PC-Rayonnement-dipolaire

1
Rayonnement dipolaire (PC*)
I) Cadre de l’étude :
Définitions et notations :
O
x
y
z
A
i
(q
i
)
M
r = OM
(On peut rappeler la définition du moment dipolaire dans le cas d’un dipôle électrostatique, vue
en 1
ère
année, NPqp =
r
).
Le modèle proposé dans la suite, celui d’un dipôle rayonnant, correspond le plus souvent à
l’essentiel du rayonnement émis par les atomes.
Le rayonnement des antennes radios émettrices peut aussi être décrit comme celui de dipôles
rayonnants répartis le long de l’antenne.
Les molécules de l’atmosphère terrestre se comportent également comme des dipôles induits par
l’onde EM venant du Soleil. Etant accélérés (voir le cours sur les diélectriques), ils vont rayonner
dans tout l’espace (phénomène de diffusion de la lumière), ce qui expliquera la couleur bleue du
ciel par beau temps ainsi que la couleur rouge orangée du Soleil couchant.

2
(On aura alors
z
utptp
r
r
)()( = )
Zone de rayonnement :

3
Rappel sur le potentiel vecteur d’une distribution de courants :
Le potentiel d’une distribution volumique de courants est :
τ
π
µ
d
MA
c
MA
tAj
tMAA
i
i
i
D
),(
4
),(
)(
0
−
==
∫∫∫
r
rr
Pour une distribution filiforme, on utilise la correspondance l
r
r
iddj = τ :
l
r
rr
d
MA
c
MA
tAi
tMAA
i
i
i
D
),(
4
),(
)(
0
−
==
∫∫∫
π
µ
Le potentiel vecteur créé par un ensemble de charges ponctuelles sera :
0
( )
( , ) 4
i
i i
ii
A M
q v t
c
A M t A M
µ
π
−
=
∑
r
r
On se place loin de la distribution de charges, par conséquent :
i
A M OM r
≈ =
Par conséquent :
0 0
( ) 1
( , ) ( )
4 4
i i
i i
i i
r
q v t
d r
c
A M t q OA t
r r dt c
µ µ
π π
−
= = −
∑ ∑
r
r
Et finalement :
0 0
1 ( / )
( , ) ( )
4 4
dp r p t r c
A M t t
r dt c r
µ µ
π π
−
= − =
r r
&
r
Dans la suite, on suppose que le moment dipolaire est selon l’axe (Oz) : l’expression finale du
potentiel vecteur du dipôle rayonnant est ainsi :
0
( / )
( , )
4
z
p t r c
A M t u
r
µ
π
−
=
r
&
r
Potentiel électrique scalaire V :
Pour le déterminer, on utilise la jauge de Lorentz :
2
1
0
V
divA
c t
∂
+ =
∂
r
Pour calculer
divA
r
, on peut soit utiliser un formulaire soit utiliser la relation d’analyse vectorielle
suivante :
( ) . ( )
div fu u grad f fdivu
= +
uuuuur
r r r
Soit, ici (avec
0
z
divu
=
r
) :

4
0 0
( / ) ( / )
( ( , )) .
4 4
z z
p t r c p t r c
div A M t div u u grad
r r
µ µ
π π
− −
= =
uuuuur
r& &
r r
Soit :
0
( / )
( ( , )) .
4
z r
p t r c
div A M t u u
r r
µ
π
∂ −
=
∂
r&
r r
En remarquant que
1
r c t
∂ ∂
= −
∂ ∂
et que
. cos
z r
u u
θ
=
r r
, il vient :
( )
0
2
( / ) 1
( ( , )) ( / ) cos
4
p t r c
div A M t p t r c
r r r
µ
θ
π
− ∂
= − + −
∂
r&&
0
2
( / ) 1
( ( , )) ( / ) cos
4
p t r c
div A M t p t r c
r rc
µ
θ
π
−
= − − −
r&&&
On en déduit :
2
0
1 ( / ) 1
( / ) cos
4
V p t r c p t r c
t r rc
θ
πε
∂ −
= + −
∂ 
&&&
En intégrant (à une constante statique près) :
2
0
1 ( / ) 1
( / ) cos
4
p t r c
V p t r c
r rc
θ
πε
−
= + −
&
Lorsque le dipôle est statique :
2
0
1
cos
4
p
Vr
θ
πε
= 
On retrouve bien l’expression habituelle.
(
0
0
0
0
0
2
T
p
p
T
pp ≈==
π
ω
&
)

5
II) Détermination des champs EM (électrique et magnétique) :
1) Expression générale :
(Avec
c
r
tt −=' )
(On note que :
t
c
r
∂
∂
−=
∂
∂
1
et
ϕ
uuu
zr
r
r
r
−=∧ )