Applications du PGCD et du PPCM

1er Conséquence ( Théorème d’Euclide )
3ème séance
III) THÉORÈME DE GAUSS
Théorème ( de Gauss )
Soient a , b et c trois relatifs non nuls . Si a divise le produit bc et si a est premier
avec b , alors il divise c .
Soient a et b des relatifs non nuls et p un nombre premier . Si p divise le produit ab
alors p divise a ou p divise b .
Si p divise a, le résultat est établi .
Si p ne divise pas a, alors PGCD ( a ; p ) = 1 puisque les seuls diviseurs positifs
Les entiers a et b sont premiers entre eux . Il existe donc ( d’après le théorème
de Bézout ) des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 .
de l’entier p sont 1 et p . Autrement dit, p est premier avec a . Or, p divise
l’entier ab . D’après le théorème de Gauss, p divise nécessairement b .
En multipliant les deux membres de cette égalité par c on obtient
acu + bcv = c . D’une part, a divise bc donc divise bcv . D’autre part, a divise
acu ( immédiat ) . On en déduit que a divise acu + bcv c'est-à-dire c .
2ème Conséquence
Remarque . Il est essentiel de vérifier que a est premier avec b car a peut diviser bc
en ne divisant ni b, ni c . Par exemple : 300 = 15 × 20 ; or 6 divise 300 et pourtant
6 ne divise ni 15, ni 20 .
Puisque b divise a, il existe un relatif d tel que a = db . Puisque c divise a, il
existe de même un relatif d’ tel que a = d ' c . D’où db = d ' c .
NOTES PERSONNELLES
L’entier c divise d ' c donc c divise db . Or, c est premier avec b . Donc c divise d,
d’après le théorème de Gauss . Il existe un entier relatif d’’ tel que d = d '' c .
Soient a , b et c des relatifs non nuls . Si b et c sont premiers entre eux et divisent a
alors bc divise a .
La relation a = db devient a = d '' cb . D’où bc divise a .
1er exemple
Le nombre 1 573 875 est divisible par 5 ( car le chiffre des unités est 5 ) et par 9
( car la somme de ses chiffres, à savoir 36, est un multiple de 9 ) . Or 5 et 9 sont
premiers entre eux, donc 1 573 875 est divisible par 5 × 9 = 45 .
2ème exemple
Le produit de trois entiers naturels consécutifs, n ( n + 1)( n + 2 ) est divisible par 2
et par 3 ; ce produit est donc divisible par 6 puisque 2 et 3 sont premiers entre eux
EXERCICE → établir une divisibilité en utilisant le théorème de Gauss
EXERCICE → résoudre une équation diophantienne
n désigne un entier naturel et a = n ( 2n + 1)( 7n + 1) . Démontrer que 6 a .
a) Déterminer l’ensemble des solutions dans de l’équation 7 x = 11 y .
b) Vérifier que le couple ( x0 ; y0 ) = (13;8 ) est solution de l’équation, notée ( E )
Il est possible de dresser un tableau de congruences ( n ≡ 0 [ 6] , n ≡ 1[ 6] ,
n ≡ 2 [ 6] , n ≡ 3[ 6] , n ≡ 4 [ 6] et n ≡ 5[ 6] ) …
Cherchons une solution plus élégante ! On a 6 = 2 × 3 . Puisque 2 et 3 sont
premiers entre eux, il suffit de prouver que a est divisible par 2 et par 3 .
Pour tout entier naturel n, n ≡ 0 [ 2] ou n ≡ 1[ 2] . Si n ≡ 0 [ 2] , alors a ≡ 0 [ 2] .
7 x − 11 y = 3
c) En déduire l’ensemble des solutions dans de l’équation ( E ) .
a) Si 7 x = 11 y , alors 11 divise 7x ; or 7 et 11 sont premiers entre eux, donc le
théorème de Gauss permet d’affirmer que 11 divise x . Par conséquent, x = 11k
avec . Alors de 7 x = 11 y , on déduit que 7 × 11k = 11 y i.e. y = 7 k
Réciproquement, on vérifie aisément que, pour tout , l’équation 7 x = 11 y
Sinon n ≡ 1[ 2] et 7 n + 1 ≡ 8 [ 2] c'est-à-dire 7 n + 1 ≡ 0 [ 2] et a ≡ 0 [ 2] .
est satisfaite lorsque x = 11k et y = 7 k .
Pour tout entier naturel n, n ≡ 0 [3] , n ≡ 1[ 3] ou n ≡ 2 [3] .
Conclusion. Les solutions dans de l’équation 7 x = 11 y sont tous les couples de la
Si n ≡ 0 [3] , alors a ≡ 0 [3] . Si n ≡ 1[3] , alors 2n + 1 ≡ 3 [3] soit 2n + 1 ≡ 0 [ 3]
forme (11k ; 7 k ) où k est un entier relatif quelconque .
et a ≡ 0 [3] . Sinon n ≡ 2 [3] et 7 n + 1 ≡ 15 [3] soit 7 n + 1 ≡ 0 [ 3] et a ≡ 0 [3] .
EXERCICE ANALOGUE AU PRÉCÉDENT
(
)
n désigne un entier naturel et a = n n 2 + 5 . Démontrer que 6 a .
Si n est un entier pair, alors 2 divise n, donc a . Si n est impair, n 2 + 5 est pair,
donc 2 divise a .
2
Si n est multiple de 3, alors 3 divise a . Si n n’est pas multiple de 3, alors n ≡ 1[ 3]
2
donc n + 5 ≡ 0 [3] et 3 divise a .
L’entier a est divisible par 2 et 3 qui sont deux entiers premiers entre eux, donc a
est divisible par 2 × 3 = 6 .
b) 7 x0 − 11 y0 = 7 × 13 − 11 × 8 = 3 donc ( x0 ; y0 ) est solution de l’équation ( E )
c) Un couple ( x ; y ) est solution de ( E ) si, et seulement si, 7 x − 11 y = 3 , ce qui
équivaut à 7 x − 11y − ( 7 x0 − 11y0 ) = 3 − 3 = 0 soit 7 ( x − x0 ) = 11( y − y0 ) .
Compte tenu de la question a) , les solutions de ( E ) sont donc tous les couples
(x; y)
tels que x − x0 = 11k et y − y0 = 7 k ( avec ) , c'est-à-dire les
couples (13 + 11k ;8 + 7 k ) .