1 - Terminale S - METHODE : ETUDIER UNE FONCTION TRIGONOMETRIQUE définie sur ℝ par On considère la fonction = − 1) Etudier la parité de 2) Démontrer que est périodique de période 3) Etudier les variations de sur ; 4) Déduire des questions précédentes la représentation graphique de la fonction 1) Étude de la parité de : Pour tout réel , − = cos −2 −1 Donc, puisque la fonction cosinus est paire, pour tout réel x, − = cos 2 − 1. Ainsi, f est paire. 2) Étude de la périodicité de : Pour tout réel , + = cos 2 + − 1 = cos 2 + 2 − 1. Or la fonction cosinus est 2 - périodique, donc pour tout réel , cos 2 + 2 = cos 2 . D'où pour tout réel , 3) Étude des variations de + = . On en déduit que est périodique de période . : Pour cela, étudions la dérivabilité de . La fonction → 2 est une fonction affine, donc dérivable sur ℝ . Ainsi, la fonction → 2 est dérivable sur ℝ. Par conséquent, . est dérivable sur ℝ et pour tout réel , ′ = − 2 !" 2 . Si ∈ [0 ; /2] alors 2 ∈ [0 ; ], donc sin 2 Par suite, f est décroissante sur [0 ; /2]. ≥ 0, d’où ′ ≤0 4) Tableau de valeurs : © Marilyn Zago 2014 – www.cours-maths-avignon.com 2 On peut ainsi construire la courbe représentant - Terminale S , sur [0 ; - ] puis rapport à l’axe des ordonnées, on construit la courbe sur étant paire, par symétrie par , [− ; 0]. - Enfin, on utilise la périodicité de pour tracer le reste de la courbe (en appliquant des translations de vecteur . /0, où k est un entier relatif). © Marilyn Zago 2014 – www.cours-maths-avignon.com
