A-1.2. REGIME SINUSOÏDAL I) Intérêt de l’étude du régime sinusoïdal Nous avons vu au chapitre précédent qu’un régime variable est souvent constitué d’une composante continue et d’une ondulation. On peut montrer que cette ondulation peut être décomposée en une somme de sinusoïdes appelées harmoniques (voir décomposition de Fourier). L’étude d’un signal périodique peut alors se ramener à l’étude de sa composante continue et des sinusoïdes qui le composent. En outre, en électrotechnique, on rencontre fréquemment des grandeurs « purement » sinusoïdales : La tension du secteur " EDF " est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 230V. II) GRANDEURS RELATIVES AU RÉGIME SINUSOÏDAL II.1) Expression temporelle Une grandeur sinusoïdale s(t) est représenté par l'expression : s(t) Smax sin t s Smax est l'amplitude (le signal varie de +Smax à –Smax) t est la variable représentant le temps en seconde est la pulsion en rad.s-1 φs est la phase à l'origine en radian (compatible avec t en radian). s(t) S max φs (rad) t (s) 0 -S max 2π (rad) Pulsation : La pulsation représente l'angle parcouru par la sinusoïde durant une seconde. La fréquence f représente le nombre de périodes effectuées durant une seconde. Sachant qu'une période T représente un angle de 2π rad, les relations entre , f et T sont : 2f rad.s-1 Hz 2 T rad.s-1 s Phase à l'origine :La phase à l'origine représente le décalage angulaire de la sinusoïde à l’origine. animation s(t) φ = 0° 0 s(t) t (s) 0 φ = 90° s(t) t (s) 0 φ = 180° s(t) t (s) φ = 270° 0 t (s) II.2) Valeur moyenne Une grandeur purement sinusoïdales s(t) est alternative, c'est-à-dire à valeur moyenne nulle, car l’aire balayée au dessus de zéro est égale à l’aire balayée en dessous de zéro (symétrie). A A 0 <s>= = =0 T T BTS électrotechnique Page 1 sur 9 II.3) Valeur efficace La valeur efficace est la "racine carrée de la valeur moyenne du carré". Si on exprime la valeur efficace de s(t) Smax sin t (cours sur l’intégration en math) on obtient : Seff S Smax 2 . Remarque : Dans la suite du cours, l'expression temporelle du signal sera : s(t) Smax sin t s S 2 sin t Application : La valeur efficace de la tension du "secteur" est de 230V ce qui donne une sinusoïde d'amplitude 230× 2 325 V. III) REPRÉSENTATION D'UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE Dipôle 1 Dipôle 2 III.1) Somme de deux grandeurs sinusoïdales u1 u2 Dans le circuit représenté ci-contre on a : u(t) = u1(t) + u2(t) u Effectuons la somme u1(t) + u2(t) des tensions en ajoutant point par point les deux sinusoïdes relatives à u1(t) et u2(t). u (en V) 6 Umax u1 (t) = 3 2sin 100πt u 2 (t) = 2 2sin 100πt - 2π/3 u On mesure sur le graphe : Umax 3,74V U 2,65V. 4 2 φu -40,9°. 0 -2 0 5 10 15 25 30 t (ms) 100π rad. -4 -6 20 φu Remarque : U1 + U2 = 3 + 2 = 5V ce qui est différent de U = 2,65V donc U U1 + U2 . φ1 + φ2 = 0 - 120 = -120 ce qui est différent de φ = -40,9° donc φ φ1 + φ2 . La la fréquence de u(t) est égale à la fréquence de u1(t) et de u2(t). Conclusion : On ne peut pas ajouter les valeurs efficaces ! On ne peut pas ajouter les phases à l'origine ! Connaissant u1(t) et u2(t), comment retrouver u(t) ? III.2) Vecteur tournant La représentation sinusoïdale se prête mal aux calculs mathématiques, nous allons voir qu'il est possible de représenter une telle grandeurs à l'aide d'un vecteur et d'un axe Ox comme repère de référence. y (ωt +φ) représente l’angle entre l’axe Ox et le M vecteur OM : lorsque t augmente l’angle augmente et le vecteur tourne. || OM || est le module (longueur)du vecteur, il est x (ωt + φ) O fixe. BTS électrotechnique Page 2 sur 9 Lorsque le vecteur fait un tour complet, sa projection sur l’axe des ordonnées décrit une sinusoïde. y 2 y = f(t) 1 3 0 12 4 t3+ 5 3T 4 T 2 11 x 6 T 12 t 3T 12 T 10 7 9 8 Conclusion : Un vecteur tournant est équivalent à une sinusoïde : animation III.3) Vecteur de Fresnel Définition : Le vecteur U associé au signal sinusoïdal u(t) est appelé vecteur de Fresnel et a les propriétés suivantes : L'angle orienté Ox, U est égal à la phase à l'origine φu de u(t) Sa longueur (norme) représente la valeur efficace U de u(t). Exemple : Soit la tension u(t) 12 2 sin 100t / 3 , le vecteur de Fresnel U associé est représenté ci-dessous : u(t) Umax 17V U Longeur =12V (3cm) t (ms) -5 5 15 φu 25 x φu = π/3 0 Echelle : 1cm 4V Somme de deux grandeurs sinusoïdales Reprenons l'exemple traité avec la méthode d'addition point par point : u1 (t) 3 2 sin 100t u 2 (t) 2 2 sin 100t 2 / 3 u(t) = u1(t) + u2(t). Traçons les vecteurs U1 et U 2 relatifs à u1(t) et u2(t) puis effectuons graphiquement la somme U U1 U2 (shéma ci-dessous avec 1cm 1V pour échelle) : U1 0 φu2 φu1 x Ensuite on mesure : Longueur U 2,65 cm soit U 2,65 V. Angle φu -41° soit φu -0,714 rad. U2 BTS électrotechnique U Page 3 sur 9 III.4) Nombres complexes Un nombre complexe représente un point dans le plan. Axe des imaginaires U = a + jb b On peut utiliser cette représentation à la place de la représentation vectorielle pour les sinusoïdes. Axe des réels 0 a III.4.a) Rappels de Mathématiques Le nombre complexe U = a + jb est composé d'une partie réelle a et d'une partie imaginaire b. j est le nombre tel que : j × j = -1 ou -j = 1 j La représentation vectorielle OM du nombre complexe permet d'illustrer ses propriétés : Axe des imaginaires Représentation cartésienne : U = a + jb M b = U sinφ Représentation polaire : U = [U, φ] = Uejφ U φ 0 a = U cosφ Axe des réels Relations : module U a 2 b2 a = U cos(φ) b argument = tan -1 (+ π si a < 0). a b = U sin(φ) donc b U = a 2 b2 ; tan -1 (+ si a < 0) = U cos(φ) + j U sin(φ) a animation Définition : Le nombre complexe U associé au signal sinusoïdal u(t) a les propriétés suivantes : Son module U représente la valeur efficace de u(t). Son argument φu représente la phase à l'origine de u(t). BTS électrotechnique Page 4 sur 9 Exemple : i(t) 5 2 sin t 3 / 4 . Le nombre complexe I associé à i(t) est : -3,54 0 I = [ 5A, -3π/4 ] (représentation polaire). 1cm -> 1A I I = 5 cos(-3π/4) + j 5 sin(-3π/4) I -3,54 – j 3,54 (représentation cartésienne). III.4.b) Somme de deux grandeurs sinusoïdales Reprenons l'exemple précédent : u1 (t) 3 2 sin 100t u 2 (t) 2 2 sin 100t 2 / 3 U1 = [ 3V, 0 ] = 3 cos(0) + j 3 sin(0) U1 = 3. U2 = [ 2V, -2π/3 ] = 2 cos(-2π/3) + j 2 sin(-2π/3) U2 -1 – j 1,7. U = U1 + U2 3 – 1 – j 1,73 = 2 – j 1,73 -3,54 u(t) = u1(t) + u2(t). U = [ U, φu ] avec U 22 1, 732 2,65 V. -1,73 et u = tan -1 -41°. animation 2 III.4.c) Produit de deux grandeurs complexes Prenons l'exemple suivant : Z 15 ; 30° ; i(t) 2 2 sin 100t 2 / 3 et u(t) = Z I. I = [ 2A, -120° ] = 2 cos(-120) + j 2 sin(-120) I = -1 – j 1,73. Z 15 ; 30° = 15 cos(30) + j 15 sin(30) = 13 + j 7,5 En cartésien : U = Z I = (13 + j 7,5) x (-1 – j 1,73) = 13 x –1 + j 13 x (-1,73) + j 7,5 x (-1) + j 7,5 x (– j 1,73) = -13 – j 22,5 – j 7,5 + 13 = - j 30 = [30 V ; -90 °] En polaire : U = Z I = 15 ; 30° [ 2A, -120°] = [15 2; 30 - 120] = [30 V ; -90 °] Donc en résumé : [Z1 ; φ1] [Z2 ; φ2] = [Z1 Z2 ; φ1 + φ2] III.4.d) division de deux grandeurs complexes Reprenons l'exemple précédent : Z 15 ; 30° ; u(t) 30 2 sin 100t / 2 et u(t) = Z I. Pour diviser des nombres complexes, on doit utiliser la forme polaire : U = [ 30 V, -90° ]. Z 15 ; 30° . U = [ 30 V, -90°] / 15 ; 30° = [ 30 / 15; -90 - 30] = [2 A ; -120 °] Z Donc en résumé : [Z1 ; φ1] / [Z2 ; φ2] = [Z1 / Z2 ; φ1 - φ2] Exercices vecteurs de Fresnel – nombres complexes 1. I= BTS électrotechnique Page 5 sur 9 IV) DÉPHASAGE DU COURANT PAR RAPPORT À LA TENSION IV.1) Etude d'un exemple Considérons le dipôle linéaire représenté ci-dessous dans lequel on a : π i(t) u(t) U 2 sin(t u ) avec u = 2 π et i(t) I 2 sin(t i ) avec i = 6 u(t) Dipôle u(t) animation i(t) U φ = φu - φ i t φu I 0 φu φi φi φ = φu - φi x 0 IV.2) Définition On appelle déphasage , la différence entre la phase à l'origine u de u et la phase à l'origine i de i. u i Ici, on a = u - i = π/2 – π/6 = π/3. Remarque : > 0 i est en "retard" par rapport à u. IV.3) Cas particuliers = 0 rad u(t) u et i en phase i(t) U φ = φu - φ i = 0 t φu0 φi φu φ = φu - φi I φi x 0 = π rad u(t) i(t) u et i en opposition de phase φu φi U φ = φu – φi = π rad t 0 φu 0 x φi I φ = φu – φi = π rad BTS électrotechnique Page 6 sur 9 π rad 2 = i en quadrature retard par rapport à u i(t) u(t) φu 0 φu t U φi 0 φi φ = φu – φi = π/2 rad I φ = φu – φi = π/2 rad x π = - rad 2 i en quadrature avance par rapport à u i(t) u(t) φu φi I φ = φu – φi = -π/2 rad φi t 0 0 x φu U φ = φu – φi = -π/2 rad IV.4) Méthode de mesure de déphasage à l'oscilloscope Une période d’une sinusoïde correspond à un angle de 2π (ou à 360 °) et au décalage entre les sinusoïdes τ correspond l’angle φ. On peut donc écrire la correspondance : T => 2π (ou 360°) τ Un produit en croix nous donne alors : => φ 360 2 (degrés) ou (radians). T T Exemple : 1,3 360 = 62,4° 7,5 ou T = 7,5div u i 1,3 2 1,09 rad. 7,5 τ = 1,3div Exercices vecteurs de Fresnel, nombres complexes 2 / TP étude des dipôles linéaires BTS électrotechnique Page 7 sur 9 V) Puissance en régime sinusoïdal V.1) Puissance active En régime variable, la tension et le courant évoluent dans le temps, la puissance porte donc le nom de puissance instantanée et la relation devient : p(t) u(t).i(t) En régime sinusoïdal on a u(t) U 2 sin t et i(t) I 2 sin t u(t) i(t) Observons en détail les chronogrammes relatifs à u(t), i(t) et p(t) : animation t D générateur D récepteur p(t) P moyen =UI cos t La puissance active P est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) = u(t).i(t) En régime sinusoïdal, on a : P = U I cos watts (W) volts (V) déphasage ampères (A) Cette puissance représente la puissance réellement utile transmise par le réseau d’alimentation au récepteur. C’est elle qui est convertie en puissance mécanique, en chaleur, en lumière…. V.2) Puissance réactive On définit la puissance réactive Q de la manière suivante : Q = U I sin volt ampère réactif (VAR) volts (V) déphasage ampères (A) Les composants réactifs ont la propriété d’accumuler de l’énergie électrique puis de la restituer intégralement au réseau d’alimentation pendant une période. Q traduit l’importance de cette puissance qui est véhiculée par le réseau d’alimentation. On cherche à la minimiser sur une installation car l’intensité du courant qui en découle vient augmenter le courant actif. Le réseau doit donc supporter cet excès de courant et les pertes joule sont plus importantes. V.3) Puissance apparente On définit la puissance apparente S de la manière suivante : S=UI volt ampère (VA) BTS électrotechnique volts (V) ampères (A) Page 8 sur 9 Elle représente la puissance active transmise par le réseau d’alimentation si le récepteur est purement résistif. Ce sera le cas si le terme cos(φ) = 1, ou φ = 0. On peut relier S, P et Q par les relations suivantes : P = S cos(φ) S2 = P2 + Q2 Q = S sin(φ) Triangle des puissances S Q φ P V.4) Facteur de puissance P . En sinusoïdal fp = cos(φ) (en sinusoïdal seulement) S avec –1 ≤ fp ≤ 1 Ce facteur permet d’estimer l’importance de la puissance réactive sur le réseau d’alimentation. Pour une puissance active donnée, une installation avec un facteur de puissance faible requiert une intensité de courant plus importante à cause d’un courant réactif élevé : A tension et à puissance active constante l’intensité du courant d’alimentation P I sera minimum pour une installation avec facteur de puissance fp = ±1. U fp On appelle facteur de puissance le terme fp = V.5) Théorème de Boucherot Théorème : Soit une installation électrique comportant n récepteurs ou générateurs associés de manière quelconque. On note Pi la puissance active et Qi la puissance réactives consommée par le récepteur ou générateur numéro i. Les puissances totales P et Q consommées par l’installation sont données par : n P= P i 1 i n Q= Q i 1 i Exercices puissance en sinusoïdal VI) Résumé Sinusoïde : s(t) Smax sin t s s(t) S 2 sin t s Moyenne : < s > = A A =0 T Complexe j : j × j = -1 ou -j = Valeur efficace : Seff S 1 j Somme de complexes : (a1 + j b1) + (a2 + j b2) = a1 + a2 + j(b1 + b2) 360 T Puissance active : P = U I cos(φ) Puissance apparente : S = U I Déphasage : u i et n Boucherot : P = P i 1 i BTS électrotechnique Pulsation : 2f ou 2 T Smax 2 Expressions complexes : Z = Zejφ = Zcos(φ) + j Zsin(φ)] Z = a + jb = Réel(Z) + j Im(Z) Produit de complexes : [Z1 ; φ1] x [Z2 ; φ2] = [Z1 Z2 ; φ1 + φ2] Division de complexes : [Z1 ; φ1] / [Z2 ; φ2] = [Z1 / Z2 ; φ1 - φ2] Puissance instantanée : p(t) u(t).i(t) Puissance réactive : Q = U I sin(φ) Triangle des puissances : S2 = P2 + Q2 n et Q = Q i 1 i Page 9 sur 9