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Dipole oscillant

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Le dipôle oscillant-Rayonnement dipolaire
I- Champ électromagnétique rayonné :
Considérons un dipôle constitué de deux
charges ponctuelles, −𝑞 fixe placée à
l’origine du repère ℛ(𝑂𝑥𝑦𝑧) et une charge
+𝑞 qui oscille le long de l’axe 𝑂𝑧 : on parle
alors de dipôle oscillant.
𝑧
𝑒⃗𝑟
𝑀
𝜃
Le mouvement de la charge +𝑞 est supposé
sinusoïdal. Sa position est donnée par :
+𝑞
𝑧 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
−𝑞
𝑒⃗𝜑
𝑒⃗𝜃
𝑝⃗
𝑦
0
𝜑
Cherchons la structure de l’onde
𝑥
électromagnétique émise (=rayonnée) par
ce dipôle oscillant en tout point 𝑀 de
l’espace et en particulier dans la zone de rayonnement définie par 𝑟 ≫ 𝜆 telle que 𝜆 est la
longueur d’onde de l’onde rayonnée.
Le potentiel électromagnétique 𝐴⃗ est donné, dans l’approximation dipolaire (𝑟 ≫ 𝑎), par :
𝐴⃗(𝑀, 𝑡) =
En notation complexe 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⇒
𝜇0 𝑞𝑣(𝑡 − 𝑟/𝑐)
𝑒⃗𝑧
4𝜋
𝑟
𝑣(𝑡) = 𝑖𝜔𝑎𝑒 𝑖𝜔𝑡
⇒
𝑟
𝑣(𝑡 − 𝑟/𝑐) = 𝑖𝜔𝑎𝑒 𝑖𝜔(𝑡−𝑐)
Remarque : si la charge +𝑞 a un mouvement non relativiste alors sa vitesse ≪ 𝑐 , ce qui se
traduit par 𝑎𝜔 = 𝑎2𝜋𝑐/𝜆 ≪ 𝑐 càd 𝜆 ≫ 𝑎
Le moment dipolaire du dipôle est donné par 𝑝⃗ = 𝑞𝑧(𝑡)𝑒⃗𝑧 = 𝑞𝑎𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑧 = 𝑝0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑧 ⇒
𝐴⃗(𝑀, 𝑡) =
𝑖𝜇0 𝜔 𝑝0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)
𝑒⃗𝑧
4𝜋
𝑟
en posant 𝑘 = 𝜔/𝑐
Le potentiel scalaire 𝑉 est lié au potentiel vecteur 𝐴⃗ par la jauge de Lorentz :
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120
𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ +
1 𝜕𝑉
=0
𝑐 2 𝜕𝑡
⇒
𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ +
𝑖𝜔
𝑉=0
𝑐2
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑖𝑣 (
𝑒⃗𝑧 ) = 𝑒⃗𝑧 𝑔𝑟𝑎𝑑 (
)+(
) 𝑑𝑖𝑣( 𝑒⃗𝑧 )
𝑟
𝑟
𝑟
𝑑𝑖𝑣( 𝑒⃗𝑧 ) = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
𝑔𝑟𝑎𝑑
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
−𝑖𝑘 1 −𝑖𝑘𝑟
)=(
− 2) 𝑒
𝑒⃗𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑉(𝑀, 𝑡) =
𝑒𝑡
𝑒⃗𝑟 . 𝑒⃗𝑧 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
⇒
𝑝0 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
(1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)
4𝜋𝜀0 𝑟 2
⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = ∇
⃗⃗ ∧ 𝐴⃗(𝑀, 𝑡)
𝐵
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗∇⃗ ∧ (
𝑒⃗𝑧 ) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 (
) ∧ 𝑒⃗𝑧 + (
) ⃗∇⃗ ∧ 𝑒⃗𝑧
𝑟
𝑟
𝑟
⃗⃗ ∧ 𝑒⃗𝑧 = ⃗⃗
∇
0
et
𝑒⃗𝑟 ∧ 𝑒⃗𝑧 = −𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒⃗𝜑
⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉(𝑀, 𝑡) −
𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = −𝑔𝑟𝑎𝑑
𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
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⇒
𝑖𝜇0 𝜔𝑝0 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
(1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑒⃗𝜑
4𝜋𝑟 2
𝜕𝐴⃗(𝑀, 𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉(𝑀, 𝑡) − 𝑖𝜔𝐴⃗(𝑀, 𝑡)
= −𝑔𝑟𝑎𝑑
𝜕𝑡
𝑝0
[2(1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑒⃗𝑟 + (1 + 𝑖𝑘𝑟 − 𝑘 2 𝑟 2 )𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒⃗𝜃 ]𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)
3
4𝜋𝜀0 𝑟
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Remarque :
⃗⃗ (𝑀, 𝑡) est perpendiculaire au plan (𝑀, 𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗𝜃 ) et
i- Par des considérations de symétrie 𝐵
𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) est contenu dans ce plan.
ii- Si 𝜔 ⟶ 0 (donc 𝑘 ⟶ 0) on retrouve le résultat du régime statique :
⃗⃗ (𝑀) = ⃗0⃗ 𝑒𝑡 𝐸⃗⃗ (𝑀) =
𝐵
𝑝0
[2 𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑒⃗𝑟 + 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒⃗𝜃 ]
4𝜋𝜀0 𝑟 3
Dans la zone de rayonnement définie par 𝑟 ≫ 𝜆 = 2𝜋/𝑘
électromagnétique prend la forme simplifiée suivante :
⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
𝐵
càd
𝑘𝑟 ≫ 1 le champ
−𝑘𝜇0 𝜔𝑝0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)
𝑒
𝑒⃗𝜑
4𝜋𝑟
𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
−𝑘 2 𝑝0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)
𝑒
𝑒⃗𝜃
4𝜋𝜀0 𝑟
Cette onde n’est ni plane ni sphérique, mais localement a la structure d’une onde plane. En
⃗⃗ = 𝑘𝑒⃗𝑟 on retrouve certaines propriétés des OPPM dans le vide :
effet, en posant 𝑘
⃗⃗ ⊥ 𝐸⃗⃗
𝑘
;
⃗⃗ ⊥ 𝐵
⃗⃗ ;
𝑘
⃗⃗ , 𝐸⃗⃗ , 𝐵
⃗⃗ | et (𝑘
⃗⃗ ) forme un trièdre direct.
|𝐸⃗⃗ | = 𝑐|𝐵
Remarque : Le dipôle ne rayonne pas de façon isotrope dans tout l’espace. En particulier il
n’y a pas d’émission dans la direction d’oscillation du dipôle.
II- Aspect énergétique :
a- Vecteur de Poynting :
En passant à la notation réelle :
2
⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗⃗ |𝐸⃗⃗ |
E
𝑅⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
=
𝑒⃗
𝜇0
𝜇0 𝑐 𝑟
Et en valeur moyenne :
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⟨|𝑅⃗⃗ (𝑀)|⟩ =
𝑝02 𝜔4 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃)
32𝜋 2 𝜀0 𝑐 3
𝑟2
Remarque :
i-
⟨𝑅⃗⃗ (𝑀)⟩ est proportionnelle à 𝜔4 ; ceci justifie l’utilisation des hautes fréquences
dans le domaine des télécommunications (radio, TV…).
Cette dépendance permet aussi d’expliquer pourquoi le ciel est bleu et le soleil
couchant est rouge.
iiiii-
⟨𝑅⃗⃗ (𝑀)⟩ est proportionnelle à 1/𝑟 2 . Plus on est loin du dipôle (≡ antenne dans le
cas pratique) plus la puissance reçue est faible.
⟨𝑅⃗⃗ (𝑀)⟩ est proportionnelle à 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) : Le rayonnement du dipôle est anisotrope.
En particulier ⟨𝑅⃗⃗ (𝑀)⟩ est maximale, par rapport à la variable 𝜃, dans toute
direction perpendiculaire à la direction d’oscillation du dipôle.
b- Diagramme de rayonnement :
⟨|𝑅⃗⃗ (𝑀)|⟩ =
𝑝02 𝜔4 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃)
32𝜋 2 𝜀0 𝑐 3
𝑟2
Par rapport à la variable 𝜃, la valeur maximale de ⟨𝑅⃗⃗ (𝑀)⟩ est :
⟨|𝑅⃗⃗ (𝑀)|⟩𝑚𝑎𝑥 =
𝑝02 𝜔4
1
2
3
32𝜋 𝜀0 𝑐 𝑟 2
On pose :
𝜌=
⟨|𝑅⃗⃗ (𝑀)|⟩
= 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃)
⟨|𝑅⃗⃗ (𝑀)|⟩𝑚𝑎𝑥
Le diagramme de rayonnement du dipôle consiste à tracer 𝜌(𝜃).
𝑧
𝑧
𝜃
𝑝⃗
O
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𝜽
𝜌
𝑝⃗
𝝆
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c- Puissance totale rayonnée :
Cherchons la puissance moyenne 𝒫𝑚𝑜𝑦 rayonnée par le dipôle à travers une surface de rayon
R, centrée sur le dipôle placé en O.
𝒫𝑚𝑜𝑦 = ∯ ⟨|𝑅⃗⃗ (𝑀)|⟩ 𝑅2 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑑𝜃 𝑑𝜑
(𝑆)
𝒫𝑚𝑜𝑦
𝑝02 𝜔4
=
12𝜋𝜀0 𝑐 3
Cette puissance est constante (elle ne dépend pas de R) vu que le milieu de propagation qu’est
le vide est un milieu non absorbant.
Remarque : 𝒫𝑚𝑜𝑦 peut-être liée à l’accélération moyenne ⟨|𝑎⃗|⟩ de la charge +𝑞. On trouve
alors une puissance moyenne proportionnelle à ⟨|𝑎⃗|2 ⟩.
Ce résultat peut-être généralisé : toute particule chargée en mouvement accéléré rayonne de
l’énergie. C’est ce qu’on observe effectivement dans les grands accélérateurs de particules.
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