Régime sinusoïdal : Cours d'électrotechnique

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A-1.2. REGIME SINUSOÏDAL
I) Intérêt de l’étude du régime sinusoïdal
Nous avons vu au chapitre précédent qu’un régime variable est souvent constitué d’une composante
continue et d’une ondulation. On peut montrer que cette ondulation peut être décomposée en une somme
de sinusoïdes appelées harmoniques (voir décomposition de Fourier).
L’étude d’un signal périodique peut alors se ramener à l’étude de sa composante continue et des
sinusoïdes qui le composent.
En outre, en électrotechnique, on rencontre fréquemment des grandeurs « purement » sinusoïdales :
La tension du secteur " EDF " est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 230V.
II) GRANDEURS RELATIVES AU RÉGIME SINUSOÏDAL
II.1) Expression temporelle
Une grandeur sinusoïdale s(t) est représenté par l'expression :
φs (rad)
S max
0
t (s)
-S max
2π (rad)
s(t)
max s
s(t) S sin t   
 Smax est l'amplitude (le signal varie de +Smax à
–Smax)
 t est la variable représentant le temps en seconde
  est la pulsion en rad.s-1
 φs est la phase à l'origine en radian (compatible
avec t en radian).
Pulsation : La pulsation représente l'angle  parcouru par la sinusoïde durant une seconde.
La fréquence f représente le nombre de périodes effectuées durant une seconde. Sachant qu'une période
T représente un angle de 2π rad, les relations entre , f et T sont :
f2
rad.s-1
Hz
2
T
rad.s-1
s
Phase à l'origine :La phase à l'origine représente le décalage angulaire de la sinusoïde à l’origine.
animation
0
t (s)
s(t)
φ = 90°
0
s(t)
φ = 0°
t (s)
0
t (s)
s(t)
φ = 180°
0
t (s)
s(t)
φ = 270°
II.2) Valeur moyenne
Une grandeur purement sinusoïdales s(t) est alternative, c'est-à-dire à valeur moyenne nulle, car l’aire
balayée au dessus de zéro est égale à l’aire balayée en dessous de zéro (symétrie).
< s > =
AA
T
=
0
T
= 0

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II.3) Valeur efficace
La valeur efficace est la "racine carrée de la valeur moyenne du carré".
Si on exprime la valeur efficace de
max
s(t) S sin t  
(cours sur l’intégration en math) on obtient :
max
eff S
SS2
.
Remarque :
 Dans la suite du cours, l'expression temporelle du signal sera :
max s
s(t) S sin t S 2sin t       
Application : La valeur efficace de la tension du "secteur" est de 230V ce qui donne une sinusoïde
d'amplitude
230× 2
 325 V.
III) REPRÉSENTATION D'UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE
III.1) Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Dans le circuit représenté ci-contre on a : u(t) = u1(t) + u2(t)
Effectuons la somme u1(t) + u2(t) des tensions en ajoutant point par point les deux sinusoïdes relatives à
u1(t) et u2(t).
-6
-4
-2
0
2
4
6
0
5
10
15
20
25
30
u (en V)
t (ms)
1
u (t) = 3 2sin 100πt
2
u (t) = 2 2sin 100πt - 2π/3
φu
u
Umax
On mesure sur le graphe :
 Umax  3,74V  U  2,65V.
 φu  -40,9°.
   100π rad.
Remarque :
 U1 + U2 = 3 + 2 = 5V ce qui est différent de U = 2,65V donc U  U1 + U2 .
 φ1 + φ2 = 0 - 120 = -120 ce qui est différent de φ = -40,9° donc φ  φ1 + φ2 .
 La la fréquence de u(t) est égale à la fréquence de u1(t) et de u2(t).
Conclusion :
 On ne peut pas ajouter les valeurs efficaces !
 On ne peut pas ajouter les phases à l'origine !
Connaissant u1(t) et u2(t), comment retrouver u(t) ?
III.2) Vecteur tournant
La représentation sinusoïdale se prête mal aux calculs mathématiques, nous allons voir qu'il est possible
de représenter une telle grandeurs à l'aide d'un vecteur et d'un axe Ox comme repère de référence.
O
M
(ωt + φ)
y
x
 (ωt +φ) représente l’angle entre l’axe Ox et le
vecteur
OM
: lorsque t augmente l’angle
augmente et le vecteur tourne.
 ||
OM
|| est le module (longueur)du vecteur, il est
fixe.
Dipôle 1
Dipôle 2
u1
u2
u

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Lorsque le vecteur fait un tour complet, sa projection sur l’axe des ordonnées décrit une sinusoïde.
y
x
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t
T
12
3T
12
T
2
3T
4
T
y = f(t)
t3+
Conclusion : Un vecteur tournant est équivalent à une sinusoïde : animation
III.3) Vecteur de Fresnel
Définition : Le vecteur
U
associé au signal sinusoïdal u(t) est appelé vecteur de Fresnel et a les
propriétés suivantes :
 L'angle orienté
Ox,U
est égal à la phase à l'origine φu de u(t)
 Sa longueur (norme) représente la valeur efficace U de u(t).
Exemple : Soit la tension
u(t) 12 2sin 100 t /3   
, le vecteur de Fresnel
U
associé est
représenté ci-dessous :
-5
5
15
25
t (ms)
φu = π/3
Umax 17V
u(t)
φu
0
x
U
Longeur =12V (3cm)
Echelle : 1cm 4V
Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Reprenons l'exemple traité avec la méthode d'addition point par point :
1
u (t) 3 2sin 100 t
2
u (t) 2 2sin 100 t 2 /3   
u(t) = u1(t) + u2(t).
Traçons les vecteurs
1
U
et
2
U
relatifs à u1(t) et u2(t) puis effectuons graphiquement la somme
12
U U U
(shéma ci-dessous avec 1cm  1V pour échelle) :
x
U
U1
U2
φu2
φu1
0
Ensuite on mesure :
Longueur U  2,65 cm soit U  2,65 V.
Angle φu  -41° soit φu  -0,714 rad.

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III.4) Nombres complexes
Un nombre complexe représente un point dans le plan.
U = a + jb
0
a
b
Axe des réels
Axe des imaginaires
On peut utiliser cette représentation à la place de
la représentation vectorielle pour les sinusoïdes.
III.4.a) Rappels de Mathématiques
Le nombre complexe U = a + jb est composé d'une partie réelle a et d'une partie imaginaire b.
j est le nombre tel que : j × j = -1 ou -j =
1
j
La représentation vectorielle
OM
du nombre complexe permet d'illustrer ses propriétés :
Représentation cartésienne : U = a + jb
Représentation polaire : U = [U, φ] = Uejφ
U
0
M
a = U cosφ
b = U sinφ
Axe des réels
Axe des imaginaires
φ
Relations :
module 
22
U a b
argument 
-1 b
= tan a
(+ π si a < 0).
a = U cos(φ) b = U sin(φ)
donc
U =
2 2 -1 b
a b ; tan (+ si a < 0)
a
= U cos(φ) + j U sin(φ)
animation
Définition : Le nombre complexe U associé au signal sinusoïdal u(t) a les propriétés suivantes :
 Son module U représente la valeur efficace de u(t).
 Son argument φu représente la phase à l'origine de u(t).

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Exemple :
i(t) 5 2sin t 3 /4   
.
Le nombre complexe I associé à i(t) est :
I = [ 5A, -3π/4 ] (représentation polaire).
I = 5 cos(-3π/4) + j 5 sin(-3π/4)
I  -3,54 – j 3,54
(représentation cartésienne).
I
0
-3,54
-3,54
1cm -> 1A
III.4.b) Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Reprenons l'exemple précédent :
1
u (t) 3 2sin 100 t
2
u (t) 2 2sin 100 t 2 /3   
u(t) = u1(t) + u2(t).
 U1 = [ 3V, 0 ] = 3 cos(0) + j 3 sin(0)  U1 = 3.
 U2 = [ 2V, -2π/3 ] = 2 cos(-2π/3) + j 2 sin(-2π/3)  U2  -1 – j 1,7.
 U = U1 + U2  3 – 1 – j 1,73 = 2 – j 1,73
 U = [ U, φu ] avec
22
U 2 1,73
 2,65 V.
et
-1
u-1,73
= tan 2
 -41°. animation
III.4.c) Produit de deux grandeurs complexes
Prenons l'exemple suivant :
Z 15 ; 30°
;
i(t) 2 2sin 100 t 2 /3   
et u(t) = Z I.
 I = [ 2A, -120° ] = 2 cos(-120) + j 2 sin(-120)  I = -1 – j 1,73.
Z 15 ; 30°
= 15 cos(30) + j 15 sin(30) = 13 + j 7,5
En cartésien :
 U = Z I = (13 + j 7,5) x (-1 – j 1,73) = 13 x –1 + j 13 x (-1,73) + j 7,5 x (-1) + j 7,5 x (– j 1,73)
= -13 – j 22,5 – j 7,5 + 13 = - j 30 = [30 V ; -90 °]
En polaire :
 U = Z I =
15 ; 30°
 [ 2A, -120°] = [15  2; 30 - 120] = [30 V ; -90 °]
Donc en résumé : [Z1 ; φ1]  [Z2 ; φ2] = [Z1 Z2 ; φ1 + φ2]
III.4.d) division de deux grandeurs complexes
Reprenons l'exemple précédent :
Z 15 ; 30°
;
u(t) 30 2sin 100 t /2   
et u(t) = Z I.
Pour diviser des nombres complexes, on doit utiliser la forme polaire :
 U = [ 30 V, -90° ]. 
Z 15 ; 30°
.
 I =
U
Z
= [ 30 V, -90°] /
15 ; 30°
= [ 30 / 15; -90 - 30] = [2 A ; -120 °]
Donc en résumé : [Z1 ; φ1] / [Z2 ; φ2] = [Z1 / Z2 ; φ1 - φ2]
Exercices vecteurs de Fresnel – nombres complexes 1.