9TD- Equations différentielles

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Equations diff´erentielles
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Equations diff´erentielles du 1er ordre
Exercice 1
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y0−2
x3y= 0 sur ]0,+∞[ avec y(0) = 2
2. y0−2xy =xex2
3. y0−ytan x= cos2(x) sur ] −π
2,π 2[
4. y0+y=e−x+e−2x
5. y0+y=xexcos x
6. y0+ 2iy =eix
Exercice 2
On consid`ere l’´equation diff´erentielle xy0+y=2x
x2+1 .
1. R´esoudre l’´equation sur ]0,+∞[ et sur ] − ∞,0[.
2. Montrer qu’il existe une unique solution sur R
Exercice 3
1. R´esoudre sur ]0,1[ l’´equation diff´erentielle x(x−1)y0+ (2x−1)y= 1
2. R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle x(x−1)y0+ (2x−1)y= 1
Exercice 4
R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle suivante xy0−2y−x4= 0.
Exercice 5
Trouver toutes les fonctions f:R7→ Rd´erivables telles que : ∀x∈R, f0(x)f(−x) = 1.
On pourra introduire la fonction ϕ(x) = f(x)f(−x).
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Equations diff´erentielles du 2nd ordre
Exercice 6
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y00 + 2y0+ 4y= 0 dans R
2. y00 + 2y0+ 4y= 0 dans C
3. y00 −y0+ (1 + i)y= 0
4. y00 −y0−2y=x2−xavec y(0) = 0 et
y0(0) = 1
5. y00 −4y0+ 4y=e2x
6. y00 + 2y0+y= shx
7. y00 + 4y= sin(x) + sin(2x)
8. y00 −3y0+ 2y=excos x
9. y00 +y= cos3x
1
Mathématiques 1TSI
Lycée d’Excellence de Benguérir Etablissement privé
Ouhattoba Hassan
Prof: 2021/2022

Exercice 7
D´eterminer les solutions de y00 + 2iy = 0 valant 1 en 0 et de limite nulle en +∞.
Exercice 8
R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante : y00 +y=|x|+ 1.
Exercice 9
Soit xet ydes fonctions de la variable t. R´esoudre les syst`eme diff´erentiels suivants :
1. x0=y+t2
y0=x−t22. x0=−7x+y+ 1
y0=−2x−5y3. x0= 2tx −y+tcos(t)
y0=x+ 2ty +tsin(t)
On pourra poser u=x+yet v=x−ypour le syst`eme 1, trouver une ´equation diff´erentielle du
second ordre satisfaite par xpour le syst`eme 2, et poser u=x+iy pour le syst`eme 3.
Exercice 10
On consid`ere sur R∗
+l’´equation diff´erentielle d’Euler (E) : at2y00 +bty0+cy =f(t), o`u a, b, c ∈R
(a6= 0) et fune fonction continue de ]0,+∞[ dans R.
1. Posons z(x) = y(ex). Montrer que yest solution de (E) si et seulement si zest solution d’une
´equation diff´erentielle du second ordre `a coefficients constants en la variable x.
2. R´esoudre l’´equation d’Euler t2y00 +ty0+y= cos(2 ln(t)) pour t > 0.
3. R´esoudre l’´equation d’Euler t2y00 −2ty0+ 2y= 2t3sin(2t) pour t > 0.
Exercice 11
R´esoudre l’´equation suivante sur ] −1,1[ :
(1 −x2)y00 −xy0+y= 0.
On pourra poser x= sin(t).
Exercice 12
Soit (E) : (1 + x)y00 −2y0+ (1 −x)y= (1 + x)3ex,x∈R.
1. Montrer que x7→ exest une solution de l’´equation homog`ene associ´ee.
2. Soit yune solution de (E) et zd´efinie par y(x) = z(x)ex(on reconnait la m´ethode de variation de
la constante), montrer que yest solution de (E) si et seulement si zest solution d’une ´equation
diff´erentielle (E1) que l’on r´esoudra.
3. Donner les solutions de (E).
4. En utilisant la m´ethode mise en oeuvre pr´ec´edement, r´esoudre sur ]0,+∞[ l’´equation diff´erentielle
xy00 + 2(x+ 1)y0+ (x+ 2)y= 0 en notant que x7→ 1
xest solution de de cette ´equation.
2

Exercice 13
On consid`ere une solution yde l’´equation diff´erentielle ty00 −2y0−ty = 0 avec t > 0.
1. Montrer que yest ind´efiniment d´erivable pour tout t > 0.
2. En d´erivant cette ´equation, montrer que yv´erifie une ´equation diff´erentielle lin´eaire du 4eordre
`a coefficients constants.
3. En raisonnant comme pour les ´equation du second ordre `a coefficients constants, r´esoudre cette
´equation et en d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle initiale.
Exercice 14
On consid`ere une fonction ind´efiniment d´erivable f: [0, π/2] →Ret l’´equation y00 +y=f(x). On
cherche les solutions ysur [0, π/2] v´erifiant y(0) = y(π/2) = 0 et on pose `a cet effet :
F(x) = −cos(x)Zx
0
f(t) sin(t)dt + sin(x)Zx
π/2
f(t) cos(t)dt.
1. Pr´eciser les solutions de l’´equation diff´erentielle y00 +y= 0 v´erifiant y(0) = y(π/2) = 0.
2. On envisage ici les deux cas particulier f(x) = 1 et f(x) = x.
Exprimer dans ces deux cas F(x) sans symbole int´egral, puis F00 (x) + F(x).
En d´eduire dans ces deux cas les solutions yde y00 +y=f(x) telles que y(0) = y(π/2) = 0
3. On revient au cas g´en´eral. Montrer que Fest deux fois d´erivable, expliciter F0(x) et F00 (x), puis
exprimer F00(x) + F(x) en fonction de f(x).
En d´eduire les solutions yde y00 +y=f(x) telles que y(0) = y(π/2) = 0.
Exercice 15
Soit fune fonction de classe C2sur R. On d´efinit φpar φ(x) = f(x)−Zx
0
(x−t)f(t)dt.
1. Montrer que φest C2sur Ret calculer φ00 .
2. Donner l’ensemble des fonctions C2satisfaisant ∀x∈R,f(x)−Zx
0
(x−t)f(t)dt =x2.
Exercice 16
On consid`ere une fonction yde classe C1de Rdans Rtelle que :
∀t∈R, y0(t) = exp(at)y(−t)
avec a∈Rfix´e.
1. Montrer que yest ind´efiniment d´erivable sur R.
2. Montrer que yv´erifie une ´equation diff´erentielle du second ordre `a coefficients constants.
3. En d´eduire toutes les fonctions yde classe C1qui v´erifient la relation pr´ec´edente sur R.
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