Séries Numériques MPSI

Chapitre 20
Séries numériques
N.B dans tout le chapitre, IK désigne  ou  .
I-Définition- Convergence :
Définition
Soit ( xn ) une suite d’éléments de IK, la suite ( Sn ) des sommes partielles de ( xn ) , définie par
n
Sn   xk  x0  x1  ...  xn , s’appelle série de terme général ( xn ) et se note
k 0
x
n
.
Le IK-espace vectoriel des séries à termes dans IK
 x ,  y deux séries de termes généraux
i. la série  x   y par  x   y    x  y  ;
ii. la série    x par   x .
Soit   IK et
n
n
n
n
n
n
n
n
( xn ) et ( yn ) . On définit :
n
n
Les opérations ainsi définies confèrent à l’ensemble des séries à termes dans IK une structure de IKespace vectoriel.
Convergence et somme d’une série
Définition
Soit
x
une série de terme général ( xn ) , ( Sn ) étant la suite de ses sommes partielles.
n
Si la suite ( Sn ) converge vers S  IK , quand n tend vers  , on dit que la série  xn est convergente et de

somme égale à S. On écrit
x
n 0
n
S.
Si la série n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente, il y’a deux cas :
● La limite de ( Sn ) est infinie (lorsque IK= ), la divergence dans ce cas est dite de première espèce.
● La limite de ( Sn ) n’existe pas, dans ce cas, on dit que la divergence est de deuxième espèce.
► Étudier la nature d’une série signifie : examiner si elle est convergente ou divergente.
Exemples :
1. Montrons que la série
1
 n(n  1)
est convergente, dans cette exemple, 1 est l’indice du premier terme
n
1
.
k 1 k ( k  1)
de la somme partielle. Soit n  * posons Sn  
n
n
1
1
1
1
, donc lim Sn  1 ; par conséquent, la série
 
 1
n 
k 1
n 1
k 1 k ( k  1)
k 1 k
On a Sn  
1
 n(n  1) est

1
 1.
n 1 n( n  1)
convergente de somme S  
2. La série
1
 n ! est convergente, en effet, nous avons vu dans le cours des intégrales (formule de Taylor
x
xn
avec reste intégral) que x  , e  lim 1   ...  . Ainsi,
n 
1!
n!
x
1

1
 n ! est de somme S   n!  e .
n 0
►La nature d’une série  xn ne change pas si on modifie ou si on supprime un nombre fini des termes
xn . Par exemple,
x
n
n
x
et
n  n0
n
sont de même nature.
IK-espace vectoriel des séries convergentes
Proposition
L’ensemble des séries convergentes à valeurs dans IK est un IK-espace vectoriel (c’est plus précisément
un sous-espace de l’espace des séries à termes dans IK).
 x et  y sont deux séries convergentes de sommes respectives x et y
●  x   y est convergente de somme x  y .
●   x est convergente de somme  x .
Si
n
n
n
et si   IK alors,
n
n
Preuve : Il suffit de faire appel aux sommes partielles, on se ramène aux opérations sur les suites
convergentes.
Corollaire
Notons C l’espace des séries convergentes à valeurs dans IK, l’application  : C  IK ,

 xn   xn
n 0
est une forme linéaire.
Reste d’une série convergente
Définition
Soit
u
n
n une série convergente et S sa somme, et soit n   . Le nombre Rn  S   uk est appelé reste
k 0
de rang n de la série
u
n
.
n
Ainsi, Rn  S  Sn où Sn   uk est la somme partielle de rang n ou encore Rn 
k 0

u
k  n 1
k
 un 1  un  2  ....
► Il est clair que lim Rn  0 .
n 
Condition nécessaire de convergence d’une série
Proposition
Soit
u
n
une série à termes dans IK, une condition nécessaire de convergence est que son terme général
tende vers 0, c'est-à-dire lim un  0 .
n 
Autrement dit, [
u
n
est convergente]  lim un  0 .
Preuve : supposons que
n 
u
n
est convergente de somme S, considérons ( Sn ) la suite des sommes
partielles, on a lim Sn  S , en outre, un  Sn  Sn1 donc lim un  S  S  0 .
n 
n 
►La condition lim un  0 n’est pas suffisante pour la convergence de  un , comme le montre l’exemple
n 
suivant : le terme général de la série
La série 
1
n
qui est
1
est appelée la série harmonique.
n
1
tend vers 0, mais la série n’est pas convergente.
n
►La proposition permet de conclure rapidement la divergence des séries dont le terme général ne tend
pas vers 0 en  ; on dit, dans ce cas, que la divergence est grossière.
Par exemple, la série
n
2
est divergente car lim n2   .
n 
Séries géométriques :
Théorème
Soit q  IK , la série
q
ce cas, sa somme est
q
n

n
,appelée série géométrique, est convergente si, et seulement si, q  1 et dans

n 0
1
.
1 q
n
Preuve : considérer la somme partielle
q
k
.
k 0
Séries à termes complexes
Théorème
z
Soit
z
n
n
une série à termes complexes où zn  xn  iyn et xn , yn   .
est convergente si, et seulement si,



n 0
n 0
n 0
x
n
et
y
n
sont convergentes. En cas de convergence,
 zn   xn  i yn .
II. Séries à termes positifs (donc à termes réels)
Lemme
Soit
u
u
n
n
une suite à termes positifs.
est convergente si, et seulement si, la suite ( Sn ) de ses sommes partielles est majorée.
Preuve : Par hypothèse, n  , un  0 .
n
Posons Sn   uk . On a ( Sn ) est croissante, car Sn1  Sn  un1  0 ; donc ( Sn ) est convergente si, et
k 0
seulement si, elle est majorée.

 n

Il en résulte qu’en cas de convergence la somme est S   un  sup   uk  .
n  k  0
n 0

Série et intégrale
Théorème
Soit f une fonction numérique continue par morceaux, positive et décroissante sur 0,  .
La série
 f (n) et l’intégrale généralisée 
n 1

1
f ( x)dx sont de même nature. Dans le cas de convergence
on a l’encadrement suivant :

 f (1)   f (k )  
k 1

1

f (t )dt   f (k ) .
k 1
Preuve
On peut admettre le théorème et revoir la lecture de la preuve ultérieurement, afin ″d’économiser
l’énergie″.
Établissons d’abord un encadrement qui nous sera utile. La fonction f est décroissante, pour k  * donné,
on a : x   k , k  1 , f (k  1)  f ( x)  f (k ) , donc 
k 1
k
f (k  1)  
k 1
k
f (k  1)dt  
k 1
k
f (t )dt  
k 1
k
f (k )dt c'est-à-dire,
f (t )dt  f (k ) (E)
Supposons que  f (n) est convergente de somme S, comme elle est à termes positifs, on a
n 1

 n

S   f (n)  sup   f (k )  (*) .
n 1
 k 1

Montrons que l’intégrale 

1
f ( x)dx est convergente, il suffit à cet effet, puisque f est positive, de montrer
x
que la fonction F : x   f (t)dt est majorée (voir le lemme du chapitre des intégrales généralisées).
1
Soit x  1, et soit N  E ( x) sa partie entière.
On a

N 1
1
N
f (t )dt   
k 1
f (t )dt ( on a utilisé la relation de CHASLE).
k
k 1
N

L’inégalité droite de l’encadrement (E), donne:
k 1
x
On a F ( x)   f (t )dt  
1
N 1
1
k 1
k
N 1
f (t )dt   f (k ) , donc

1
k 1
f (t )dt (car, f  0 et N  1  x donc
N 1

N 1
1
N 1
N 1
f (t )dt   f (k ) .
k 1
x
f (t )dt   f (t )dt  
1
N 1
f (t )dt  0)
x
donc F ( x)   f (t)dt   f (k ) . De (*) on déduit que F ( x)   f (t)dt  S .
x
1
x
1
k 1


Réciproquement, supposons que l’intégrale 

La fonction F est ainsi majorée, l’intégrale


1
f (t )dt  sup
x 1

x
1
f ( x)dx converge alors.
1
f ( x)dx est convergente donc, f étant positive, on a
1

f (t )dt  H  0 (**).
Montrons que la série  f (n) est convergente. D’après le lemme ci-dessus, f (n) étant positif, il suffit de
n 1
montrer que la suite des sommes partielles est majorée, c'est-à-dire, montrons qu’il existe un réel A positif
n
tel que n  * ,  f (k )  A .
k 1
n
n
k 1
k 1
Soit n  * , l’inégalité gauche de (E), donne:  f (k  1)   
Ainsi, d’après (**),
n

f (k  1)  H ou encore
k 1
n 1
 f (k )  H .
k
n
f (t )dt , donc  f (k  1)  
n 1
1
k 1
f (t )dt .
Il en résulte que, pour tout n  * ,
k 2
n
n
n 1
k 1
k 2
k 2
 f (k )  f (1)   f (k )  f (1)   f (k )  f (1)  H ,
En conclusion,
k 1
il suffit de prendre A  f (1)  H .
 f (n) est convergente.
n 1

Établissons, en cas de convergence, l’encadrement :  f (1)   f (k )  
k 1
D’après (E), on a
n

k 1
n
f (k  1)   
k 1
k 1
k

1
n
n 1
k 1
k 1

f (t )dt   f (k ) .
k 1
f (t )dt   f (k ) , donc :  f (1)   f (k )  

En faisant tendre n vers  on obtient :  f (1)   f (k )  
k 1

1

f (t )dt   f (k ) .
k 1
n 1
1
n
f (t )dt   f (k ) .
k 1
Remarque : Cet encadrement peut aussi s’écrire :



f (t )dt   f (k )  f (1)  
1

1
k 1
f (t )dt .
Encadrement du reste
Proposition

Sous les hypothèses du théorème ci-dessus. Si l’intégrale

1
f ( x)dx converge alors, la série  f (n)
n 1
converge et le reste Rn de rang n vérifie


n 1
f ( x)dx  Rn  

n
f ( x)dx .
Preuve

n
k 1
k 1
On a, par définition, Rn   f (k )   f (k ) 


f (k )  f (n  1)  f (n  2)  ......
k  n 1
Reprenons l’encadrement établi dans la preuve ci-dessus : f (k  1)  
k 1
f (t )dt  f (k ) .
k
p
p
k n
k n
Soient n, p  * tels que p  n  1 , en appliquant l’inégalité gauche on a :  f (k  1)   
p 1
donc

k  n 1
f (k )  
p 1
f (t )dt ; n étant fixé, on fait tendre p vers  on obtient : Rn  
n
n
p
Appliquons à présent l’inégalité droite, on aura :

k  n 1

p 1
n 1
f (t )dt 
p


k 1
k
f (t )dt 
k 1
k
f (t )dt
f ( x)dx .
p

f (k ) , par suite
k  n 1
f (k ) ; de même, n étant fixé, on fait tendre p vers  on obtient :
k  n 1


n 1
f ( x)dx  Rn ;
la preuve est achevée.
Séries de Riemann
Théorème et définition
Soit    , la série
1
 n
n
La série
converge si, et seulement si,   1 .
*
1
 n est appelée série de Riemann.
n*
Preuve
 1
● Si   0 , la suite  
n
1

 ne tend pas vers 0, la série *  est divergente (divergence grossière).

n n
1
● Si   0 , la fonction x    x  est continue, positive et décroissante sur 0,  .
x
 dx
1
D’après le théorème précédent,   converge si, et seulement si, 
converge ; or, nous savons
1
x
n* n
que l’intégrale de Riemann 

1
dx
est convergente si, et seulement si,   1 ; d’où le résultat.
x
Exemples
■Les séries
1
n
n*
2
,
n
n*
1
n
,

n*
1
n
5
3
convergent.
■ Les séries

n*
1
n
2
3
,

n*
1
divergent .
n
►En particulier, la série harmonique
1
 n est divergente.
Comparaison des séries à termes positifs
Théorème fondamental
x
n
et
y
n
deux séries à termes positifs vérifiant n  , xn  yn (*) .
 y converge alors  x converge.
ii. Si  x diverge alors  y diverge.
i. Si
n
n
n
n
Preuve

 n

y
est
convergente
alors,
en
posant
,
on
a
S

sup
yk  (voir la preuve
S

y
 n


n

n  k  0
n 0

du lemme ci-dessus ; en outre, la série est à termes positifs) .
i. Supposons que
Pour tout n   , on a
n
n
k 0
k 0
 xk   yk  S . Il en résulte, d’après le lemme ci-dessus que
x
n
est
convergente du fait qu’elle est à termes positifs et la suite des sommes partielles majorée par S.
ii. C’est l’ implication contraposée de i.
►Le théorème reste valable si on a (*) seulement à partir d’un certain rang.
Corollaire 1 [Comparaison logarithmique]
x
et
● Si
y
● Si
x
n
y
n
deux séries à termes strictement positifs vérifiant n  ,
xn 1 yn 1
, on a

xn
yn
converge alors  xn converge.
n
n
diverge alors
y
n
diverge.
Preuve
Remarquons que
x
xn 1 yn 1
x
x
équivaut n 1  n . Posons un  n , (un ) est alors décroissante, donc

yn
xn
yn
yn 1 yn
n  , un  u0 ; c'est-à-dire n  , xn  u0 yn .
 y et  u y
fondamental aux séries  x et  u y .
u0 étant une constante non nulle,
n
n
0
►Le corollaire reste valable, si on a
0 n
sont de même nature ; on applique alors le théorème
n
xn 1 yn 1
seulement à partir d’un certain rang.

xn
yn
Corollaire 2
x
n
et
●Si lim
n 
y
n
deux séries à termes positifs.
yn
   0 alors
xn
x
n
et
y
n
sont de même nature.
● Si xn  O ( yn ) ou si xn  o ( yn ) , alors


 y converge   x converge ;
ii.  x diverge   y diverge .
i.
n
n
n
n
En particulier si xn  yn alors  xn et
y
n
sont de même nature.
Preuve : utiliser les définitions de la limite, de ″O″ et de ″o″, puis le théorème fondamental.
Règle de Riemann
Proposition :
Soit
u
n
une série à termes positifs, supposons qu’il existe    tel que lim n un   .
n 
● Si   1 et    alors
u
● Si   1 et    \ 0 alors
n
converge.
u
diverge.
n
Preuve : utiliser la définition de la limite et comparer avec la série de Riemann 
1
.
n
Critère de D’Alembert
Soit
u
n
un 1
.
n  u
n
une série à termes strictement positifs, supposons qu’il existe    tel que lim
● Si   1 alors la série
u
● Si   1 alors la série
u
n
n
est convergente.
est divergente.
● Si   1 on ne peut pas conclure en général.
Preuve
●Si   1 , on peut prendre, en appliquant la définition de la limite,   0 tel que     1 , on met en
un0
(   ) n .
évidence un rang n0   à partir duquel on a un 
n0
(   )
un0
(   )
n0
est une constante,
 (   )
n
est une série géométrique convergente (car,         1 ),
du théorème fondamental on déduit que
u
n
est convergente.
●Si   1 , on prend   0 tel que 1     et on montre que lim un   , la divergence est grossière.
n 
Exemple
Soit a  0 , considérons la série 
an
an
. La série est à termes  0 . Posons un 
, on a
n!
n!
un 1
a n 1
n!
a
an
u

 n 
; donc lim n 1  0  1 , la série 
est alors convergente.
n  u
un
(n  1)! a
n 1
n!
n
III. Séries absolument convergentes
Définition
 u une série à valeurs dans IK. On dit que la série  u
série  u est convergente.
Soit
n
n
est absolument convergente lorsque la
n
Proposition
Si une série


n 0
n 0
u
n
,à valeurs dans IK, est absolument convergente alors elle est convergente et on a
 un   un (Inégalité triangulaire)
Autrement dit, convergence absolue  convergence.
►L’implication réciproque n’est pas vraie dans le cas général, nous avons le contre-exemple suivant :
(1) n
 n est convergente mais n’est pas absolument convergente.
n*
Terminologie
Une série qui est convergente sans être absolument convergente est dite semi-convergente.
Critère de la convergence dominée
Proposition
Soit
u
n
une série à valeurs dans IK. Supposons qu’il existe une suite positive (an ) telle que
n  n0 , un  an . Si
a
n
est convergente alors est
u
n
est absolument convergente.
Preuve : Il suffit d’appliquer le théorème fondamental.
IV. Séries alternées
Définition
On appelle série alternée toute série à termes réels de la forme
 (1) v
n
n
(ou de la forme  (1)n1vn )
où (vn ) est une suite positive.
Théorème
Soit
 (1) v une série alternée, (v ) est une suite positive satisfaisant :
n
n
n
i. (vn ) est décroissante ;
ii. lim (vn )  0 .
n 
Alors la série
 (1) v est convergente.
n
n
►Ce théorème est connue sous le nom de : Critère de convergence spécial de Leibniz.
Preuve
n
Soit (Sn ) la suite des sommes partielles : Sn   (1)k vk .
k 0
Considérons les suites ( S2 n ) et ( S2 n1 ) , montrons qu’elles sont adjacentes :
● S2( n1)  S2n  (1)2( n1) v2( n1)  (1)2n1 v2n1  v2n2  v2n1  0 (car, (vn )  ) donc ( S2 n ) est décroissante.
●D’une façon analogue on montre que ( S2 n1 ) est croissante.
● lim S2 n  S2 n1  lim v2n1  0 .
n 
n
Ainsi, ( S2 n ) et ( S2 n1 ) sont adjacentes elles ont une limite commune S, il en résulte que (Sn ) est
convergente de limite S, c’est –à-dire
 (1) v
n
n
est convergente.
Signe du reste et majoration de sa valeur absolue
On suppose que les conditions i. et ii. du théorème sont satisfaites et on reprend les notations de la preuve,

on a S   (1) n vn et pour tout p   , on a S2 p 1  S  S2 p (*) ( propriété des suites adjacentes).
n 0
Soit n   et soit le Rn reste de rang n. On a Rn  S  Sn .
Premier cas : n  2 p . Dans ce cas, d’après (*), Rn  S  S2 p  S2 p  S2 p 1  v2 p 1  vn1 .
Deuxième cas : n  2 p  1. Dans ce cas, en remarquant que S2 p 1  S  S2 p , on a,
Rn  S  S2 p 1  S2 p  S2 p 1  v2 p  vn1 .
Dans les deux cas, on a Rn  vn1 .
On exprime ce résultat en disant que la valeur absolue du reste est majorée par la valeur absolue du
premier terme négligé ; clarifions ce point, si on écrit S  Sn , on néglige en fait la somme
(1)n1 vn1  (1)n2 vn2  ..... , et on remarque que vn1  (1)n1 vn1 .
Pour le signe de Rn , on a, d’après (*) :
si n est pair alors Rn  0 ;
si n est impair alors Rn  0 .
Exemple
(1) n
La série 
est une suite alternée convergente.
n
V- Quelques compléments
1.Série commutativement convergente
Théorème et définition
u
n
n
une série à termes positifs convergente.
Pour toute bijection  :    , la série
 u
n
On dit que la série
u
n
n

( n ) est convergente et on a

 u   u
n 0
n
n 0
(n)
.
est commutativement convergente.
2. Sommation des relations de comparaison
Théorème
u
n
v
et
n
deux séries,
v
n
étant à termes positifs, telles que un  O (vn ) .
i. Si
v
ii. Si
v
n
n 


est convergente alors  uk  O   vk  .
n 
k n
 k n 

n

n
 n 
est divergente alors  uk  O   vk  .
n 
k 0
 k 0 
►Nous avons des résultats analogues avec les relations ″ o ″et ″  ″.
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Référence bibliographique : Les nouveaux précis BREAL Analyse PSI