Formulaire des limites
Limites par opération
?
indique une forme indéterminée
ou indique que l’on décide en fonction du signe de l
Remarques :
• Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : 0+ ou 0- selon la règle des signes.
• Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : plus ou moins l’infini selon la règle des signes.
Quelques trucs :
La quantité conjuguée
Soit f une fonction définie sur
par f ( x) = x + 4 − x
On cherche à déterminer lim f ( x)
x →+∞
lim
x →+∞
x + 4 = +∞ et lim
x →+∞
x = +∞
donc on a une forme indéterminée «
L’astuce consiste ici à multiplier et diviser par la quantité conjuguée
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».
Les valeurs absolues
Soit f une fonction définie sur
\{−1,1} par f ( x) =
1− 2 | x |
1− | x |
On cherche à déterminer les limites de f (x) aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste à remplacer |x| par x quand x est positif et par –x sinon ...
Limites remarquables
e = 1+
1 1
1
+ + … + + … = 2.71828…
1! 2!
n!
x
x
α
lim 1 + = eα
x →±∞
x
1
lim 1 + = e
x →±∞
x
sin x
= 1 (définition de la dérivée)
x →0
x
ln x
=0
x →+∞ x
x →0
ex
= +∞
x →+∞ x
lim
αn
n →+∞
=0
n!
x →0
= eα
lim
lim+
lim
1x
tan x
=1
x →0
x
lim
lim
lim (1 + α x )
ln(1 + x)
=1
x
lim x ln x = 0
x →0+
lim
ex −1
=1
x →0
x
lim
lim n n = 1
lim
x →0
x→a
n →+∞
α x −1
x
= ln α
xn − α n
= nα n −1
x −α
Formes indéterminées
Forme
∞
∞
ln x
= 0 ( m > 0)
x →+∞ x m
Forme
0× ∞
lim x m ln x = 0 ( m > 0 )
∞
Forme
∞
Forme
∞−∞
Forme ∞
Forme
0
00
lim
Le logarithme croît moins vite que xm
x →0
ex
= +∞ ( m > 0 )
x →+∞ x m
lim
1
lim+ − ln x = +∞
x →0 x
lim x1 x = 1
x →±∞
lim x x = 1
x → 0+
x
∞
Forme 1
x +α
α −β
lim
=e
x →±∞ x + β
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