Le dipôle oscillant-Rayonnement dipolaire I- Champ électromagnétique rayonné : Considérons un dipôle constitué de deux charges ponctuelles, −𝑞 fixe placée à l’origine du repère ℛ(𝑂𝑥𝑦𝑧) et une charge +𝑞 qui oscille le long de l’axe 𝑂𝑧 : on parle alors de dipôle oscillant. 𝑧 𝑒⃗𝑟 𝑀 𝜃 Le mouvement de la charge +𝑞 est supposé sinusoïdal. Sa position est donnée par : +𝑞 𝑧 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) −𝑞 𝑒⃗𝜑 𝑒⃗𝜃 𝑝⃗ 𝑦 0 𝜑 Cherchons la structure de l’onde 𝑥 électromagnétique émise (=rayonnée) par ce dipôle oscillant en tout point 𝑀 de l’espace et en particulier dans la zone de rayonnement définie par 𝑟 ≫ 𝜆 telle que 𝜆 est la longueur d’onde de l’onde rayonnée. Le potentiel électromagnétique 𝐴⃗ est donné, dans l’approximation dipolaire (𝑟 ≫ 𝑎), par : 𝐴⃗(𝑀, 𝑡) = En notation complexe 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⇒ 𝜇0 𝑞𝑣(𝑡 − 𝑟/𝑐) 𝑒⃗𝑧 4𝜋 𝑟 𝑣(𝑡) = 𝑖𝜔𝑎𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⇒ 𝑟 𝑣(𝑡 − 𝑟/𝑐) = 𝑖𝜔𝑎𝑒 𝑖𝜔(𝑡−𝑐) Remarque : si la charge +𝑞 a un mouvement non relativiste alors sa vitesse ≪ 𝑐 , ce qui se traduit par 𝑎𝜔 = 𝑎2𝜋𝑐/𝜆 ≪ 𝑐 càd 𝜆 ≫ 𝑎 Le moment dipolaire du dipôle est donné par 𝑝⃗ = 𝑞𝑧(𝑡)𝑒⃗𝑧 = 𝑞𝑎𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑧 = 𝑝0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑧 ⇒ 𝐴⃗(𝑀, 𝑡) = 𝑖𝜇0 𝜔 𝑝0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑒⃗𝑧 4𝜋 𝑟 en posant 𝑘 = 𝜔/𝑐 Le potentiel scalaire 𝑉 est lié au potentiel vecteur 𝐴⃗ par la jauge de Lorentz : M.OUAAQIL Cours de physique-MP 120 𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ + 1 𝜕𝑉 =0 𝑐 2 𝜕𝑡 ⇒ 𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ + 𝑖𝜔 𝑉=0 𝑐2 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑖𝑣 ( 𝑒⃗𝑧 ) = 𝑒⃗𝑧 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( )+( ) 𝑑𝑖𝑣( 𝑒⃗𝑧 ) 𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝑖𝑣( 𝑒⃗𝑧 ) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 −𝑖𝑘 1 −𝑖𝑘𝑟 )=( − 2) 𝑒 𝑒⃗𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑉(𝑀, 𝑡) = 𝑒𝑡 𝑒⃗𝑟 . 𝑒⃗𝑧 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ⇒ 𝑝0 𝑐𝑜𝑠(𝜃) (1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 4𝜋𝜀0 𝑟 2 ⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = ∇ ⃗⃗ ∧ 𝐴⃗(𝑀, 𝑡) 𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗∇⃗ ∧ ( 𝑒⃗𝑧 ) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) ∧ 𝑒⃗𝑧 + ( ) ⃗∇⃗ ∧ 𝑒⃗𝑧 𝑟 𝑟 𝑟 ⃗⃗ ∧ 𝑒⃗𝑧 = ⃗⃗ ∇ 0 et 𝑒⃗𝑟 ∧ 𝑒⃗𝑧 = −𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒⃗𝜑 ⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉(𝑀, 𝑡) − 𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = M.OUAAQIL ⇒ 𝑖𝜇0 𝜔𝑝0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) (1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑒⃗𝜑 4𝜋𝑟 2 𝜕𝐴⃗(𝑀, 𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉(𝑀, 𝑡) − 𝑖𝜔𝐴⃗(𝑀, 𝑡) = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜕𝑡 𝑝0 [2(1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑒⃗𝑟 + (1 + 𝑖𝑘𝑟 − 𝑘 2 𝑟 2 )𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒⃗𝜃 ]𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 3 4𝜋𝜀0 𝑟 Cours de physique-MP 121 Remarque : ⃗⃗ (𝑀, 𝑡) est perpendiculaire au plan (𝑀, 𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗𝜃 ) et i- Par des considérations de symétrie 𝐵 𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) est contenu dans ce plan. ii- Si 𝜔 ⟶ 0 (donc 𝑘 ⟶ 0) on retrouve le résultat du régime statique : ⃗⃗ (𝑀) = ⃗0⃗ 𝑒𝑡 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 𝐵 𝑝0 [2 𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑒⃗𝑟 + 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒⃗𝜃 ] 4𝜋𝜀0 𝑟 3 Dans la zone de rayonnement définie par 𝑟 ≫ 𝜆 = 2𝜋/𝑘 électromagnétique prend la forme simplifiée suivante : ⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐵 càd 𝑘𝑟 ≫ 1 le champ −𝑘𝜇0 𝜔𝑝0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑒 𝑒⃗𝜑 4𝜋𝑟 𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = −𝑘 2 𝑝0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑒 𝑒⃗𝜃 4𝜋𝜀0 𝑟 Cette onde n’est ni plane ni sphérique, mais localement a la structure d’une onde plane. En ⃗⃗ = 𝑘𝑒⃗𝑟 on retrouve certaines propriétés des OPPM dans le vide : effet, en posant 𝑘 ⃗⃗ ⊥ 𝐸⃗⃗ 𝑘 ; ⃗⃗ ⊥ 𝐵 ⃗⃗ ; 𝑘 ⃗⃗ , 𝐸⃗⃗ , 𝐵 ⃗⃗ | et (𝑘 ⃗⃗ ) forme un trièdre direct. |𝐸⃗⃗ | = 𝑐|𝐵 Remarque : Le dipôle ne rayonne pas de façon isotrope dans tout l’espace. En particulier il n’y a pas d’émission dans la direction d’oscillation du dipôle. II- Aspect énergétique : a- Vecteur de Poynting : En passant à la notation réelle : 2 ⃗⃗ ∧ 𝐵 ⃗⃗ |𝐸⃗⃗ | E 𝑅⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = = 𝑒⃗ 𝜇0 𝜇0 𝑐 𝑟 Et en valeur moyenne : M.OUAAQIL Cours de physique-MP 122 〈|𝑅⃗⃗ (𝑀)|〉 = 𝑝02 𝜔4 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) 32𝜋 2 𝜀0 𝑐 3 𝑟2 Remarque : i- 〈𝑅⃗⃗ (𝑀)〉 est proportionnelle à 𝜔4 ; ceci justifie l’utilisation des hautes fréquences dans le domaine des télécommunications (radio, TV…). Cette dépendance permet aussi d’expliquer pourquoi le ciel est bleu et le soleil couchant est rouge. iiiii- 〈𝑅⃗⃗ (𝑀)〉 est proportionnelle à 1/𝑟 2 . Plus on est loin du dipôle (≡ antenne dans le cas pratique) plus la puissance reçue est faible. 〈𝑅⃗⃗ (𝑀)〉 est proportionnelle à 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) : Le rayonnement du dipôle est anisotrope. En particulier 〈𝑅⃗⃗ (𝑀)〉 est maximale, par rapport à la variable 𝜃, dans toute direction perpendiculaire à la direction d’oscillation du dipôle. b- Diagramme de rayonnement : 〈|𝑅⃗⃗ (𝑀)|〉 = 𝑝02 𝜔4 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) 32𝜋 2 𝜀0 𝑐 3 𝑟2 Par rapport à la variable 𝜃, la valeur maximale de 〈𝑅⃗⃗ (𝑀)〉 est : 〈|𝑅⃗⃗ (𝑀)|〉𝑚𝑎𝑥 = 𝑝02 𝜔4 1 2 3 32𝜋 𝜀0 𝑐 𝑟 2 On pose : 𝜌= 〈|𝑅⃗⃗ (𝑀)|〉 = 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) 〈|𝑅⃗⃗ (𝑀)|〉𝑚𝑎𝑥 Le diagramme de rayonnement du dipôle consiste à tracer 𝜌(𝜃). 𝑧 𝑧 𝜃 𝑝⃗ O M.OUAAQIL 𝜽 𝜌 𝑝⃗ 𝝆 Cours de physique-MP 123 c- Puissance totale rayonnée : Cherchons la puissance moyenne 𝒫𝑚𝑜𝑦 rayonnée par le dipôle à travers une surface de rayon R, centrée sur le dipôle placé en O. 𝒫𝑚𝑜𝑦 = ∯ 〈|𝑅⃗⃗ (𝑀)|〉 𝑅2 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑑𝜃 𝑑𝜑 (𝑆) 𝒫𝑚𝑜𝑦 𝑝02 𝜔4 = 12𝜋𝜀0 𝑐 3 Cette puissance est constante (elle ne dépend pas de R) vu que le milieu de propagation qu’est le vide est un milieu non absorbant. Remarque : 𝒫𝑚𝑜𝑦 peut-être liée à l’accélération moyenne 〈|𝑎⃗|〉 de la charge +𝑞. On trouve alors une puissance moyenne proportionnelle à 〈|𝑎⃗|2 〉. Ce résultat peut-être généralisé : toute particule chargée en mouvement accéléré rayonne de l’énergie. C’est ce qu’on observe effectivement dans les grands accélérateurs de particules. M.OUAAQIL Cours de physique-MP 124