nn
converge si, et seulement si,
1
.
La série
*
1
nn
est appelée série de Riemann.
Preuve
● Si
0
, la suite
1
n
ne tend pas vers 0, la série
*
1
nn
est divergente (divergence grossière).
● Si
0
, la fonction
1
xx
x
est continue, positive et décroissante sur
0,
.
D’après le théorème précédent,
*
1
nn
converge si, et seulement si,
1
dx
x
converge ; or, nous savons
que l’intégrale de Riemann
1
dx
x
est convergente si, et seulement si,
1
; d’où le résultat.
Exemples
■Les séries
*2
1
nn
,
*
1
nnn
,
*5
3
1
nn
convergent. ■ Les séries
*2
3
1
nn
,
*
1
nn
divergent .