- Terminale S -
© Marilyn Zago 2014 – www.cours-maths-avignon.com
1
M
ETHODE
:
E
TUDIER UNE FONCTION TRIGONOMETRIQUE
On considère la fonction définie sur par
1) Etudier la parité de
2) Démontrer que est périodique de période
3) Etudier les variations de sur
4) Déduire des questions précédentes la représentation graphique de la fonction
1) Étude de la parité de :
Pour tout réel ,
Donc, puisque la fonction cosinus est paire, pour tout réel x, .
Ainsi, f est paire.
2) Étude de la périodicité de :
Pour tout réel , . Or la fonction cosinus
est - périodique, donc pour tout réel , .
D'où pour tout réel , . On en déduit que est périodique de période.
3) Étude des variations de :
Pour cela, étudions la dérivabilité de .
La fonction est une fonction affine, donc dérivable sur . Ainsi, la fonction
est dérivable sur . Par conséquent, . est dérivable sur et pour tout réel,
!" .
Si # $%&' alors 2 # $%', donc () * %, d’où + %
Par suite, f est décroissante sur $%&'.
4) Tableau de valeurs :
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On peut ainsi construire la courbe représentant sur $%
,
-
' puis étant paire, par symétrie par
rapport à l’axe des ordonnées, on construit la courbe sur $
,
-
%'.
Enfin, on utilise la périodicité de pour tracer le reste de la courbe (en appliquant des translations de
vecteur./0, où k est un entier relatif).
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/
3
100%
