Équations du premier degré : Théorie et exercices

Théorie
Chapitre : Les équations du premier degré
Une équation du premier degré est une équation de la forme ax +b=cavec a≠0où xest
l’inconnue. Résoudre une telle équation consiste à « trouver le nombre x» pour lequel ax +b=c.
1 Les règles de transformation
Les règles de transformation des équations permettent d’obtenir des équations équivalentes, c’est-
à-dire des équations ayant la ou les mêmes solutions. Selon les opérations effectuées, les équations
changent. Voici les règles associées à chacune des opérations :
Les règles :
1. Additionner le même nombre aux deux membres de l’équation ;
2. Soustraire le même nombre aux deux membres de l’équation ;
3. Multiplier les deux membres de l’équation par un même nombre différent de zéro ;
4. Diviser les deux membres de l’équation par un même nombre différent de zéro.
2 La méthode de la balance
On peut assimiler l’égalité comme étant une balance à l’équilibre. Les deux membres de l’équation
correspondent aux deux plateaux. La méthode de la balance consiste à isoler la variable dans un
des membres de l’équation en utilisant les règles de transformations des équations.
Comme les plateaux d’une balance à l’équilibre, les règles de transformations des équations per-
mettent de transformer celle-ci en gardant les deux membres de l’équation égaux.
3 La résolution
La résolution d’équations est la démarche qui permet de déterminer la ou les valeurs d’une incon-
nue qui valident l’équation.
1

Exemple :
−2x+4=6on ajoute −4des deux côtés de l’égalité
−2x=2on divise par −2qui est non nul des deux côtés de l’égalité
x=2
−2on simplifie
x=−1
S={−1}
On peut vérifier que lorsque l’on remplace xpar −1dans −2x+4, on obtient −2⋅(−1)+4=6.
4 Les cas particuliers
cas 1 : une infinité de solutions
4x+1+x=3+5x−2
4x+x−5x=3−2−1
0=0
S=R
L’égalité obtenue est vraie quelque soit la valeur de x choisie. Donc l’équation admet une infinité de
solutions. Comme tous les nombres réels sont des solutions de l’équation alors on note l’ensemble
des solutions S=R.
cas 2 : aucune solution
3x+2=2x+5+x
3x−2x−x=5−2
0=3
S=∅
L’égalité obtenue est fausse puisque 0≠3. Donc il n’y a aucune valeur de xvérifiant l’équation.
L’équation n’admet donc aucune solution. Dans ce cas, on note S=∅pour dire que l’ensemble
des solutions est égal à l’ensemble vide symbolisé par ∅.
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Série d’exercices
Chapitre : Les équations du premier degré
Exercice 1
Parmi la liste de nombres 0; 1; 3
2; 4lesquels sont solutions des équations suivantes :
1. −x+1=0.
2. 3x+4=6x−8.
3. x(2x−3)=0.
Exercice 2
Conseil pour cet exercice : Dans un premier temps, ne surtout pas s’occuper du nombre
multiplié par x, mais passer la valeur additionnée ou soustraite (s’il y en a une) de l’autre
côté. Ensuite diviser à gauche et à droite par la valeur qui multiplie x.
3x+2=8soustraire 2des deux côtés de l’égalité
3x=6on divise par 3qui est non nul des deux côtés de l’égalité
x=6
3on simplifie
x=2
1. x+5=12
2. x−3=8
3. 14 −x=9
4. 11 =x+7
5. 12 =17 −x
6. 2x=8
7. 2x+3=7
8. 4x−2=18
9. 9−3x=3
10. 47 =4x−9
11. 3x+1.5=7.5
12. 2x−3=4
13. 2.7=4.3−4x
14. 2.5=2x−1.5
15. 7.5−4x=2.5
Exercice 3
Conseil pour cet exercice : Commencer comme pour l’exercice ci-dessus, mais dans le cas
ou x apparaît plusieurs fois, commencer par passer les x du même côté et additionner leurs
coefficients. (ex : 0.1x−2x+xdeviennent ˘0.9x).
7−3x=12 +2xaddtionner 3xdes deux côtés de l’égalité
7=12 +5xsoustraire 12 des deux côtés de l’égalité
−5=5xon divise par 5des deux côtés de l’égalité
−5
5=xon simplifie
−1=x
3

1. x+8=5
2. 8−x=12
3. x+3=7
4. −2x−13 =−5
5. 4−2x=9+3x
6. −12 =4x+27 −7x
7. 8x−7−3x=6x−12 +5
8. x−4.3−2x=−7.4−2x
Exercice 4
Résoudre les équations suivantes
1. x+6=2x+3
2. 3x+5=6x−1
3. 7x−6=4x−3
4. 2−x=5x−10
5. 10x−7=12 −5x
6. x+9.6=2x+6.4
7. 10x−3=5x+2.5
8. 1.5x−4=0.5x+2
9. 0.2x+1.2=1.2−0.8
10. 2x−6.5=0.5x+8.5
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes
1. 8x−3+2x=12 −5x
2. 3−2x=2x+7−8x
3. 5x−3+6x−2x=x+21
4. x+4+2x−7=0
5. 4x−2=7+2x+1
6. 8x+4+6x−7=7x+6+5x+9
7. 11x−5−3x=6x+11 +8
8. 7x+3.1−5x+6=13 +1.1−3x−5
9. x+2−4x−0.2=1+x
10. 0=0.1x−0.3+3x−9
Exercice 6
Conseil pour cet exercice : Dans le cas où existent des parenthèses, on commencera par
les supprimer.
6x+(3−x)=−3−(2x+8)supprimer les parenthèses
6x+3−x=−3−2x−8suite...
1. 13 −(x+3)=7
2. x+(x+5)=3
3. 3x−(8−x)=0
4. 4x−(2−x)=x−8
5. 5+(x−3)=2−(x+2)
6. 7x+(4−x)=−2−(x+8)
7. (5x+3)−(2x−2)=18 +5
8. (5x+3)+(2x−4)=9−(2−3x)
9. (x+1)+(x−2)−(x+3)=0
10. (x−3)−(x−5)=7−(5−x)−2
4

Exercice 7
Conseil pour cet exercice : Dans le cas où existent des parenthèses, on commencera par
les supprimer en distribuant le facteur qui les multiplie.
2x−3(x−3)=3supprimer les parenthèses
2x−3x+9=3suite...
1. 3x+2(x+4)=−7
2. x−2(3−x)=0
3. x−3=2(x+1)−7
4. 3(x−1)=4(x+1)
5. 7=(6−x)⋅0.5
6. 10(x+3)−7=5(3−x)−7
7. 8(3x−3)−7x−5(12 −3x)=13x−8
8. 4(2x+1)+6(x−4)=4(3x+1)+x+6
9. −6+5(2x−3)−2(x+3)=3(2−x)
10. 3(−x+2)−(x+2)+2(x−2)=0
Exercice 8
Conseil pour cet exercice : Dans le cas où existent un ou plusieurs dénominateurs, on met
tous les termes au dénominateur commun. Ensuite on supprime le dénominateur commun
avant de suivre les conseils des exercices ci-dessus.
x
3−1 2=5 6+x 9prendre 18 comme PPMC
6x
18 −9 18 =15 18 +2x 18 si on multiplie par 18, on les supprime
6x−9=15 +2xsuite...
1. x
2=4
2. x
3=3 4
3. x
2+1=5
4. x−x
2=4
5. x=6+x
3
6. 2x=1
4
7. x+x
2=x+1 4
8. 2x−1=3
7
9. x−x
3−6=0
10. x
2+x 3=5
11. 2x+x
2=10
12. 12 +x
3=x 2
Exercice 9
Résoudre les équations suivantes
1. x
4+x 3=x−5
2. 3x−x
2=6+2x
3. 2+x
3=x 2+4 3
4. x
2+x 3+x 4=26
5. 2x
3−11 2=x 4−1 2
6. 3x
4+6=5x 6+3
7. 2x−5+3
4=4x−20
8. 4
3−x 3+x 4−5 4=6 5−x 5+x 6−7 6
9. x
5−1 3+x=2 5−x 6+2
10. x+6−2x
5=3+2x−6 5
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