cours force centrale

33
I2
S
P rs
M ou
C
Mouvements à forces centrales
Table des matières
1 Forces centrales
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Travail et énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Forces centrales newtoniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2 Conservation du moment cinétique et conséquences
2.1 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . .
2.2 Conservation du moment cinétique et conséquences
2.2.1 Mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Constante des aires . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . .
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3
3
4
4
4
4
3 Forces centrales newtoniennes : étude énergétique
3.1 Energie potentielle effective . . . . . . . . . . .
3.2 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Force attractive (K > 0) . . . . . . . . . .
3.2.2 Force répulsive (K < 0) . . . . . . . . . .
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5
5
6
6
7
4 Force centrales newtoniennes : trajectoires circulaire et elliptique
4.1 Trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Force newtonienne quelconque . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Force gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Généralisation à la trajectoire elliptique . . . . . . . . . . . . .
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8
8
8
9
9
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5 Applications
9
5.1 Satellites géostationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Nous avons déjà introduit précédemment les lois de Newton ainsi que les théorèmes de l’énergie cinétique et de l’énergie mécanique sans restriction quant à leur application. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser en particulier à l’action d’un type de force : les forces centrales.
Ces forces regroupent notamment les forces de gravitation et électrostatique, dites forces newtoniennes. L’étude détaillée de leur action permet donc non seulement de comprendre le mouvement des astres à l’échelle astronomique, amis aussi celui des particules chargées à l’échelle
microscopique.
1
1
1.1
Forces centrales
Définition
#«
On considère un point matériel M soumis à une force F exercée par un objet situé en O. La force
est dite centrale si elle peut se mettre sous la forme :
#«
F = Fr #«
er
avec
#«
F
#«
er
O
•
# «
OM
#«
er = # «
kOMk
M
•
• si Fr > 0, la force est répulsive ;
• si Fr < 0, la force est attractive.
Exemple : interaction entre un proton et un électron, interaction entre la terre et un satellite,
interaction entre le Soleil et la Terre...
1.2
Travail et énergie potentielle
Le travail élémentaire est :
#«
δW = F . d #«
r = Fr #«
e r . d(r #«
e r ) = Fr #«
e r . (dr #«
e r + r d #«
e r ) = Fr dr + Fr r #«
e r . d #«
er
Mais #«
e r est un vecteur unitaire donc :
k #«
e r k2 = 1 = #«
e r . #«
er
et donc :
dk #«
e r k2 = 2 #«
e r . d #«
er =0
On obtient donc :
δW = Fr dr
Si on peut trouver une énergie potentielle Ep telle que :
δW = –dEp
alors la force est dite conservative et :
Fr = –
1.3
dEp
dr
Forces centrales newtoniennes
Une force centrale est dite newtonienne si elle peut s’écrire :
K
Fr = – 2
r
# «
r = kOMk
• si K < 0, la force est répulsive ;
• si K > 0, la force est attractive.
2
et
K = cte
Deux cas sont très souvent rencontrés :
• interaction entre deux masses m1 et m2 :
K = G m1 m2
• interaction entre deux charges q1 et q2 :
K=–
q1 q2
4 π r 0
Pour une force centrale newtonienne :
dEp
K
K
= 2 =⇒ Ep = – + cte
dr
r
r
On choisit souvent Ep (r = +∞) = 0 ce qui impose cte = 0 d’où :
Ep = –
2
K
r
Conservation du moment cinétique et conséquences
2.1
Théorème du moment cinétique
On étudie le mouvement d’un point M de masse m soumis à une force (ou un ensemble de forces)
#«
extérieure F , se déplaçant à la vitesse #«
v dans un référentiel galiléen.
Le moment cinétique de M en O est :
# «
#«
σ O = OM ∧ m #«
v
#«
Rem : #«
σ O est aussi noté L O .
On peut calculer la dérivée par rapport au temps de #«
σO :
# «
d #«
v
d #«
σ O dOM
# «
=
∧ m #«
v + OM ∧ m
dt
dt
dt
Si O est un point fixe 1 :
# «
dOM #«
=v
dt
Dans ce cas :
d #«
σO # «
d #«
v # « #«
= OM ∧ m
= OM ∧ F
dt
dt
Ce résultat à un nom : il s’agit du théorème du moment cinétique (TMC) en O :
d #«
σ O # « #«
= OM ∧ F
dt
Attention aux hypothèses : M doit être un point matériel et O un point fixe.
1. Attention, si O n’est pas fixe,
# «
dOM #«
= v (M) – #«
v (O), où #«
v (M) est la vitesse de M et #«
v (O) la vitesse de O.
dt
3
2.2
Conservation du moment cinétique et conséquences
2.2.1 Mouvement plan
#«
Si F est une force centrale :
d #«
σ O # « #« #«
#«
= OM ∧ F = 0 =⇒ #«
σ O = cte
dt
# «
#«
car OM = r #«
e r et F = Fr #«
e r sont colinéaires.
#«
σO
# «
# «
Or #«
σ O = OM ∧ m #«
v , donc OM et #«
v sont orthogonaux à un
vecteur constant. Par conséquent, le mouvement de M est
plan.
O•
Le mouvement de M se situe dans le plan passant pas O et orthogonal à #«
σO
2.2.2
Constante des aires
On note (Oxy) le plan du mouvement. L’axe (Oz) est donc porté par le vecteur #«
σ O . On peut donc
utiliser les coordonnées polaires.
#«
F = Fr #«
er
# «
OM = r #«
er
#«
v = ṙ #«
e r + r θ̇ #«
eθ
Le moment cinétique de M en O est donc :
#« # «
#«
σ O = cte = OM ∧ m #«
v = m r2 θ̇ #«
e z =⇒ r2 θ̇ = cte = C
C est nommée constante des aires.
Rem : r2 θ̇ = cte implique que θ̇ est de signe constant. Par conséquent, le mouvement se fait
toujours dans le même sens. En plaçant #«
σ O selon + #«
e z , i.e. r2 θ̇ > 0, le mouvement s’effectue dans
le sens positif : θ̇ > 0.
2.2.3
Interprétation géométrique
On peut écrire :









# «
OM(t) = r(t) #«
e r (t) = r #«
er
# «
# «
# «
OM(t + dt) = OM(t) + dOM(t) = r #«
e r + dr #«
e r + r dθ #«
eθ
# «
L’aire balayée pendant dt par le vecteur OM est :
dA =
(r + dr) r dθ dr r dθ
–
=
2
2
r2 dθ
2
r
r+d
On a donc :
r2 θ̇
dA
C
=
=
dt
2
2
dθ
r
dA
est nommé vitesse aréolaire 2 .
dt
2. Attention : ce n’est pas une vitesse.
4
# «
OM(t) dr
# «
OM(t + dt)
# «
dOM(t)
r dθ
En supposant que A(t = 0) = 0 :
C
t
2
On aboutit à la loi des aires ou deuxième loi de Kepler :
A(t) =
Pendant des durées égales, le vecteur position balaye des aires égales
M
•
r
∆t
•
O
∆t
3
Forces centrales newtoniennes : étude énergétique
3.1
Energie potentielle effective
Dans la suite, on se limite à une particule soumise à une force centrale newtonienne.
L’énergie mécanique est :
K 1
K
1
m v2 – = m (ṙ2 + r2 θ̇2 ) –
2
r 2
r
La force étant conservative, l’énergie mécanique est conservée :
Em =
Em = cte
On a déjà rencontré des systèmes conservatifs à un degré de liberté mais, ici, le problème est plus
compliqué car il y a, à priori, deux degrés de liberté : r et θ.
Nous allons nous ramener à un problème à degré de liberté en utilisant la constante des aires :
C = r2 θ̇
On peut écrire :
Em =
1
1 C2 K
m ṙ2 + m 2 –
2
2 r
r
| {z }
Ep,eff (r)
1
m ṙ2 + Ep,eff (r)
2
Ep,eff est nommée énergie potentielle effective.
Em =
3.2
Trajectoires
On a :
Ep,eff =
1 C2 K
m
–
2 r2 r
Pour tracer l’allure de Ep,eff , on distingue deux cas.
5
3.2.1
Force attractive (K > 0)
L’énergie potentielle effective a l’allure suivante :
Ep,eff
1 C2
m
2 r2
R
r
(min)
Ep,eff
–
K
r
Pour déterminer R, on cherche l’annulation de la dérivée :
dEp,eff
dr
=–
m C2 K
+ 2
r3
r
La dérivée s’annule en
R=
m C2
K
On a :
(min)
Ep,eff
–K2
= Ep,eff (R) =
2 m C2
Pour déterminer l’allure de la trajectoire, on raisonne sur la valeur de l’énergie mécanique :
Em =
1
m ṙ2 +Ep,eff (r)
2
| {z }
>0
Si Em > 0
Ep,eff
rm
Em
•
O
r
rm
Le point M peut donc se déplace entre r = rm et r = +∞. On admet que la trajectoire est une
hyperbole dont O un des foyers. La distance minimale d’approche est rm .
6
Si Em < 0
Ep,eff
rmin
rmax
r
Em
Le mouvement reste confiné entre r = rmin et r = rmax . On admet que la trajectoire est donc une
ellipse dont O est un des foyers.
Dans le cas système solaire, le Soleil est considéré fixe
en O (en se plaçant dans le référentiel héliocentrique).
Les planètes décrivent autour du Soleil un trajectoire
elliptique donc le Soleil est un des foyer. Il s’agit de la
première loi de Kepler.
M
•
r
O
(min)
Ep,eff .
Un cas particulier est obtenu si Ep,eff =
Dans ce
cas, le mouvement est confiné et r est forcément constant
et égal à R (rmin = rmax = R). La trajectoire est un cercle
de rayon R.
rmax
Si Em = 0
Le mouvement n’est pas confiné. La trajectoire est une parabole
rm
•
O
3.2.2
Force répulsive (K < 0)
L’énergie potentielle effective a l’allure suivante :
Ep,eff
rm
•
O
Em
r
rm
La trajectoire est une hyperbole. La distance minimale d’approche est rm .
7
θ
×
rmin
x
4
Force centrales newtoniennes : trajectoires circulaire et elliptique
4.1
4.1.1
Trajectoire circulaire
Force newtonienne quelconque
On considère un point matériel de masse m soumis à une force centrale newtonienne de centre O
(avec O fixe). On suppose que la trajectoire est circulaire. Dans ce cas, r = R = cte.
La vitesse est :
#«
v = R θ̇ #«
e θ = v #«
eθ
L’accélération est :
2
v
dv #«
#«
a = –R θ̇2 #«
e r + R θ̈ #«
e θ = – #«
er+
e
R
dt θ
On sait que :
R2 θ̇ = C = cte
donc :
v = R θ̇ = cte
Le mouvement est donc circulaire uniforme et :
2
v
#«
e
a = –R θ̇2 #«
e r = – #«
R r
On applique le PFD :
v2
K
K
e r =⇒ m
= 2
m #«
a = – 2 #«
R R
R
On obtient donc :
r
v=
K
mR
Dans ce cas, on peut facilement relier le temps T de révolution avec le rayon R :
T=
2πR
v
On obtient donc :
v2
2πR 2
K
R3
K
=
=
=⇒ 2 =
T
mR
4 π2 m
T
L’énergie mécanique s’écrit :
Em =
K
K
1
m v2 – = –
2
R
2R
Em = –
8
K
2R
4.1.2
Force gravitationnelle
Pour une masse m en rotation autour d’une masse M0 immobile en O sous l’effet de la gravitation,
on a :
K = G M0 m
On obtient donc :
r
v=
G M0
R
Em = –
G M0 m
2R
On obtient également la troisième loi de Kepler (pour le cas circulaire) :
R3 G M 0
=
4 π2
T2
Ce rapport ne dépend pas de la masse m mais uniquement de la masse placée en O.
4.2
Généralisation à la trajectoire elliptique
Pour un mouvement elliptique de demi grand axe a,
on admet que :
K
a3
=
T 2 4 π2 m
Em = –
K
2a
Em = –
θ
×
×
Périgée
O (M0 )
r
×
Dans le cas de la force gravitationnelle, on obtient :
a3 G M 0
=
4 π2
T2
M (m)
•
Apogée
G M0 m
2a
2a
Ces relations sont les mêmes que celle de la trajectoire circulaire en remplaçant R par a. Attention
à ne pas généraliser abusivement la relation obtenue dans le cas circulaire pour la vitesse :
r GM0
v =
a
Pour une trajectoire elliptique, le mouvement n’est pas uniforme et la vitesse n’est pas orthoradiale.
5
5.1
Applications
Satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire est un satellite qui reste constamment au dessus d’un même point
de la surface terrestre. Il apparaît donc immobile pour un observateur terrestre. Pour cela, il doit
respecter trois conditions.
Condition 1 : le plan de l’orbite doit être le plan de l’équateur.
En effet, la force exercée par la Terre sur le satellite est une force centrale dirigée de M (position
du satellite) vers O (centre le la Terre). On on sait que le mouvement est un plan passant pas O.
Le seul plan possible, passant par O, tel que le satellite reste constamment à la surface du même
point est le plan de l’équateur. En effet, si on considère un autre plan (passant pas O), on a la
9
situation ci - dessous où il est clair que le satellite ne reste pas à la verticale d’un même point de
la surface de la Terre.
N
Trajectoire du satellite
•
O•
Trace au sol
•
S
Conditions 2 : Le mouvement du satellite doit être synchrone avec le mouvement de rotation
propre de la terre autour de l’axe des pôles, c.à.d que la vitesse angulaire de rotation du satellite
autour de la Terre doit être la même que celle de la Terre sur elle même :
ω=
2π
Tsidéral
avec
Tsidéral = 23 h 56 min
Différence entre le jour solaire et sidéral :
Tsidéral correspond au temps mis par la Terre pour faire un
tout sur elle-même :
Tsidéral = 23 h 56 min
Tsolaire correspond au temps entre deux passage du soleil
au zénith :
Tsolaire = 24 h 00 min
Une révolution complète de la Terre autour du Soleil
représente 365,25 jours solaires par an et 366,25 jours
sidéraux.
Tsolaire
•
•
Tsidéral
•
Soleil
Dans la majorité des cas, on ne fait pas la distinctions entre
Tsidéral et Tsolaire et on prend Tsidéral = Tsolaire = T = 24 h.
Condition 3 : Le mouvement doit être circulaire
On a montré que :
C = r2 θ̇ = cte
Or d’après la condition 2 :
θ̇ =
2π
Tsidéral
= cte
Donc on a forcément :
r = cte = R
En appliquant la troisième loi de Kepler, on peut trouver l’altitude h :
G M T T2
R=
4 π2
10
!1/3
•
ce qui donne :
h = R – RT ≈ 3,6.104 km
On peut calculer la vitesse du satellite (trajectoire circulaire uniforme) :
r
G MT
v=
≈ 3 km.s–1
RT + h
On compte actuellement plus de 300 satellites géostationnaires (90% sont des satellites de communication).
5.2
Vitesses cosmiques
• La première vitesse cosmique vc est la vitesse minimale à fournir à un objet situé sur Terre
pour pouvoir le placer en orbite autour de la Terre.
On peut évaluer l’énergie mécanique au niveau du sol :
Em = cte =
G m MT
1
m v20 –
2
RT
Ainsi, la plus petite valeur de v0 (i.e. vc ) correspond à la plus petite valeur de Em . Or la plus petite
G MT m
valeur permettant d’avoir un état lié est Em = –
, c.à.d une trajectoire circulaire, donc :
2 RT
Em = –
G MT m 1
G m MT
= m v2c –
2 RT
2
RT
D’où :
r
vc =
G MT
≈ 8 km.s–1
RT
• La deuxième vitesse cosmique, également nommée vitesse de libération et notée vlib , correspond à la vitesse minimale à fournir à un objet situé sur Terre pour pouvoir l’éloigner définitivement de la Terre.
On peut évaluer l’énergie mécanique au niveau du sol :
Em = cte =
1
G m MT
m v20 –
2
RT
Ainsi, la plus petite valeur de v0 (i.e. vlib ) correspond à la plus petite valeur de Em . Or la plus
petite valeur permettant d’avoir un état lié est Em = 0, c.à.d une trajectoire parabolique, donc :
Em = 0 =
D’où :
r
vlib =
G m MT
1
m v2lib –
2
RT
2 G MT √
= 2 vc ≈ 11 km.s–1
RT
Rem : on peut définir ces deux vitesses cosmiques pour un astre autre que la Terre.
11
Application : atmosphère des planètes
|
|
|
25
20
|
30
15
|
35
10
5
H2
• Saturne
He
•Neptune
• Uranus
H2 O
• Terre
|
Si cette vitesse est plus
grande que la vitesse de
libération de la planète,
alors la particule peut
s’échapper de la planète.
Ainsi pour savoir si un
gaz peut être retenu par
une planète (et donc si
la planète peut posséder
une atmosphère), il suffit
de comparer la vitesse de
libération de cette planète
et la vitesse du gaz :
v (km.s–1 )
|
L’énergie cinétique d’une
particule gazeuse est environ égale kB T par conséquent sa vitesse est :
r
kB T
v≈
m
|
100
• Mars
• Lune
|
300
12
• Vénus
Xe
• Mercure
|
500
|
700
|
900
T (K)