Dipole oscillant

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I- Champ électromagnétique rayonné :
Considérons un dipôle constitué de deux
charges ponctuelles,  fixe placée à
l’origine du repère  et une charge
 qui oscille le long de l’axe  : on parle
alors de dipôle oscillant.
Le mouvement de la charge  est supposé
sinusoïdal. Sa position est donnée par :
Cherchons la structure de l’onde
électromagnétique émise (=rayonnée) par
ce dipôle oscillant en tout point  de
l’espace et en particulier dans la zone de rayonnement définie par  telle que  est la
longueur d’onde de l’onde rayonnée.
Le potentiel électromagnétique 
 est donné, dans l’approximation dipolaire , par :
En notation complexe 
Remarque : si la charge  a un mouvement non relativiste alors sa vitesse  , ce qui se
traduit par  càd 
Le moment dipolaire du dipôle est donné par  
en posant 
Le potentiel scalaire  est lié au potentiel vecteur 
 par la jauge de Lorentz :
Le dipôle oscillant-Rayonnement dipolaire

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et  

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Remarque :
i- Par des considérations de symétrie 
 est perpendiculaire au plan  et
 est contenu dans ce plan.
ii- Si  (donc ) on retrouve le résultat du régime statique :
Dans la zone de rayonnement définie par  càd  le champ
électromagnétique prend la forme simplifiée suivante :
Cette onde n’est ni plane ni sphérique, mais localement a la structure d’une onde plane. En
effet, en posant   on retrouve certaines propriétés des OPPM dans le vide :
 forme un trièdre direct.
Remarque : Le dipôle ne rayonne pas de façon isotrope dans tout l’espace. En particulier il
n’y a pas d’émission dans la direction d’oscillation du dipôle.
II- Aspect énergétique :
a- Vecteur de Poynting :
En passant à la notation réelle :
Et en valeur moyenne :

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Remarque :
i- 
 est proportionnelle à  ; ceci justifie l’utilisation des hautes fréquences
dans le domaine des télécommunications (radio, TV…).
Cette dépendance permet aussi d’expliquer pourquoi le ciel est bleu et le soleil
couchant est rouge.
ii- 
 est proportionnelle à . Plus on est loin du dipôle ( antenne dans le
cas pratique) plus la puissance reçue est faible.
iii- 
 est proportionnelle à  : Le rayonnement du dipôle est anisotrope.
En particulier 
 est maximale, par rapport à la variable , dans toute
direction perpendiculaire à la direction d’oscillation du dipôle.
b- Diagramme de rayonnement :
Par rapport à la variable , la valeur maximale de 
 est :
On pose :
Le diagramme de rayonnement du dipôle consiste à tracer .
O

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c- Puissance totale rayonnée :
Cherchons la puissance moyenne  rayonnée par le dipôle à travers une surface de rayon
R, centrée sur le dipôle placé en O.
Cette puissance est constante (elle ne dépend pas de R) vu que le milieu de propagation qu’est
le vide est un milieu non absorbant.
Remarque :  peut-être liée à l’accélération moyenne  de la charge . On trouve
alors une puissance moyenne proportionnelle à .
Ce résultat peut-être généralisé : toute particule chargée en mouvement accéléré rayonne de
l’énergie. C’est ce qu’on observe effectivement dans les grands accélérateurs de particules.