Étude d'une fonction trigonométrique : Exercice Terminale S

- Terminale S -
© Marilyn Zago 2014 – www.cours-maths-avignon.com
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M ETHODE : E TUDIER UNE FONCTION TRIGONOMETRIQUE
On considère la fonction  définie sur  par   
1) Etudier la parité de 
2) Démontrer que est périodique de période 
3) Etudier les variations de  sur 
4) Déduire des questions précédentes la représentation graphique de la fonction 
1) Étude de la parité de  :
Pour tout réel ,   
Donc, puisque la fonction cosinus est paire, pour tout réel x,   .
Ainsi, f est paire.
2) Étude de la périodicité de  :
Pour tout réel ,            . Or la fonction cosinus
est  - périodique, donc pour tout réel ,    .
D'où pour tout réel ,    . On en déduit que  est périodique de période.
3) Étude des variations de  :
Pour cela, étudions la dérivabilité de .
La fonction   est une fonction affine, donc dérivable sur  . Ainsi, la fonction
   est dérivable sur . Par conséquent, . est dérivable sur  et pour tout réel,
 !" .
Si  # $%&' alors 2 # $%', donc () * %, d’où   + %
Par suite, f est décroissante sur $%&'.
4) Tableau de valeurs :

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On peut ainsi construire la courbe représentant  sur $%
,
-
' puis  étant paire, par symétrie par
rapport à l’axe des ordonnées, on construit la courbe sur $
,
-
%'.
Enfin, on utilise la périodicité de  pour tracer le reste de la courbe (en appliquant des translations de
vecteur./0, où k est un entier relatif).