Formulaire des limites : Opérations et Formes Indéterminées

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Formulaire des limites
Limites par opération
? indique une forme indéterminée
ou indique que l’on décide en fonction du signe de l
Remarques :
• Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : 0+ ou 0- selon la règle des signes.
• Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : plus ou moins l’infini selon la règle des signes.
Quelques trucs :
La quantité conjuguée
Soit f une fonction définie sur par () 4
f
xx x=+−
On cherche à déterminer lim ( )
x
f
x
→+∞
lim 4
xx →+∞ +=+∞ et lim xx →+∞ =+∞ donc on a une forme indéterminée « ».
L’astuce consiste ici à multiplier et diviser par la quantité conjuguée

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Les valeurs absolues
Soit f une fonction définie sur \{ 1,1}− par 12||
() 1| |
x
fx
x
−
=−
On cherche à déterminer les limites de f (x) aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste à remplacer |x| par x quand x est positif et par –x sinon ...
Limites remarquables
11 1
1 2.71828
1! 2! !
en =+ + + + + =…… …
1
lim 1
x
xe
x
→±∞
+=
 lim 1
x
xe
x
α
α
→±∞
+
=
()
1
0
lim 1 x
x
x
e
α
α
→
+
=
0
sin
lim 1
x
x
x
→= (définition de la dérivée) 0
tan
lim 1
x
x
x
→
=
ln
lim 0
x
x
x
→+∞ =
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
+
→
+
=
0
lim ln 0
x
xx
+
→
=
lim
x
x
e
x
→+∞ =+∞ 0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
0
1
lim ln
x
xx
α
α
→
−=
lim 0
!
n
nn
α
→+∞ = lim 1
n
nn
→+∞
=
1 lim
nn
n
xa
xn
x
α
α
α
−
→
−=
−
Formes indéterminées
Forme ∞
∞ ln
lim 0
m
x
x
x
→+∞
=
(
)
0m> Le logarithme croît moins vite que xm
Forme 0×∞ 0
lim ln 0
m
xxx
→
=
(
)
0m>
Forme ∞
∞ lim
x
m
x
e
x
→+∞
=
+∞
(
)
0m>
Forme ∞−∞ 0
1
lim ln
x
x
x
+
→
−=+∞
Forme 0
∞ 1
lim 1
x
xx
→±∞
=
Forme 0
0 0
lim 1
x
x
x
+
→=
Forme 1∞ lim
x
x
xe
x
α
β
α
β
−
→±∞
+=
+