03 régime sinusoïdal simplifié 2013

A-1.2. REGIME SINUSOÏDAL
I) Intérêt de l’étude du régime sinusoïdal
Nous avons vu au chapitre précédent qu’un régime variable est souvent constitué d’une composante
continue et d’une ondulation. On peut montrer que cette ondulation peut être décomposée en une somme
de sinusoïdes appelées harmoniques (voir décomposition de Fourier).
L’étude d’un signal périodique peut alors se ramener à l’étude de sa composante continue et des
sinusoïdes qui le composent.
En outre, en électrotechnique, on rencontre fréquemment des grandeurs « purement » sinusoïdales :
La tension du secteur " EDF " est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 230V.
II) GRANDEURS RELATIVES AU RÉGIME SINUSOÏDAL
II.1) Expression temporelle
Une grandeur sinusoïdale s(t) est représenté par l'expression :
s(t)  Smax sin  t  s 

Smax est l'amplitude (le signal varie de +Smax à
–Smax)

t est la variable représentant le temps en seconde

 est la pulsion en rad.s-1

φs est la phase à l'origine en radian (compatible
avec t en radian).
s(t)
S max
φs (rad)
t (s)
0
-S max
2π (rad)
Pulsation : La pulsation représente l'angle  parcouru par la sinusoïde durant une seconde.
La fréquence f représente le nombre de périodes effectuées durant une seconde. Sachant qu'une période
T représente un angle de 2π rad, les relations entre , f et T sont :
  2f
rad.s-1

Hz
2
T
rad.s-1
s
Phase à l'origine :La phase à l'origine représente le décalage angulaire de la sinusoïde à l’origine.
animation
s(t)
φ = 0°
0
s(t)
t (s)
0
φ = 90°
s(t)
t (s)
0
φ = 180°
s(t)
t (s)
φ = 270°
0
t (s)
II.2) Valeur moyenne
Une grandeur purement sinusoïdales s(t) est alternative, c'est-à-dire à valeur moyenne nulle, car l’aire
balayée au dessus de zéro est égale à l’aire balayée en dessous de zéro (symétrie).
A  A 0
<s>=
=
=0
T
T
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II.3) Valeur efficace
La valeur efficace est la "racine carrée de la valeur moyenne du carré".
Si on exprime la valeur efficace de s(t)  Smax sin  t   (cours sur l’intégration en math) on obtient :
Seff  S 
Smax
2 .
Remarque :
 Dans la suite du cours, l'expression temporelle du signal sera :
s(t)  Smax sin  t  s   S 2 sin  t   
Application : La valeur efficace de la tension du "secteur" est de 230V ce qui donne une sinusoïde
d'amplitude 230× 2  325 V.
III) REPRÉSENTATION D'UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE
Dipôle 1
Dipôle 2
III.1) Somme de deux grandeurs sinusoïdales
u1
u2
Dans le circuit représenté ci-contre on a :
u(t) = u1(t) + u2(t)
u
Effectuons la somme u1(t) + u2(t) des tensions en ajoutant point par point les deux sinusoïdes relatives à
u1(t) et u2(t).
u (en V)
6
Umax
u1 (t) = 3 2sin 100πt 
u 2 (t) = 2 2sin  100πt - 2π/3 
u
On mesure sur le graphe :
 Umax  3,74V  U  2,65V.
4
2
 φu  -40,9°.
0
-2
0
5
10
15
25
30 t (ms)
   100π rad.
-4
-6
20
φu

Remarque :

U1 + U2 = 3 + 2 = 5V ce qui est différent de U = 2,65V donc U  U1 + U2 .

φ1 + φ2 = 0 - 120 = -120 ce qui est différent de φ = -40,9° donc φ  φ1 + φ2 .
 La la fréquence de u(t) est égale à la fréquence de u1(t) et de u2(t).
Conclusion :
 On ne peut pas ajouter les valeurs efficaces !
 On ne peut pas ajouter les phases à l'origine !
Connaissant u1(t) et u2(t), comment retrouver u(t) ?
III.2) Vecteur tournant
La représentation sinusoïdale se prête mal aux calculs mathématiques, nous allons voir qu'il est possible
de représenter une telle grandeurs à l'aide d'un vecteur et d'un axe Ox comme repère de référence.
y
 (ωt +φ) représente l’angle entre l’axe Ox et le
M
vecteur OM : lorsque t augmente l’angle
augmente et le vecteur tourne.
 || OM || est le module (longueur)du vecteur, il est
x
(ωt + φ)
O
fixe.
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Lorsque le vecteur fait un tour complet, sa projection sur l’axe des ordonnées décrit une sinusoïde.

y
2
y = f(t)
1
3
0
12
4
t3+

5
3T
4
T
2
11 x
6
T
12
t
3T
12
T
10
7
9
8
Conclusion : Un vecteur tournant est équivalent à une sinusoïde : animation
III.3) Vecteur de Fresnel
Définition : Le vecteur U associé au signal sinusoïdal u(t) est appelé vecteur de Fresnel et a les
propriétés suivantes :
 L'angle orienté Ox, U est égal à la phase à l'origine φu de u(t)


 Sa longueur (norme) représente la valeur efficace U de u(t).
Exemple :
Soit la tension u(t)  12 2 sin 100t   / 3 , le vecteur de Fresnel U associé est
représenté ci-dessous :
u(t)
Umax 17V
U
Longeur =12V (3cm)
t (ms)
-5
5
15
φu
25
x
φu = π/3
0
Echelle : 1cm  4V
Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Reprenons l'exemple traité avec la méthode d'addition point par point :
u1 (t)  3 2 sin 100t 
u 2 (t)  2 2 sin 100t  2 / 3
u(t) = u1(t) + u2(t).
Traçons les vecteurs U1 et U 2 relatifs à u1(t) et u2(t) puis effectuons graphiquement la somme U  U1  U2
(shéma ci-dessous avec 1cm  1V pour échelle) :
U1
0
φu2
φu1
x
Ensuite on mesure :
Longueur U  2,65 cm soit U  2,65 V.
Angle φu  -41° soit φu  -0,714 rad.
U2
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U
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III.4) Nombres complexes
Un nombre complexe représente un point dans le plan.
Axe des imaginaires
U = a + jb
b
On peut utiliser cette représentation à la place de
la représentation vectorielle pour les sinusoïdes.
Axe des réels
0
a
III.4.a) Rappels de Mathématiques
Le nombre complexe U = a + jb est composé d'une partie réelle a et d'une partie imaginaire b.
j est le nombre tel que : j × j = -1 ou -j =
1
j
La représentation vectorielle OM du nombre complexe permet d'illustrer ses propriétés :
Axe des imaginaires
Représentation cartésienne : U = a + jb
M
b = U sinφ
Représentation polaire : U = [U, φ] = Uejφ
U
φ
0
a = U cosφ
Axe des réels
Relations :
module  U  a 2  b2
a = U cos(φ)
b
argument   = tan -1   (+ π si a < 0).
a
b = U sin(φ)
donc


b
U =  a 2  b2 ; tan -1   (+  si a < 0)  = U cos(φ) + j U sin(φ)
a


animation
Définition :
Le nombre complexe U associé au signal sinusoïdal u(t) a les propriétés suivantes :

Son module U représente la valeur efficace de u(t).

Son argument φu représente la phase à l'origine de u(t).
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Exemple : i(t)  5 2 sin  t  3 / 4  .
Le nombre complexe I associé à i(t) est :
-3,54
0
I = [ 5A, -3π/4 ]
(représentation polaire).
1cm -> 1A
I
I = 5 cos(-3π/4) + j 5 sin(-3π/4)
I
-3,54 – j
3,54
(représentation cartésienne).
III.4.b) Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Reprenons l'exemple précédent :
u1 (t)  3 2 sin 100t 
u 2 (t)  2 2 sin 100t  2 / 3

U1 = [ 3V, 0 ] = 3 cos(0) + j 3 sin(0)  U1 = 3.

U2 = [ 2V, -2π/3 ] = 2 cos(-2π/3) + j 2 sin(-2π/3)  U2  -1 – j 1,7.

U = U1 + U2  3 – 1 – j 1,73 = 2 – j 1,73
-3,54
u(t) = u1(t) + u2(t).
 U = [ U, φu ] avec U  22  1, 732  2,65 V.
-1,73
et u = tan -1
 -41°. animation
2
III.4.c) Produit de deux grandeurs complexes
Prenons l'exemple suivant : Z  15 ; 30° ; i(t)  2 2 sin 100t  2 / 3 et u(t) = Z I.

I = [ 2A, -120° ] = 2 cos(-120) + j 2 sin(-120)  I = -1 – j 1,73.

Z  15 ; 30° = 15 cos(30) + j 15 sin(30) = 13 + j 7,5
En cartésien :

U = Z I = (13 + j 7,5) x (-1 – j 1,73) = 13 x –1 + j 13 x (-1,73) + j 7,5 x (-1) + j 7,5 x (– j 1,73)
= -13 – j 22,5 – j 7,5 + 13 = - j 30 = [30 V ; -90 °]
En polaire :

U = Z I = 15 ; 30°  [ 2A, -120°] = [15  2; 30 - 120] = [30 V ; -90 °]
Donc en résumé : [Z1 ; φ1]  [Z2 ; φ2] = [Z1 Z2 ; φ1 + φ2]
III.4.d) division de deux grandeurs complexes
Reprenons l'exemple précédent :
Z  15 ; 30° ; u(t)  30 2 sin 100t   / 2  et u(t) = Z I.
Pour diviser des nombres complexes, on doit utiliser la forme polaire :

U = [ 30 V, -90° ].

Z  15 ; 30° .
U
= [ 30 V, -90°] / 15 ; 30° = [ 30 / 15; -90 - 30] = [2 A ; -120 °]
Z
Donc en résumé : [Z1 ; φ1] / [Z2 ; φ2] = [Z1 / Z2 ; φ1 - φ2]
Exercices vecteurs de Fresnel – nombres complexes 1.

I=
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IV) DÉPHASAGE DU COURANT PAR RAPPORT À LA TENSION
IV.1) Etude d'un exemple
Considérons le dipôle linéaire représenté ci-dessous dans lequel on a :
π
i(t)
u(t)  U 2 sin(t  u ) avec u =
2
π
et i(t)  I 2 sin(t  i ) avec i =
6
u(t)
Dipôle
u(t)
animation
i(t)
U
φ = φu - φ i
t
φu
I
0
φu
φi
φi
φ = φu - φi
x
0
IV.2) Définition
On appelle déphasage , la différence entre la phase à l'origine u de u et la phase à l'origine i de i.
  u  i
Ici, on a  = u - i = π/2 – π/6 = π/3.
Remarque :  > 0  i est en "retard" par rapport à u.
IV.3) Cas particuliers

 = 0 rad
u(t)
u et i en phase
i(t)
U
φ = φu - φ i = 0
t
φu0
φi

φu
φ = φu - φi
I
φi
x
0
 = π rad
u(t)
i(t)
u et i en opposition
de phase
φu φi
U
φ = φu – φi = π rad
t
0 φu
0
x
φi
I
φ = φu – φi = π rad
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
π
rad
2
=
i en quadrature retard par rapport à u
i(t)
u(t)
φu
0
φu
t
U
φi
0
φi
φ = φu – φi = π/2 rad
I
φ = φu – φi = π/2 rad

x
π
 = - rad
2
i en quadrature avance par rapport à u
i(t)
u(t)
φu
φi
I
φ = φu – φi = -π/2 rad
φi
t
0
0
x
φu
U
φ = φu – φi = -π/2 rad
IV.4) Méthode de mesure de déphasage à l'oscilloscope
Une période d’une sinusoïde correspond à un angle de 2π (ou à 360 °) et au décalage entre les sinusoïdes
τ correspond l’angle φ. On peut donc écrire la correspondance :
T
=> 2π (ou 360°)
τ
Un produit en croix nous donne alors :

=>
φ


 360
   2
(degrés) ou
(radians).
T
T
Exemple :

1,3
 360 = 62,4°
7,5
ou  
T = 7,5div
u
i
1,3
 2  1,09 rad.
7,5
τ = 1,3div
Exercices vecteurs de Fresnel, nombres complexes 2 / TP étude des dipôles linéaires
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V) Puissance en régime sinusoïdal
V.1) Puissance active
En régime variable, la tension et le courant évoluent dans le temps, la puissance porte donc le nom de
puissance instantanée et la relation devient :
p(t)  u(t).i(t)
En régime sinusoïdal on a u(t)  U 2 sin  t  et i(t)  I 2 sin  t   
u(t)
i(t)
Observons en détail les
chronogrammes relatifs à
u(t), i(t) et p(t) : animation
t

D générateur
D récepteur
p(t)
P moyen
=UI cos 
t
La puissance active P est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) = u(t).i(t)
En régime sinusoïdal, on a :
P = U I cos
watts (W)
volts (V)
déphasage
ampères (A)
Cette puissance représente la puissance réellement utile transmise par le réseau d’alimentation au
récepteur. C’est elle qui est convertie en puissance mécanique, en chaleur, en lumière….
V.2) Puissance réactive
On définit la puissance réactive Q de la manière suivante :
Q = U I sin
volt ampère
réactif (VAR)
volts (V)
déphasage
ampères (A)
Les composants réactifs ont la propriété d’accumuler de l’énergie électrique puis de la restituer
intégralement au réseau d’alimentation pendant une période. Q traduit l’importance de cette puissance qui
est véhiculée par le réseau d’alimentation. On cherche à la minimiser sur une installation car l’intensité du
courant qui en découle vient augmenter le courant actif. Le réseau doit donc supporter cet excès de
courant et les pertes joule sont plus importantes.
V.3) Puissance apparente
On définit la puissance apparente S de la manière suivante :
S=UI
volt ampère (VA)
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volts (V)
ampères (A)
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Elle représente la puissance active transmise par le réseau d’alimentation si le récepteur est purement
résistif. Ce sera le cas si le terme cos(φ) = 1, ou φ = 0.
On peut relier S, P et Q par les relations suivantes :
P = S cos(φ)
S2 = P2 + Q2
Q = S sin(φ)
Triangle des puissances
S
Q
φ
P
V.4) Facteur de puissance
P
. En sinusoïdal fp = cos(φ) (en sinusoïdal seulement)
S
avec –1 ≤ fp ≤ 1
Ce facteur permet d’estimer l’importance de la puissance réactive sur le réseau d’alimentation. Pour une
puissance active donnée, une installation avec un facteur de puissance faible requiert une intensité de
courant plus importante à cause d’un courant réactif élevé :
A tension et à puissance active constante l’intensité du courant d’alimentation
P
I
sera minimum pour une installation avec facteur de puissance fp = ±1.
U fp
On appelle facteur de puissance le terme fp =
V.5) Théorème de Boucherot
Théorème : Soit une installation électrique comportant n récepteurs ou générateurs associés de manière
quelconque. On note Pi la puissance active et Qi la puissance réactives consommée par le récepteur ou
générateur numéro i. Les puissances totales P et Q consommées par l’installation sont données par :
n
P=
P
i 1
i
n
Q=
Q
i 1
i
Exercices puissance en sinusoïdal
VI) Résumé
Sinusoïde :
s(t)  Smax sin  t  s 
s(t)  S 2 sin  t  s 
Moyenne : < s > =
A  A
=0
T
Complexe j : j × j = -1 ou -j =
Valeur efficace : Seff  S 
1
j
Somme de complexes :
(a1 + j b1) + (a2 + j b2) = a1 + a2 + j(b1 + b2)

 360
T
Puissance active : P = U I cos(φ)
Puissance apparente : S = U I
Déphasage :   u  i et  
n
Boucherot : P =
P
i 1
i
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Pulsation :   2f ou  
2
T
Smax
2
Expressions complexes :
Z = Zejφ = Zcos(φ) + j Zsin(φ)]
Z = a + jb = Réel(Z) + j Im(Z)
Produit de complexes :
[Z1 ; φ1] x [Z2 ; φ2] = [Z1 Z2 ; φ1 + φ2]
Division de complexes :
[Z1 ; φ1] / [Z2 ; φ2] = [Z1 / Z2 ; φ1 - φ2]
Puissance instantanée : p(t)  u(t).i(t)
Puissance réactive : Q = U I sin(φ)
Triangle des puissances : S2 = P2 + Q2
n
et Q =
Q
i 1
i
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