Feuille des exercices: MP
Enoncés
Anneaux, corps et algèbres
Exercice 1.
Un élément x d’un anneau A est dit nilpotent s’il existe un entier n > 1 tel que xn = 0. On fixe x, y deux
éléments nilpotents de A tels que xy = yx.
1. Montrer que xy et x + y sont nilpotents.
2. Montrer que 1A − x est inversible.
3. Soit u, v ∈ A tel que uv est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent.
Exercice 2 (Les
entiers de Gauss).
Soit Z[i] := a + ib | (a, b) ∈ Z2 l’anneau des entiers de Gauss.
2
Pour z = a + ib ∈ Z[i], on pose N (z) = |z| = a2 + b2
1. Vérifier que ∀z, z 0 ∈ Z[i]; N (z.z 0 ) = N (z) .N (z 0 )
2. En déduire que U (Z[i]) = {1, −1, i, −i}
Exercice 3 (Sous-corps de (Q, +, .)).
Démontrer que Q n’admet pas d’autre sous-corps que lui-même.
Exercice 4 (Les autmorphismes de (R, +, ×)).
Soit σ un automorphisme de (R, +, ×)
1. Montrer que si x > 0 alors σ(x) > 0.
2. Montrer que σ est croissant.
3. Montrer que ∀r ∈ Q: σ(r) = r. Puis déterminer σ.
Exercice 5.
Établir ∀n > 3, ϕ(n) >
n ln 2
ln n + ln 2
Exercice 6 (Indicatrice d’Euler).
On note ϕ la fonction indicatrice d’Euler. Soit n ∈ N∗
.
1. Montrer que si H est un sous-groupe de Z
, + , il existe a divisant n vérifiant H =< a >.
nZ
.
2. Observer que si d | n il existe un unique sous-groupe de Z
, + d’ordre d.
nZ
.
3. Justifier que si d | n le groupe Z
, + possède exactement ϕ (d) éléments d’ordre d.
nZ
P
4. Montrer que: ∀n ∈ N? , ϕ (d) = n.
d|n
Exercice 7 (Matrice de Smith).
Soient T = (ti,j )16i,j6n ∈ Mn (R) déterminée par ti,j =
1
0
si i divise j
sinon
et D = diag(ϕ(1), . . . , ϕ(n)) ∈
Mn (R). Où ϕ la fonction indicatrice d’Euler.
1. Calculer le coefficient d’indice (i, j) de la matrice t T DT en fonction de pgcd(i, j);
2. En déduire la valeur du déterminant de la matrice de Smith S = (pgcd(i, j))16i,j6n
Exercice 8.
7
Quel est le chiffre des unités de 77 ?
1
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Enoncés
Anneaux, corps et algèbres
Exercice 9 (Nombres de Fermat).
m
Pour m ∈ N, on pose Fm = 22 + 1.
1. Montrer que si m 6= n, Fm et Fn sont premiers entre eux.
2. Déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini
Exercice 10.
.
Résoudre dans Z
l’équation : x3 = 1.
19Z
Exercice 11.
(
.
6x + 7y
Z
le système :
Résoudre dans
37Z
3x − 7y
= 30
.
=0
Exercice 12.
Résoudre dans Z les systèmes suivants:
(
x ≡ 3 [17]
x ≡ 3
1.
2. x ≡ 4
x ≡ 4 [11]
x≡5
(
[17]
[11]
[6]
3.
x≡3
x≡1
[6]
[10]
Exercice 13.
Soit K un corps et A = K × K.
1. L’anneau A est-il un corps ?
2. Déterminer les idéaux de A.
Exercice 14 (Centrale MP).
√
Soit A un anneau commutatif. Si I est un idéal de A, on appelle radical de I l’ensemble I défini par
√
I = {x ∈ A; ∃n > 1, xn ∈ I}
√
1. Montrer que I est un idéal de A contenant.
2. Soient I, J deux idéaux de A et p > 1. Montrer que
√
√
I.J =
I ∩J =
√
I∩
√
q
J,
√
√
I=
√
I et
Ip =
√
I.
3. Si A = Z et I = kZ, k > 1, déterminer le radical de I.
Exercice 15.
On note
D=
n p
o
/p
∈
Z,
n
∈
N
10n
l’ensemble des nombres décimaux.
1. Montrer que (D, +, ×) est anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
2. Montrer que les idéaux de D sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a ∈ D).
Exercice 16 (Idéaux de Z2 ).
Soit I un idéal de l’anneau produit Z2 , +, × .
2
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Anneaux, corps et algèbres
1. On pose I1 = {x ∈ Z/(x, 0) ∈ I} et I2 = {y ∈ Z/(0, y) ∈ I}.
Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de (Z, +, ×).
2. Etablir I = I1 × I2 .
3. Conclure que les idéaux de l’anneau (Z2 , +, ×) sont de la forme xZ2 avec x ∈ Z2 .
Exercice 17.
Soit A un anneau intègre dans lequel toute chaîne décroissante d’idéaux est finie. Démontrer que A est un
corps.
Exercice 18.
Démontrer que les seuls idéaux d’un corps K sont {0} et K.
Exercice 19 (Mines. MP 2018).
Soit P ∈ R[X], tel que ∀x ∈ R, P (x) > 0. Montrer qu’il existe B, C ∈ R[X] de même degré tels que
P = B2 + C 2.
Exercice 20.
Déterminer deux polynômes U et V vérifiant U X n + V (1 − X)m = 1 et deg(U ) < m et deg(V ) < n.
Exercice 21.
Déterminer les polynômes de C[X] tels que P (X 2 ) = P (X)P (X + 1).
Exercice 22.
Former la décomposition primaire dans R [X] de P = X 2n+1 − 1 (avec n ∈ N).
Exercice 23.
0
1
Déterminer le polynôme minimal de la matrice A =
1
0
Exercice 24.
Soit A ∈ Mn (K). Montrer que A et
Exercice 25.
t
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
.
1
0
A ont le même polynôme minimal.
A C
Soit M une matrice triangulaire par blocs
avec A ∈ Mp (K) et B ∈ Mq (K). On suppose que
0 B
P est un polynôme annulateur de A et que Q est un polynôme annulateur de B. Déterminer un polynôme
annulateur de M .
Exercice 26.
Soit A une K-algèbre et a ∈ A admettant un polynôme minimal
1. Soit β ∈ K[a] et Q ∈ K[X] tels que β = Q(a).
Montrer que β est inversible dans K[a] si, et seulement si, Q ∧ πa = 1.
2. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes
(a) K[a] est intègre.
(b) K[a] est un corps.
(c) πa est irréductible sur K.
3
