°°TDS ANALYSE4 SMA3 FSM-MEKNES 20-21

SMA3 ANALYSE 4
TDs+CORRECTION 20-21
FSM MEKNES
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COURS DE SOUTIEN
SMPC SMAI ENSAM ENSA FST
Résumé des cours, corrigé des exercices et
des examens, pour les étudiants niveau
universitaire
PHYSIQUE CHIMIE
MATH : INFORMATIQUE
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Université Moulay Ismail Année universitaire 2020-2021
Faculté des Sciences Meknès Filière SMA- S3
Département de Mathématiques Module Analyse IV
Série n◦1:Séries numériques
Exercice 1 (Sommes de séries).
1. On veut connaître la nature de la série n≥1
1
n(n+1)(n+2) et sa somme éventuelle.
a) Décomposer la fraction rationnelle 1
X(X+1)(X+2) en éléments simples.
b) En déduire une expression simple de SN=N
n=1
1
n(n+1)(n+2) . (procédé télescopique).
c) Montrer que la série est convergente et calculer sa somme S=
+∞
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2).
2. On étudie cette fois la série n≥0
n
2n.
a) En notant par exemple n= (n+ 1) −1, montrer que SN= 2SN+1 +1
2N−2.
b) En déduire que la série est convergente, de somme égale à 2.
3. On considère enfin la série n≥0
cos n
2n.
a) Notons SN=N
n=0
cos n
2net TN=N
n=0
sin n
2n.
Remarquer que SN+iTNest la somme des termes d’une suite géométrique.
b) En déduire que la suite (SN+iTN)N≥0est convergente, et calculer sa limite.
c) Montrer alors que
+∞
n=0
cos n
2n=4−2 cos 1 5−4 cos 1.
Exercice 2 (Natures de séries ). Préciser la nature de chacune des séries suivantes.
1.n≥0
1
√n+cos n; 2.n≥1
1
√n(n+ln n); 3.n≥0
2n2+3
n4−3; 4.n≥0
n!
3n
5.n≥1ln(nsin 1
n);6.n≥1
1
nln(n+3) ; 7.n≥1
(ln n)10
n3; 8.n≥1n21
n.
Exercice 3 (Natures de séries ). Préciser la nature de chacune des séries suivantes.
1.n≥2
(−1)n
ln n; 2.n≥1(−1)nsin 1 n; 3.n≥1(−1)ncos 1 n; 4.n≥1(arctan 1 n) sin n.
Exercice 4 (Valeur approchée). On considère la série n≥0(−1)n(√n2+ 1 −n).
1. Montrer qu’elle est convergente. On note Ssa somme.
2. Est-elle absolument convergente?
3. Soit S49 la somme des 50 premiers termes de la série. Majorer l’erreur d’approximation |S−S49|.
Exercice 5 (Equivalents de signes alternés).
On considère les deux suites (un)n≥1et (vn)n≥1définies par : un=(−1)n
√n,vn=(−1)n √n+1
n.
1. Montrer que ces deux suites sont équivalentes.
2. Montrer que les deux séries n≥1unet n≥1vnne sont cependant pas de même nature.
Exercice 6 (Facultatif).
Etudier la convergence de la série n≥1
(−1)n
√n+(−1)n.

1
x(x+ 1)(x+ 2) =a x+b x+ 1 +c x+ 2
a b c a x
1
(x+ 1)(x+ 2) =a+bx x+ 1 +cx x+ 2
x= 0 a=1
2
b c x + 1 x=−1
x+ 2 x=−2b=−1c=1
2
1
x(x+ 1)(x+ 2) =1 2
1
x−1 x+ 1 +1 2
1
x+ 2
1
x(x+ 1)(x+ 2) =1 21 x−1 x+ 1−1 21 x+ 1 −1 x+ 2
SN=
n=N
X
n=1 1
21 n−1 n+ 1−1 21 n+ 1 −1 n+ 2
=1
2"n=N
X
n=1
1
21 n−1 n+ 1−
n=N
X
n=1
1
21 n+ 1 −1 n+ 2#
n=N
X
n=1
1
21 n−1 n+ 1
n=N
X
n=1
1
21 n+ 1 −1 n+ 2
n=N
X
n=1
1
21 n−1 n+ 1=1 21−1 N+ 1

n=N
X
n=1
1
21 n+ 1 −1 n+ 2=1 21 2−1 N+ 2
SN=1
4−1 (N+ 1)(N+ 2)
lim
N→+∞(SN) = 1
4∈R
+∞
X
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2) =1 4
n= 0
SN+1 =
n=N+1
X
n=0
n
2n=
n=N+1
X
n=1
n
2n
n=k+ 1 n= 1 k= 0 n=N+ 1 k=N
SN+1 =
k=N
X
k=0
k+ 1
2k+1 =
k=N
X
k=0
k
2k+1 +
k=N
X
k=0
1
2k+1
2SN+1 =
k=N
X
k=0
k
2k+
k=N
X
k=0
1
2k
k=N
X
k=0
k
2k=SN
Pk=N
k=0
1
2k
1
2
k=N
X
k=0
1
2k=1−1
2N+1
1−1
2
= 2 −1
2N
2SN+1 =SN+ 2 −1
2N
SN= 2SN+1 +1
2N−2

SN+1 =
n=N+1
X
n=0
n
2n= n=N
X
n=0
n
2n!+N+ 1 2N+1
=SN+N+ 1
2N+1
2SN+1 = 2SN+ 2.N+ 1
2N+1 = 2SN+N+ 1 2N
SN= 2SN+1 +1
2N−2
= 2SN+N+ 1
2N+1 2N−2
SN= 2 −N+ 2
2N
lim
N→+∞N+ 1
2N= 0
lim
N→+∞SN= 2
SN+iTN=
n=N
X
n=0
cos(n) + isin(n)
2n=
n=N
X
n=0
ein
2n
=
n=N
X
n=0 ei
2n
N+ 1 ei
2n
SN+iTN=
1−ei
2N+1
1−ei
2
ei
2
=1
2<1
lim
N→+∞ei
2N+1
= 0