Chap5

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Chapitre 5
Dipôles électrostatiques
Contents
5.1 Dipôle - Moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Potentiel et champ électrostatiques créés par un dipôle . . . . . . . . . . . 30
5.3 Lignes de champ et équipotentielles d’un dipôle électrostatique . . . . . . 32
5.1 Dipôle - Moment dipolaire
Il existe dans la nature des systèmes globalement neutres électriquement mais dont le centre de gravité
des charges négatives n’est pas confondu avec celui des charges positives. Un tel système peut souvent
être décrit (on dit modélisé) en première approximation par deux charges électriques ponctuelles,
`qet ´qsituées à une distance dl’une de l’autre. On appelle un tel système de charges un dipôle
électrostatique.
La distance dséparant les barycentres des deux charges étant petite par rapport aux dimensions
auxquelles on étudie les effets (champ et potentiel créés par ces deux charges) produits par le dipôle.
On caractérise un dipôle électrostatique par son moment dipolaire
ÝÑ
p“qÝÝÑ AB (5.1)
A
- q q
B
d
p
Le moment dipolaire est dirigé conventionnellement de la charge négative vers la charge positive. Il
s’exprime dans le système M.K.S.A. en Coulomb¨mètre pC¨mq. Cette unité de système international
est souvent mal adaptée. En chimie, où la notion de moment dipolaire est très importante, on utilise
comme unité de mesure le Debye pDqqui correspond à l’ordre de grandeur habituellement rencontré

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pour les molécules :
1D“1
310´29C¨m(5.2)
Les molécules telles que HCl pp“1,1Dq,H2Opp“1,85 Dq, constituent des exemples de dipôles
électrostatiques.
Si la distance séparant les deux charges est invariable, le dipôle est dit permanent. Dans pareil cas la
norme du moment dipolaire ÝÑ pest une constante.
5.2 Potentiel et champ électrostatiques créés par un dipôle
5.2.1 Potentiel électrostatique créé par un dipôle
Soit le dipôle p´q, `qqavec ´qplacée en Aet `qplacée en B.Oétant le milieu de rABset Ox l’axe
polaire porté par pABqet orienté de Avers B. Soit un point Mrepéré par ses coordonnées polaires :
r“OM φ “ pÝÝÑ OM, ÝÑ Oxq
l’approximation dipolaire suppose que rąą d.
A
- q q
B
d
O
M
r
ϕx
Le potentiel V(M) créé par le dipôle en M est égale à :
VpMq “ 1
4πϵ0
´q
AM `1 4πϵ0
q
BM (5.3)
“q
4πϵ0ˆ1 BM ´1 AM ˙
or ÝÝÑ
BM “ÝÝÑ BO `ÝÝÑ OM “ÝÝÑ OM ´ÝÝÑ OB (5.4)
En développant 1la distance BM au premier ordre suivant l’infiniment petit d
r, on obtient :
BM “ˆd2
4´d r cos φ`r2˙
1
2
“rˆ1´d
rcos φ`d2 4r2˙
1
2
“rˆ1´d
2rcos φ˙(5.5)
1. Au premier ordre, p1`ϵqn“1`nϵ avec ϵăă 1
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de même, en procédant de la même façon, on aura pour AM :
AM “ˆd2
4`.rcos φ`r2˙
1
2
“rˆ1`d
rcos φ`d2 4r2˙
1
2
“rˆ1`d
2rcos φ˙(5.6)
En introduisant ces termes dans l’expression du potentiel, nous obtenons :
VpMq « q
4πϵ0r«ˆ1´d rcos φ˙´1
´ˆ1`d
rcos φ˙´1ff(5.7)
«q
4πϵ0r„ˆ1`d 2rcos φ˙´ˆ1´d 2rcos φ˙ȷ
Soit finalement :
VpMq “ qd cos φ
4πϵ0r2“pcos φ 4πϵ0r2“
ÝÑ
pÝÑ r
4πϵ0r3(5.8)
Le potentiel dipolaire est en 1{r2et non pas en 1{rcomme le potentiel d’une charge ponctuelle. En
effet, la charge globale d’un dipôle — deux charges égales de signes opposés — est nulle. Les termes
monopolaires — relatifs à une seule charge et en 1{rpour le potentiel — sont donc opposés et s’annulent
mutuellement. C’est la raison pour laquelle on cherche un premier terme non nul, du deuxième ordre
en 1{r, pour exprimer le potentiel dipolaire à grandes distances.
5.2.2 Champ électrostatique créé par un dipôle
Le calcul direct du champ électrostatique est long et fastidieux, cependant, il peut être déduit de la
relation ÝÑ EpMq “ ´ÝÝÑ grad V pMq. En coordonnées polaires, les composantes du vecteur champ électro-
statique créé par un dipôle en un point situé à une distance rprąą dqde son centre sont :
ÝÑ
EpMq“´ÝÝÑ grad V pMq“´BVpMq
Br
ÝÑ
er´1
r
BVpMq
Bφ
ÝÑ
eφ(5.9)
d’où :
Er“ ´BVpMq
Br“ ´ B Brˆpcos φ 4πϵ0r2˙“ˆ2pcos φ 4πϵ0r3˙(5.10)
Eφ“ ´1
r
BVpMq
Bφ“ ´1 r
B
Bφˆpcos φ 4πϵ0r2˙“ˆpsin φ 4πϵ0r3˙
Le module du champ est donc :
E“bE2
r`E2 φ“ˆp
4πϵ0r3˙a3 cos2φ`1(5.11)
Nous constatons qu’à grande distance, le champ électrostatique du dipôle varie en 1
r3, il décroît donc
plus rapidement avec la distance que le champ en 1
r2d’une charge ponctuelle, ceci s’explique par le fait
que les effets des deux charges opposées en un point éloigné de celles-ci tendent à se compenser.
5.2.2.1 Les positions principales de Gauss
On appelle positions principales de Gauss, les positions de Mpour lesquelles ÝÑ Eest colinéaire à ÝÑ p. On
distingue quatre positions possibles de M:φ“0,π
2,πet 3π 2. En posant E0“2p 4πϵ0r3, on obtient :
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φ0π
2π3π 2
ErE00´E00
Eφ0E0
20´E0 2
5.3 Lignes de champ et équipotentielles d’un dipôle électrosta-
tique
Lignes de champ : Les composantes du champ sont exprimées en coordonnées polaires, les lignes
de champ électrostatique dipolaire sont données par la relation différentielle :
dr
Erpr, φ, zq“rdφ Eφpr, φ, zq(5.12)
soit : dr
´2pcos φ
4πϵ0r3¯“rdφ
´psin φ
4πϵ0r3¯(5.13)
ou encore, après séparation des variables :
dr
r“2 cos φdφ sin φ“2dpsin φq sin φ(5.14)
Après intégration on obtient :
r“Ksin2φ(5.15)
C’est l’équation polaire des lignes de champ d’un dipôle. rest une longueur, donc Kest forcément une
constante positive. A chaque valeur de cette constante correspond une ligne de champ.
Surfaces équipotentielles : Dans un plan défini par les variable ret φ, une surface équipotentielle
est l’ensemble de points tels que VpMq “ V0où V0est une constante, soit :
V0“pcos φ
4πϵ0r2(5.16)
On obtient alors :
r2“kcos φavec k“p
4πϵ0
V0(5.17)
C’est l’équation polaire des lignes équipotentielles. kest une constante, positive si ´π{2ăφăπ{2et
négative si π{2ăφă3π{2, à chaque valeur de kcorrespond une ligne équipotentielle.
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Figure 5.1 – Représentation des lignes de champ et des équipotentielles du dipôle ponctuel
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