Applications du PGCD et du PPCM

3ème séance
III) THÉORÈME DE GAUSS
Théorème ( de Gauss )
Soient a , b et c trois relatifs non nuls . Si a divise le produit bc et si a est premier
avec b , alors il divise c .
Les entiers a et b sont premiers entre eux . Il existe donc ( d’après le théorème
de Bézout ) des entiers relatifs u et v tels que
1
au bv
+ =
.
En multipliant les deux membres de cette égalité par c on obtient
acu bcv c
+ =
. D’une part, a divise bc donc divise bcv . D’autre part, a divise
acu ( immédiat ) . On en déduit que a divise
acu bcv
+
c'est-à-dire c .
Remarque . Il est essentiel de vérifier que a est premier avec b car a peut diviser bc
en ne divisant ni b, ni c . Par exemple :
300 15 20
= ×
; or 6 divise 300 et pourtant
6 ne divise ni 15, ni 20 .
NOTES PERSONNELLES
1
er
Conséquence ( Théorème d’Euclide )
Soient a et b des relatifs non nuls et p un nombre premier . Si p divise le produit ab
alors p divise a ou p divise b .
Si p divise a, le résultat est établi .
Si p ne divise pas a, alors
(
)
; 1
PGCD a p
=
puisque les seuls diviseurs positifs
de l’entier p sont 1 et p . Autrement dit, p est premier avec a . Or, p divise
l’entier ab . D’après le théorème de Gauss, p divise nécessairement b .
2
ème
Conséquence
Soient a , b et c des relatifs non nuls . Si b et c sont premiers entre eux et divisent a
alors bc divise a .
Puisque b divise a, il existe un relatif d tel que
a db
=
. Puisque c divise a, il
existe de même un relatif d’ tel que
'
a d c
=
. D’où
'
db d c
=
.
L’entier c divise
'
d c
donc c divise
db
. Or, c est premier avec b . Donc c divise d,
d’après le théorème de Gauss . Il existe un entier relatif d’’ tel que
''
d d c
=
.
La relation
a db
=
devient
''
a d cb
=
. D’où bc divise a .
1
er
exemple
Le nombre 1 573 875 est divisible par 5 ( car le chiffre des unités est 5 ) et par 9
( car la somme de ses chiffres, à savoir 36, est un multiple de 9 ) . Or 5 et 9 sont
premiers entre eux, donc 1 573 875 est divisible par
5 9 45
× =
.
2
ème
exemple
Le produit de trois entiers naturels consécutifs,
(
)
(
)
1 2
n n n
+ +
est divisible par 2
et par 3 ; ce produit est donc divisible par 6 puisque 2 et 3 sont premiers entre eux

EXERCICE
→
établir une divisibilité en utilisant le théorème de Gauss
n désigne un entier naturel et
(
)
(
)
2 1 7 1
a n n n
= + +
. Démontrer que
6
a
.
Il est possible de dresser un tableau de congruences (
[
]
0 6
n≡
,
[
]
1 6
n≡
,
[
]
2 6
n≡
,
[
]
3 6
n≡
,
[
]
4 6
n≡
et
[
]
5 6
n≡
) …
Cherchons une solution plus élégante ! On a
6 2 3
= ×
. Puisque 2 et 3 sont
premiers entre eux, il suffit de prouver que a est divisible par 2 et par 3 .
Pour tout entier naturel n,
[
]
0 2
n≡
ou
[
]
1 2
n≡
. Si
[
]
0 2
n≡
, alors
[
]
0 2
a≡
.
Sinon
[
]
1 2
n≡
et
[
]
7 1 8 2
n+ ≡
c'est-à-dire
[
]
7 1 0 2
n+ ≡
et
[
]
0 2
a≡
.
Pour tout entier naturel n,
[
]
0 3
n≡
,
[
]
1 3
n≡
ou
[
]
2 3
n≡
.
Si
[
]
0 3
n≡
, alors
[
]
0 3
a≡
. Si
[
]
1 3
n≡
, alors
[
]
2 1 3 3
n+ ≡
soit
[
]
2 1 0 3
n+ ≡
et
[
]
0 3
a≡
. Sinon
[
]
2 3
n≡
et
[
]
7 1 15 3
n+ ≡
soit
[
]
7 1 0 3
n+ ≡
et
[
]
0 3
a≡
.
EXERCICE ANALOGUE AU PRÉCÉDENT
n désigne un entier naturel et
(
)
2
5
a n n
= +
. Démontrer que
6
a
.
Si n est un entier pair, alors 2 divise n, donc a . Si n est impair,
2
5
n
+
est pair,
donc 2 divise a .
Si n est multiple de 3, alors 3 divise a . Si n n’est pas multiple de 3, alors
[
]
2
1 3
n≡
donc
[
]
2
5 0 3
n+ ≡
et 3 divise a .
L’entier a est divisible par 2 et 3 qui sont deux entiers premiers entre eux, donc a
est divisible par
2 3 6
× =
.
EXERCICE
→
résoudre une équation diophantienne
a) Déterminer l’ensemble des solutions dans  de l’équation
7 11
x y
=
.
b) Vérifier que le couple
(
)
(
)
0 0
; 13;8
x y =
est solution de l’équation, notée
(
)
E
7 11 3
x y
− =
c) En déduire l’ensemble des solutions dans  de l’équation
(
)
E
.
a) Si
7 11
x y
=
, alors 11 divise
7
x
; or 7 et 11 sont premiers entre eux, donc le
théorème de Gauss permet d’affirmer que 11 divise
x
. Par conséquent,
11
x k
=
avec    . Alors de
7 11
x y
=
, on déduit que
7 11 11
k y
× =
i.e.
7
y k
=
Réciproquement, on vérifie aisément que, pour tout    , l’équation
7 11
x y
=
est satisfaite lorsque
11
x k
=
et
7
y k
=
.
Conclusion. Les solutions dans de l’équation
7 11
x y
=
sont tous les couples de la
forme
(
)
11 ; 7
k k
où k est un entier relatif quelconque .
b)
0 0
7 11 7 13 11 8 3
x y
− = × − × =
donc
(
)
0 0
;
x y
est solution de l’équation
(
)
E
c) Un couple
(
)
;
x y
est solution de
(
)
E
si, et seulement si,
7 11 3
x y
− =
, ce qui
équivaut à
(
)
0 0
7 11 7 11 3 3 0
x y x y
− − − = − =
soit
(
)
(
)
0 0
7 11
x x y y
− = −
.
Compte tenu de la question a) , les solutions de
(
)
E
sont donc tous les couples
(
)
;
x y
tels que
0
11
x x k
− =
et
0
7
y y k
− =
( avec    ) , c'est-à-dire les
couples
(
)
13 11 ;8 7
k k
+ +
.