20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux [email protected] Rechercher sur le site... Bibm@th Rechercher sur le site... Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum Bibliothèque d'exercicesBibliothèque de problèmesAutomatismes Accueil Lycée Collège Seconde Supérieur Math Sup 2020 Math Sup 2021 Math Spé Capes Agreg interne BTS Bibliothèques Bibliothèque d'exercices Bibliothèque de problèmes Automatismes Références Dictionnaire Biographie de mathématiciens Formulaire Lexique français/anglais Thèmes Cryptographie et codes secrets Jeux et énigmes Carrés magiques Mathématiques au quotidien Dossiers Forum Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'algèbre > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Anneaux https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 1/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Structure d'anneaux Exercice 1 - Éléments nilpotents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Un élément x d'un anneau A est dit nilpotent s'il existe un entier n ≥ 1 tel que suppose que A est commutatif, et on fixe x, y deux éléments nilpotents. 1. Montrer que xy est nilpotent. 2. Montrer que x + y est nilpotent. 3. Montrer que 1 − x est inversible. 4. Dans cette question, on ne suppose plus que est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent. A A est commutatif. Soit x n = 0 . On u, v ∈ A tels que uv Indication Soient n, m tels que 1. Calculer 2. Calculer 3. Calculer 4. Si (uv) n x n (xy) p et = 0 avec (x + y) y m = 0 . p ≥ min(n, m) n+m p (1 − x)(1 + x + ⋯ + x ) = 0 . . , montrer que (vu) n+1 . = 0 . Corrigé Soient n, m tels que x n et = 0 y m = 0 . 1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0. 2. Remarquons d'abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D'après la formule du n+m k n+m−k binôme, (x + y)n+m = ∑k=0 (n+m )x y . Mais, pour k ≥ n, k . D'autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc n+m y = 0 ⟹ x y = 0. Ainsi, (x + y) = 0. On pourrait même se contenter de prendre la puissance n + m − 1. 3. L'idée est d'utiliser l'identité remarquable (toujours valable dans un anneau) x k = 0 ⟹ k x y n+m−k n+m−k k = 0 n+m−k 1 − x Si on l'applique pour p = n p = (1 − x)(1 + x + ⋯ + x ce qui implique que 1 − x est inversible d'inverse 4. Soit n ≥ 1 tel que (uv)n = 0. Alors (vu) Exercice 2 vu ). , alors on obtient 1 = (1 − x)(1 + x + ⋯ + x Ainsi, p−1 n+1 n−1 ) 1 + x + ⋯ + x n−1 . n = v(uv) u = v × 0 × u = 0. est nilpotent. - Anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On dit qu'un anneau anneau. A est un anneau de Boole si, pour tout 1. Démontrer que, pour tout x ∈ A, 2. Montrer que A est commutatif. x = −x x ∈ A , x 2 = x . On fixe A un tel . Indication 1. Appliquer la propriété à x + x https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 2/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux 2. Fixer x, y ∈ A et appliquer la propriété à x + y . Corrigé 1. On applique la propriété à l'élément x + x = (x + x) 2 = x x + x 2 + x . Il vient 2 + x 2 + x 2 = x + x + x + x. Après simplification, on trouve x + x = 0, soit x = −x. 2. Soient x, y ∈ A. On doit prouver xy = yx. Appliquons la propriété à l'élément a (x + y) = (x + y) 2 = x 2 Après simplification, on trouve xy + yx résultat de la question précédente. Exercice 3 + y = 0 2 x + y . On + xy + yx = x + y + xy + yx. soit xy = −yx , soit xy = yx en appliquant le - Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G) l'ensemble des endomorphismes de G sur lequel on définit la loi + par f + g : G → G, x ↦ f (x) + g(x). Démontrer que (End(G), +, ∘) est un anneau. Indication Vérifier tous les points de la définition d'un anneau. Corrigé On remarque d'abord que + et ∘ sont bien des lois de composition interne sur on vérifie tous les points de la définition d'un anneau. End(G) . Ensuite, 1. (End(G), +) est un groupe commutatif. En effet, la loi + est associative et commutative, l'application 0G : G → G, g ↦ 0 est un élément neutre pour la loi +, et tout élément f ∈ End(G) admet un inverse −f : G → G, x ↦ −f (x). 2. La loi ∘ est associative. 3. La loi ∘ possède un élément neutre, qui est l'application identité. 4. La loi ∘ est distributive par rapport à la loi + : pour tous f , g, h ∈ End(G) et tout x ∈ G , ((f + g) ∘ h)(x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = (f ∘ h + g ∘ h)(x) et (f ∘ (g + h))(x) = f ((g + h)(x)) = f (g(x) + h(x)) = f (g(x)) + f (h(x)) = (f ∘ g + f ∘ h)(x). Ainsi, (End(G), +, ∘) Exercice 4 est un anneau. - Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A = { m ; m ∈ Z, n ∈ 2N + 1} (c'est-à-dire que n dénominateur impair). Démontrer que inversibles? (A, +, ×) A est l'ensemble des rationnels à est un anneau. Quels sont ses éléments Indication Démontrer que c'est un sous-anneau de (Q, +, ×). Pour déterminer les éléments inversibles, m partir de x = n ∈ A qu'on suppose inversible, écrire que xy = 1 pour un certain y ∈ A, et en déduire une condition nécessaire sur m. Démontrer ensuite que cette condition est suffisante. https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 3/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Corrigé On va démontrer que m y = ′ ∈ A n′ A est un sous-anneau de (Q, +, ×) . Pour cela, soient x = et m n . Alors : ′ ′ mn − m n x − y = nn et xy = ′ mm nn ′ ′ . Comme nn′ , produit de deux nombres impairs, est impair, et que A est non vide puisqu'il contient 1, on en déduit que A est bien un sous-anneau de (Q, +, ×). Déterminons ensuite les inversibles de A . Soit x = m inversible, et soit ∈ A n y = m n ′ ′ ∈ A tel que . On en déduit que mm = nn . En particulier, m est nécessairement impair. m n Réciproquement, si x = n avec m impair, alors y = m est dans A (si jamais m < 0, il suffit ′ xy = 1 d'écrire y = les éléments −n −m m n ′ pour vérifier qu'il est bien dans avec Exercice 5 m ∈ Z , n ∈ N ∗ , et A ), et xy = 1 . Ainsi, les inversibles de sont A impairs. m, n - Décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit l'ensemble des nombres décimaux, D n D = { 10 Démontrer que (D, +, ×) ; n ∈ Z, k ∈ N} . k est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles? Indication Démontrer qu'il s'agit d'un sous-anneau de (Q, +, ×). Pour déterminer les éléments inversibles, partir de x = n ∈ D inversible, écrire xy = 1 avec y ∈ D, et obtenir une condition nécessaire sur 10 n k . Prouver ensuite que cette condition est suffisante. Corrigé On va prouver que (D, +, ×) est un sous-anneau de (Q, +, ×). On remarque d'abord que puis que 1 ∈ D. De plus, soient x = n et y = m deux éléments de D. Alors 10 k 10 l 10 k nm et xy = k+l 10 k+l sont clairement des éléments de D, et (D, +, ×) est bien un sous-anneau de (Q, +, ×). Déterminons ensuite les inversibles de (D, +, ×). Soit x = n inversible, d'inverse y = 10 xy = 1 ⟺ On en déduit que les seuls diviseurs premiers de pour p, q ∈ N . Réciproquement, soit p ±2 5 x = 10 y = ±10 p 2 5 k q . Il suffit de vérifier que y y = q ±10 2 5 2 (D, +, ×) k nm = 10 n p+q 5 p p+q sont D k+l k = q ±10 2 5 sont les éléments l . Alors . et 5, autrement dit que 2 m 10 x n s'écrit est inversible dans D p ±2 5 q . Posons . Mais on peut aussi écrire 10 p+q p ±2 5 10 Exercice 6 k et montrons que est élément de k Ainsi, les inversibles de q , l n10 − m10 x − y = D ⊂ Q k q p ∈ D. , avec p, q, k ∈ N . - Un anneau d'entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 4/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux On considère Z[√2] = {a + b√2; a, b ∈ Z} . 1. Montrer que (Z[√2], +, ×) est un anneau. 2. On note N (a + b√2) = a − 2b . Montrer que, pour tous x, y de Z[√2], on a N (xy) = N (x)N (y). 3. En déduire que les éléments inversibles de Z[√2] sont ceux s'écrivant a + b√2 avec a − 2b = ±1. 2 2 2 2 Indication 1. Montrer que c'est un sous-anneau de (R, +, ×). 2. Il suffit simplement de vérifier l'égalité. 3. Si x est inversible d'inverse y, on a N (xy) = 1 = 1 simplifier N (x)N (y) . Réciproquement, en utilisant la quantité conjuguée. a+b√2 Corrigé 1. Il suffit de prouver que c'est un sous-anneau de stable par la loi + : (a + b√2) + (a stable par la loi × : ′ ′ (R, +, ×) ′ . Mais Z[√2] ′ ′ est + b √2) = (a + a ) + (b + b )√2 ′ ′ ′ ′ . ′ (a + b√2) × (a + b √2) = (aa + 2bb ) + (ab + a b)√2 . stable par passage à l'opposé De plus, 1 ∈ Z[√2] −(a + b√2) = −a + (−b)√2 , ce qui achève la preuve du fait que Z[√2] . est un sous-anneau de R . 2. Posons x = a + b√2 et y = a + b √2. En tenant compte de la formule pour le produit obtenue à la question précédente, on a ′ ′ ′ ′ N (xy) = (aa + 2bb ) ′ = (aa ) 2 2 ′ ′ − 2(ab + a b) ′ − 2(ab ) 2 ′ − 2(a b) 2 2 ′ 2 + 4(bb ) . D'autre part, N (x) × N (y) = (a 2 2 − 2b )(a ′ = (aa ) 3. Soit 2 ′2 ′ − 2b − 2(ab ) 2 ′2 ) ′ − 2(a b) 2 ′ 2 + 4(bb ) . . Supposons d'abord que x est inversible, d'inverse y. Alors , et donc N (x)N (y) = 1. Puisque N (x) et N (y) sont tous les deux des entiers, on a nécessairement N (x) = ±1. Réciproquement, si N (x) = ±1, alors, en utilisant la quantité conjuguée : x = a + b√2 N (xy) = N (1) = 1 1 a − b√2 = a + b√2 ce qui montre que Exercice 7 a + b√2 a 2 − 2b 2 = ±(a − b√2) est inversible, d'inverse ±(a − b√2) . - Caractéristique d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A l'ordre de 1 dans le groupe additif Dans la suite, on supposera que A est de caractéristique finie n. A (A, +) . 1. Démontrer que, pour tout x ∈ A, nx = 0. 2. Démontrer que si A est intègre, n est un nombre premier. https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 5/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux 3. Démontrer que si d'anneaux. A est intègre et commutatif, alors x ↦ x n est un morphisme Indication 1. nx = n(1A x). 2. Raisonner par contraposée, en supposant donc que n n'est pas premier. p 3. Démontrer que, si p est premier et 1 ≤ k ≤ p − 1, alors p|(k). Corrigé 1. Il s'agit juste d'un jeu d'écriture! On écrit en effet : nx = n(1A x) = (n1A )x = 0A x = 0A . 2. Raisonnons par contraposée. Supposons que n = pq avec 1 < p, q < n. Alors posons et y = q1A . Ni x ni y ne sont nuls puisque 1A est d'ordre exactement n. Pourtant, leur produit xy = (pq)1A est nul et A n'est pas intègre. On vient de démontrer que si n n'est pas premier, alors A n'est pas intègre. Donc A intègre entraîne n premier. 3. On va noter n = p pour souligner que n est un nombre premier, et f (x) = xp . Il n'y a pas de difficultés à vérifier que f (1A ) = 1A et f (xy) = f (x)f (y) (par la commutativité de A) pour tous x, y ∈ A. D'autre part, on a x = p1A p f (x + y) = (x + y) p = ∑( k=0 p−1 p k )x y k p−k = x p + y p + ∑( k=1 D'après le résultat de la première question, il suffit de vérifier que k = 1, … , p − 1. Mais on a p! = ( p k )x y k p p|( ) k p−k . pour tout p ) × k! × (p − k)!. k On a donc p|( p ) × k! × (p − k)!. k Mais comme p est premier et que les décompositions en produits de facteurs premiers de k! et de (p − k)! ne font intervenir que des nombres premiers strictement inférieurs à p, p est premier avec le produit k! × (p − k)!. Ainsi, f est bien un morphisme d'anneaux. Exercice 8 - Sous-anneaux de Z 2 p p|( ) k , et on a bien f (x + y) = f (x) + f (y) . [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Pour d ∈ N , on note 2 Ad = {(x, y) ∈ Z ; y − x ∈ dZ} . 1. Démontrer que, pour tout d ∈ N, A est un sous-anneau de Z . 2. Réciproquement, soit A un sous-anneau de Z . Démontrer que est un sous-groupe de Z. 3. En déduire qu'il existe d ∈ N tel que A = A . 2 d 2 H = {x ∈ Z; (x, 0) ∈ A} d Indication 1. Pour la stabilité par le produit, il faut factoriser pour faire apparaitre des 2. https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo y − x . 6/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux 3. Z est principal. Comment retrouver (x, y) à partir de (x − y, 0) (et réciproquement?) Corrigé 1. Il est clair que 0Z et 1Z sont éléments de Ad . Considérons ensuite (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ Ad . Que (x + x′ , y + y ′ ) reste élément de Ad ne pose pas de problèmes. Pour le produit, on a 2 2 ′ ′ ′ ′ (x, y) × (x , y ) = (xx , yy ) et on a yy ′ − xx′ = (y − x)y ′ + x(y ′ − x′ ) d'où d|yy ′ − xx′ . 2. 0 ∈ H et si x, x′ ∈ H , alors (x − x′ , 0) = (x, 0) − (x′ , 0) ∈ A et donc x − x′ ∈ H . est un sous-groupe de Z. 3. Puisque Z est principal, il existe d ∈ N tel que H = dZ. Démontrons que A = Ad . D'une part, si (x, y) ∈ A, alors H (x − y, 0) = (x, y) − y(1, 1) ∈ A et donc , c'est-à-dire (x, y) ∈ Ad . Réciproquement, si (x, y) ∈ Ad , alors x − y ∈ dZ = H , ce qui signifie que (x − y, 0) ∈ A. On termine presque comme précédemment en écrivant que d|x − y (x, y) = (x − y, 0) + y(1, 1) ∈ A. Les sous-anneaux de Exercice 9 Z 2 sont donc tous de la forme Ad . - Anneau intègre fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que A est un corps. Indication Prendre a ∈ A non-nul et considérer x ↦ ax . Corrigé Fixons a ∈ A et considérons le morphisme de groupes (A, +) → (A, +), x ↦ ax. Alors ce morphisme de groupes est injectif, car son noyau est réduit à {0A } puisque A est intègre. Puisque A est fini, ce morphisme est nécessairement bijectif, et donc il existe x ∈ A tel que ax = 1A . Par commutativité de A, on a aussi xa = 1A et donc a admet un inverse : A est un corps. Remarquons que l'on peut se passer de l'hypothèse que A est commutatif, par exemple en faisant le même raisonnement avec x ↦ xa, et en prouvant que l'inverse à droite et l'inverse à gauche coïncident. Idéaux Exercice 10 - Annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit (A, +, ×) un anneau commutatif et M une partie de A. On appelle annulateur de M l'ensemble des x ∈ A tels que xy = 0 pour tout y ∈ M . Démontrer que l'annulateur de M est un idéal de (A, +, ×). Indication Corrigé Notons I cet ensemble. Il suffit d'appliquer la définition. En effet, prenons Alors, pour tout y ∈ M , on a u, v ∈ I et a ∈ A . (u − v)y = uy − vy = 0 https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 7/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux et (au)y = a(uy) = 0. Ainsi, u − v et Exercice 11 au sont dans I qui est un idéal. - Nilradical [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On appelle nilradical d'un anneau commutatif (A, +, ×) l'ensemble de ses éléments nilpotents, c'est-à-dire l'ensemble des x ∈ A pour lesquels il existe n ≥ 1 de sorte que x = 0. Démontrer que le nilradical de A est un idéal de A. n Indication Formule du binôme à une "grande" puissance... Corrigé Notons N (A) le nilradical de A. D'abord 0 ∈ N (A) qui est donc non vide. Prenons ensuite , x, y ∈ N (A), et m, n de sorte que xm = y n = 0. Remarquons d'abord que (ax) et donc ax ∈ N (A) m = a x m = 0 . De plus, par la formule du binôme de Newton, on a n+m−1 (x + y) n+m−1 = ∑ k=0 Or, si m a ∈ A n + m − 1 ( k )x y n+m−1−k . k , alors xk = 0 et si k < m, c'est-à-dire k ≤ m − 1, alors n + m − 1 − k ≥ n et n+m−1 y = 0. On a bien (x + y) = 0 et x + y ∈ N (A). Il est très facile de vérifier que l'on a aussi −x ∈ N (A). Finalement, on a bien prouvé que N (A) est un idéal de A. k ≥ m n+m−1−k Exercice 12 - Peu d'idéaux : c'est un corps! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A un anneau commutatif. 1. On suppose que A n'admet que les idéaux triviaux {0} et A. Démontrer que A est un corps. 2. On suppose que A est intègre et qu'il n'admet qu'un nombre fini d'idéaux. Démontrer que A est un corps. Indication 1. Prendre 2. Prendre x ∈ A x ∈ A et considérer l'idéal engendré par x. et considérer les idéaux In = xn A. Corrigé 1. Soit x ∈ A∖{0}. Alors l'idéal engendré par x ne peut pas être l'idéal {0}, donc c'est A tout entier. En particulier, il existe y ∈ A tel que yx = xy = 1A . C'est bien que A est un corps. 2. Prenons toujours x ∈ A∖{0} et considérons les idéaux In = xn A. Alors puisque A admet un nombre fini d'idéaux, il existe n < p tel que xn A = xp A. En particulier, il existe n p n p−n a ∈ A tel que x = x a. Ceci entraîne x (1 − x a) = 0. L'anneau étant intègre (et x p−n p−n−1 étant non nul), ceci entraine que x a = 1. x est alors inversible, d'inverse x a. Exercice 13 - Suites croissantes d'id'éaux de K[X] [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 8/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Enoncé Soit (I ) une suite croissante d'idéaux de est stationnaire. n K[X] , où K est un corps. Démontrer que la suite (In ) Indication Raisonner sur le degré du générateur de (In ) . Corrigé Méthode 1 : Il existe un unique polynôme unitaire Pn tel que In = (Pn ). De plus, la condition In ⊂ In+1 entraîne que Pn+1 |Pn . La suite (deg(Pn )) est donc une suite d'entiers naturels décroissante : elle est stationnaire. Soit p ∈ N tel que, pour tout n ≥ p, on a deg(Pn ) = deg(Pp ). On a alors Pn |Pp , Pn et Pp sont unitaires et de même degré, donc ils sont égaux et In = Ip . La suite (In ) est bien stationnaire. Méthode 2 : Posons I = ⋃n In . Puisque la suite (In ) est croissante, il est facile de vérifier que I est un idéal. Il existe P ∈ K[X] tel que I = (P ). Mais alors, il existe N ∈ N tel que P ∈ IN . On prouve alors que pour tout n ≥ N , on a In = (P ). En effet, on a In ⊂ I = (P ), et P ∈ IN ⊂ In ⟹ (P ) ⊂ In . Exercice 14 - Produit et Somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. Si I et J sont deux idéaux de A , on note I + J = {i + j; i ∈ I , j ∈ J } I . J = {i1 j1 + ⋯ + in jn ; n ≥ 1, ik ∈ I , jk ∈ J } On dit que deux idéaux 1. 2. 3. 4. Montrer Montrer Montrer Montrer I et J sont étrangers si I + J = A . que I + J et I J sont encore des idéaux de A. que I . J ⊂ I ∩ J . que (I + J ). (I ∩ J ) ⊂ I . J . que si I et J sont étrangers, alors I . J = I ∩ J . Indication 1. Il suffit d'écrire la définition? 2. i ∈ I , j ∈ J implique ij ∈ I par exemple. 3. 4. Ecrire x = 1.x. Corrigé 1. Commençons par I + J . Il faut d'abord démontrer que c'est un sous-groupe de (A, +). Mais 0 = 0 + 0 ∈ I + J . D'autre part, si x et y sont éléments de I + J , on les écrit ′ ′ x = i + j, y = i + j , et on a ′ ′ x − y = (i − i ) + (j − j ) ∈ I + J puisque i − i′ rapport à + : ∈ I et j − j ′ ∈ J . D'autre part, pour a ∈ A , on a, par distributivité de × par ax = ai + aj ∈ I + J puisque, I et J étant deux idéaux, ai ∈ I et aj ∈ J . Ceci prouve que I + J est un idéal. n Passons maintenant à I . J : 0 × 0 = 0 est élément de I . J . De plus, si x = ∑k=1 ik jk et y = ∑ m l=1 ′ ′ l l i j , en posant ik = −i ′ k−n et j ′ k = j ′ k−n pour k allant de https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo n + 1 à n + m , on a 9/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux n+m x − y = ∑ i k jk k=1 ce qui prouve que I. J est un sous-groupe de (A, +) . Enfin, pour tout a dans A , on a n ax = ∑ (aik )jk ∈ I . J k=1 puisque chaque aik (resp. jk ) est élément de I (resp. de J ). n 2. Soit x = ∑k=1 ik jk un élément de I . J . Pour chaque k, ik jk est un élément de I puisque I est un idéal. Comme I est de plus stable par la somme, I . J est bien contenu dans I . Par symétrie du rôle joué par I et J , I . J est aussi contenu dans J et donc I . J est contenu dans I ∩ J . n 3. Soit x ∈ (I + J ). (I ∩ J ). On écrit x = ∑k=1 ak bk avec ak ∈ I + J et bk ∈ I ∩ J . Puisque I . J est un idéal, il suffit de prouver que ak bk ∈ I . J . On écrit ak = ik + jk , de sorte que ak b k = i k b k + b k j k . C'est un élément de I . J , car ik ∈ I , bk ∈ J et bk ∈ I , jk ∈ J . 4. Il suffit de prouver que I ∩ J ⊂ I . J . D'après la question précédente, on a A. (I ∩ J ) ⊂ I . J . Prenons x ∈ I ∩ J . Alors x = 1A x ∈ A. (I ∩ J ) ⊂ I . J Ceci prouve l'inclusion restante. Exercice 15 - Idéaux de Mn (R) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Pour 1 ≤ i, j ≤ n, on note E la matrice élémentaire ayant tous ses coefficients nuls, sauf le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne qui vaut 1. i,j 1. Rappeler la formule donnant E E . 2. Soit M = (a ) ∈ M (R). Que vaut E M ? M E . 3. Démontrer que les seuls idéaux de M (R) sont {0} et i,j i,j k,l n i,j k,l n Mn (R) . Indication 1. 2. 3. Si I contient une matrice non identiquement nulle, démontrer en utilisant la question précédente que I contient la matrice Ei,j pour tous i, j de {1, … , n}. Corrigé 1. C'est du cours! 2. Si on écrit lignes de Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l M = ∑ Ei,j M même, écrivant k,l ak,l Ek,l . , on a Ei,j M = ∑ n l=1 aj,l Ei,l . Autrement dit, toutes les sont nulles, sauf la i-ème ligne constitué de la j-ième ligne de M = ∑ i,j ai,j Ei,j , on a M Ek,l = ∑ i,j ai,j Ei,j Ek,l = ∑ n i=1 M ai,l Ei,l . De . 3. Soit I un idéal de Mn (R) et supposons le non réduit à {0}. Soit M = (ai,j ) ≠ 0 un élément de I . Il existe donc i0 , j0 tels que ai ,j ≠ 0. Fixons ensuite i, j dans {1, … , n}. Par les formules précédents, on sait que 0 0 1 ai0 ,j0 Ei,i0 M Ej0 ,j = Ei,j . Mais puisque I est un idéal, c'est un élément de I . Donc Ei,j ∈ I . On en déduit alors facilement, par les propriétés d'idéal de I , que toute matrice est élément de I . https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 10/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Exercice 16 - Idéaux de Zp . [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un nombre premier. On note p m Zp = {x = ∗ ; (m, n) ∈ Z × N , p ∧ n = 1} . n 1. Vérifier que Z est un sous-anneau de 2. Soit k ≥ 0. On note p J p k = { m . ∗ k ; (m, n) ∈ Z × N , p ∧ n = 1, p |m} . n Vérifier que J est un idéal de Z . 3. Réciproquement, montrer que si p (Q, +, ×) k p I est un idéal de Zp , il existe tel que k ≥ 1 I = J pk . Indication 1. 2. 3. Poser que p k ∗ k = max{l ≥ 0; ∀x ∈ I , ∃(m, n) ∈ Z × N , x = ∈ I m n l , p |m, p ∧ n = 1} et prouver . Corrigé 1. La preuve est facile et laissée au lecteur : le point clé est que si avec n′ , alors p est premier avec le produit nn′ . 2. D'abord, on peut remarquer que éléments de J pk 0 ∈ J pk . Prenons ensuite ′ z = ′ p ∧ (nn ) = 1 ∈ Zp b n et y = , alors bien un idéal de (voir plus haut) et xz = Zp . am bn k p |m est tel que , m ′ n′ n et deux ′ mn − m n nn a m est premier avec . Alors x − y = avec x = p k p |m k p |am et ′ et donc ′ k ′ ′ p |mn − m n p ∧ (bn) = 1 , et donc . Ensuite, si xz ∈ Jpk . est J pk l 3. Posons k = max{l ≥ 0; ∀x ∈ I , ∃(m, n) ∈ Z × N∗ , x = m , p |m, p ∧ n = 1} et n prouvons que I = Jp . D'abord, il est clair que I ⊂ Jp . Réciproquement, soit x ∈ Jp , il faut prouver que x ∈ I . Par définition de k, on sait que l'on peut trouver y = a ∈ I tel que k k k b k a = p a Puisque x = p de Zp avec ′ ′ a ∧ p = b ∧ p = 1 . Mais alors, est un idéal, ceci entraine que I p k ′ b est inversible dans = y × ′ avec p ∧ n = 1, on en déduit que n sont de la forme Jp . k m a x ∈ I b a ′ ∈ I Zp , d'inverse . Mais alors, puisque x b a′ . s'écrit . On a bien démontré que tous les idéaux k Exercice 17 - Idéaux de l'anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit E un ensemble fini et A = P(E) . 1. Montrer que (A, Δ, ∩) est un anneau commutatif. Est-il intègre? 2. Soit E ⊂ E. Démontrer que I = P(E ) est un idéal de A. 3. Réciproquement, soit I un idéal de A. Prouver que ′ ′ https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 11/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux ∀X ∈ I , ∀Y ⊂ X, Y ∈ I { ∀X ∈ I , ∀Y ∈ I , X ∪ Y ∈ I . 4. En déduire qu'il existe E ⊂ E tel que I = P(E ). 5. Si E est infini, démontrer que l'ensemble des parties finies de n'est pas de la forme P(E). ′ ′ E forme un idéal de A qui Indication 1. 2. 3. 4. 5. Vérifier la définition. Vérifier la définition. Écrire la réunion avec une différence symétrique. Poser E ′ la réunion des éléments de I . Corrigé 1. Il faut vérifier la définition, car A n'apparait pas comme un sous-anneau d'un anneau connu. On remarque d'abord que les lois Δ et ∩ sont deux lois internes, commutatives et associatives (ce n'est pas si facile pour Δ et cela mérite une petite démonstration….). De plus, (A, Δ) est un groupe commutatif dont l'élément neutre est ∅ et le symétrique de X ∈ A est X . Enfin, la loi ∩ est distributive par rapport à la loi Δ : si X, Y , Z ∈ A, alors soit x ∈ (XΔY ) ∩ Z , ce qui signifie x ∈ Z et (x ∈ X∖Y ou x ∈ Y ∖X). Si x ∈ X , alors x ∈ X ∩ Z et x ∉ Y d'où x ∉ Y ∩ Z , et de même, si x ∈ Y , alors x ∈ Y ∩ Z mais x ∉ X ∩ Z . On en déduit que x ∈ (X ∩ Z)Δ(Y ∩ Z). L'inclusion réciproque se prouve exactement de la même façon, en séparant le cas x ∈ (X ∩ Z)∖(Y ∩ Z) du cas x ∈ (Y ∩ Z)∖(X ∩ Z). 2. D'abord, (P(E ′ ), Δ) est bien un groupe commutatif (démonstration similaire à celle de la question précédente). Ensuite, si X ∈ P(E ′ ) et Y ∈ A, alors X ∩ Y ⊂ X ⊂ E ′ et donc ′ ′ X ∩ Y ∈ P(E ). C'est bien que P(E ) est un idéal de A. 3. D'abord, si X ∈ I et si Y ⊂ X , par définition d'un idéal, Y ∩ X est dans I . Mais Y ∩ X = Y , et donc Y ∈ I . Prenons ensuite X, Y ∈ I et posons X1 = X∖Y . Alors X1 et Y sont disjoints, et donc X1 ΔY = X1 ∪ Y = X ∪ Y . De plus, puisque I est un idéal et que X1 ∈ I par la première partie de cette question, on en déduit que X1 ΔY ∈ I . I est alors stable par réunion. 4. Posons E ′ la réunion de tous les éléments qui sont dans I . Cette réunion est nécessairement finie, et en effectuant une petite récurrence à partir de la question précédente, on démontre que E ′ ∈ I . Par la question précédente, il est clair que P(E ′ ) ⊂ I . Mais, si X ∈ I , alors X ⊂ E ′ par définition de E ′ et donc X ∈ P(E ′ ). Ainsi, I = P(E ′ ). 5. Il est très facile de vérifier que l'ensemble des parties finies forme un idéal de A. Il n'est pas de la forme P(E ′ ) : si c'était le cas, prenons x ∈ E , et X = {x}. Alors X est élément de l'idéal et donc X ∈ P(E ′ ) soit x ∈ E ′ . On aurait donc E = E ′ , mais dans l'idéal on n'a pas pris les parties infinies de E et l'idéal est différent de P(E). Exercice 18 - Radical d'un idéal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A un anneau commutatif (unitaire). Si ∈ I }. √I = {x ∈ A; ∃n ≥ 1, x I est un idéal de A , on appelle radical de I l'ensemble n 1. Montrer que √I est un idéal de A. 2. Soient I , J deux idéaux de A et p ≥ 1. Montrer que √I . J = √I ∩ J = √I ∩ √J , √√I = √I et √I 3. Si A = Z et I = kZ , k ≥ 1 p = √I . , déterminer le radical de I . https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 12/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Indication 1. Pour montrer la stabilité par la loi +, on pourra utiliser la formule du binôme à une bonne puissance de (x + y). 2. Pour les trois premières égalités, raisonner par inclusions successives (1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ 1) fonctionne. On pourra remarquer que si xn ∈ I et xm ∈ J , alors xn+m ∈ I . J . α α 3. Décomposer k en produits de facteurs premiers k = p1 … pr et prouver que n ∃n ≥ 1, k|x est équivalent à x ∈ (p1 … pr )Z. r 1 Corrigé 1. On commence par remarquer que si xn ∈ I , alors pour tout k ≥ n, xk = xk−n xn ∈ I (qui est un idéal). Montrons d'abord que (√I , +) est un sous-groupe de (A, +). En effet, (prendre n = 1). De plus, si x est dans √I alors puisque xn ∈ I et que I est un idéal. Prenons maintenant x, et n, m ∈ N tels que xn ∈ I , y m ∈ I . Alors, par la formule du binôme que l'on peut appliquer dans l'anneau \textbf{commutatif} A, on a 0 ∈ √I (−x) n puisque I ⊂ √I n = (−1) x n ∈ I n+m (x + y) n+m k=0 Or, si k ≥ n + m = ∑ ( k )x y k n+m−k y ∈ I . , alors n + m − k ≥ m et donc y n+m−k ∈ I , ce qui entraine xk y n+m−k ∈ I . Si k k n+m−k n, cette fois x ∈ I et donc x y ∈ I . (I , +) étant un sous-groupe de (A, +), on k ≤ n en déduit que (x + y) n+m ∈ I , c'est-à-dire x + y ∈ √I . Finalement, prouvons que pour a ∈ A et x ∈ √I , alors ax ∈ √I . Soit n ≥ 0 tel que xn ∈ I . Alors (ax)n = an xn ∈ I , ce qui prouve le résultat. 2. Soit x ∈ √I . J . Il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ I . J , c'est-à-dire xn = ∑k ak bk avec n n ak ∈ I et bk ∈ J . Alors x ∈ I puisque I est un idéal et x = ab, a ∈ I , et de même n x ∈ J (on utilise en fait que I . J ⊂ I ∩ J ). Ainsi, x ∈ √I ∩ J . Soit maintenant x ∈ √I ∩ J . Alors il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ I et xn ∈ J . Donc et x ∈ √J , soit x ∈ √I ∩ √J . Finalement, soit x ∈ √I ∩ √J . Alors il existe x ∈ √I Alors On a x n+m = x x I ⊂ √I n ≥ 1 n tel que m ∈ I. J et donc x n , et donc √I ⊂ √√I ∈ √I . Posons n, m ≥ 1 √I ∩ √J ⊂ √I . J tels que y = x ∈ √I . Il existe n ∈ I et x m ∈ J . . . Réciproquement, prenons n x m ≥ 1 x ∈ √√I tel que y . Il existe m ∈ I . Alors, = y ∈ I et donc x ∈ √I . La dernière égalité se prouve de façon tout à fait identique! 3. Soit x ∈ Z. x est dans √kZ si et seulement si il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ kZ. α α Autrement dit, k|xn . Décomposons k en produits de facteurs premiers : k = p1 … pr . On obtient que pi |xn ⟹ pi |x pour tout i = 1, … , r et donc p1 … pr |x, ce qui peut encore s'écrire x ∈ (p1 … pr )Z. Réciproquement, si x ∈ (p1 … pr )Z, alors, x s'écrit x = p1 … pr m x nm m r 1 . Notant Exercice 19 n = maxi∈{1,…,r} (αi ) , on a k|x n . Ainsi, on a prouvé que √I = (p1 … pr )Z . - Idéaux d'un anneau produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A A × B et B deux anneaux commutatifs et soit K ⊂ A × B. Démontrer que K est un idéal de si et seulement si K = I × J , où I est un idéal de A et J est un idéal de B. Indication Partant de K , on pourra poser I = pA (K) et J = pB (K) où pA et pB sont les projections canoniques. Pour montrer que I × J ⊂ K , on pourra utiliser que si (x, b) ∈ K , alors (x, 0) https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo ∈ K 13/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux par la structure d'idéal de K . Corrigé D'une part, il est facile (et laissé au lecteur) de vérifier que si I et J sont deux idéaux respectifs de A et B, alors I × J est un idéal de A × B. Réciproquement, fixons K un idéal de A × B et construisons des idéaux I de A et J de B tels que K = I × J . On désigne par pA : A × B → A et pB : A × B → B les projections respectives sur A et B, et on pose I = pA (A), J = pB (B). Comme pA et pB sont des morphismes surjectifs, I et J sont des idéaux respectivement de A et de B. Prenons ensuite z ∈ K . Alors z = (pA (z), pB (z)) est bien un élément de I × J . Pour l'autre inclusion, fixons (x, y) ∈ I × J et prouvons que (x, y) ∈ K . Puisque x ∈ I , il existe b ∈ B tel que (x, b) ∈ K . Puisque y ∈ J , il existe a ∈ A tel que (a, y) ∈ K . Maintenant, (1, 0) ⋅ (x, b) = (x, 0) ∈ K (puisque K est un idéal) et de même (0, 1) ⋅ (a, y) = (0, y) ∈ K . Par somme, (x, 0) + (0, y) = (x, y) ∈ K . Exercice 20 - Idéaux premiers - idéaux maximaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A un anneau commutatif. On dit qu'un idéal I est premier si xy ∈ I ⟹ x ∈ I ou dit que I est maximal si, pour tout idéal J de A tel que I ⊂ J , on a J = I ou J = A. 1. Déterminer les idéaux premiers de Z. 2. Soit I un idéal et x ∈ A∖I . Soit J l'idéal engendré par I y ∈ I . On et x. Montrer que J = {a ∈ A; ∃i ∈ I , ∃k ∈ A, a = i + kx} . 3. En déduire que tout idéal maximal est premier. 4. Montrer que si tous les idéaux de A sont premiers, alors A est un corps. 5. Montrer que si A est principal, tout idéal premier est maximal. 6. (pour ceux qui savent quotienter par un idéal) Soit I un idéal de A. Montrer que I est premier si et seulement si A/I est intègre. Montrer que I est maximal si et seulement si A/I est un corps. En déduire une autre preuve que I maximal entraine I premier. Indication 1. Factoriser en produits de facteurs premiers un générateur de I . 2. Poser K = {a ∈ A; ∃i ∈ I , ∃k ∈ A, a = i + kx}, vérifier que K est un idéal, puis que tout idéal de A contenant I et x contient K . 3. Soit x, y ∈ A tels que xy ∈ I et x ∉ I . Considérer l'idéal engendré par I et x pour prouver que y ∈ I . 4. Montrer d'abord que A est intègre en utilisant l'idéal engendré par 0. Puis, pour un élément x non nul, considérer l'idéal engendré par x2 . 5. Soit I = (a) un idéal et I ⊂ J = (b). Ecrire que a = bc et donc b ∈ I ou c ∈ I et discuter. 6. Pour la partie intègre, un raisonnement direct convient. Pour la partie maximale, on peut utiliser que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de A contenant I . Corrigé 1. Soit un idéal de Z. Si n n'est pas premier, alors n se factorise en ab avec . Mais, ou bien a ∈ I , ou bien b ∈ I et donc a ou b est un multiple de n ce qui est une contradiction. Réciproquement, si n est premier et xy ∈ I , ie n|xy, alors, par le théorème de Gauss, n|x ou n|y, ce qui prouve x ∈ I ou y ∈ I . En résumé, nZ est un idéal premier si et seulement si n est premier. 2. On pose K = {a ∈ A; ∃i ∈ I , ∃k ∈ A, a = i + kx} et on va montrer que K = J . On remarque d'abord que K est un idéal (la preuve est facile!) et qu'il contient I et x. D'autre part, soit J ′ un idéal de A contenant I et x, et soit a = i + kx un élément de K . Puisque I = nZ 1 < a, b < n https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 14/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux , on a i ∈ J et puisque x ∈ J , on a kx ∈ J ′ . Ainsi, K ⊂ J ′ : K est bien l'idéal engendré par I et x. 3. Soit I un idéal maximal et x, y ∈ A tels que x ∉ I et xy ∈ I . On doit prouver que y ∈ I . Pour cela, on considère J l'idéal engendré par I et x. Puisque I est maximal et que J est contient strictement I , on sait que J = A. Or, d'après la question précédente, tout élément de J s'écrit i + kx, i ∈ I et k ∈ A. Ainsi, 1 = i + kx. On multiplie par y et on obtient I ⊂ J ′ ′ ′ y = yi + k(xy). Mais yi ∈ I car I est un idéal, k(xy) aussi et donc y est aussi élément de I ce qui termine la démonstration. 4. On commence par démontrer que A est intègre. En effet, l'idéal engendré par 0 est premier. Donc, si xy ∈ (0) = {0}, alors x = 0 ou y = 0 et donc A est intègre. Soit ensuite x ∈ A non nul. Il s'agit de démontrer que x est inversible. On considère I l'idéal engendré par x2 . Alors x × x ∈ I . Puisque I est premier, x ∈ I . Mais comme I est l'idéal engendré par x2 , il existe b ∈ A tel que x = bx2 . On regroupe et on factorise en x(1 − bx) = 0. Puisque A est intègre et x est non-nul, on obtient 1 = bx et donc x est inversible d'inverse b. 5. Soit I = (a) un idéal premier de A et soit J un idéal avec I ⊂ J . Puisque A est principal, J = (b). Puisque I ⊂ J , a = bc pour c ∈ A. Puisque I est premier, on a ou bien b ∈ I , mais alors (b) ⊂ I et donc J = I . ou bien c ∈ I , donc c s'écrit xa et on a a = bxa. Puisque A est principal, donc intègre, ceci entraine bx = 1, c'est-à-dire que b est inversible et J = A. Ceci prouve que I est maximal. 6. On a è A/I int gre ¯ ¯¯¯ ¯ ¯ ⟺ ∀x, y ∈ A, x y = 0 ⟺ ∀x, y ∈ A, xy ∈ I ⟺ I est premier. ⟹ ⟹ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ x = 0 ou y = 0 x ∈ I ou y ∈ I Pour la seconde assertion, on peut remarquer que A/I est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont {0} et lui-même. Puisque les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de A contenant I , on en déduit que A/I est un corps si et seulement si les seuls idéaux de A contenant I sont I et A, c'est-à-dire si et seulement I est maximal. Enfin, puisqu'un corps est intègre, on a bien I maximal entraine I premier. Anneaux principaux Exercice 21 - Z 2 est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On souhaite étudier dans cet exercice les idéaux de 1. Soit I un idéal de Z et I = {x ∈ Z; I et I sont deux idéaux de Z. 2. Démontrer que I = I × I . 3. Conclure. 2 1 1 Z 2 . (x, 0) ∈ I } , I2 = {y ∈ Z; (0, y) ∈ I } . Démontrer que 2 1 2 Indication 1. 2. Double inclusion. 3. Corrigé 1. I1 est non-vide car . Soient x, y et (kx, 0) = (0, 0) ∈ I (x − y, 0) = (x, 0) − (y, 0) ∈ I ∈ I et k ∈ Z . Alors (k, 2025) × (x, 0) ∈ I https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo d'où x − y et kx ∈ I1 . 15/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux 2 est un idéal de Z et la preuve est similaire pour I2 . 2. Soit (x, y) ∈ I1 × I2 . Alors (x, 0) ∈ I , (0, y) ∈ I d'où (x, y) = (x, 0) + (0, y) ∈ I . Ainsi, on a I1 × I2 ⊂ I . Réciproquement, si (x, y) ∈ I , alors (x, 0) = (1, 0) × (x, y) ∈ I et donc x ∈ I1 . De même, y ∈ I2 et donc (x, y) ∈ I1 × I2 . 3. Z étant principal, il existe des entiers a et b tels que I1 = aZ et I2 = bZ. Alors d'après 2 la question précédente, I = aZ × bZ = (a, b)Z . I1 Exercice 22 - L'anneau des nombres décimaux est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit (D, +, ×) l'anneau des nombres décimaux, c'est-à-dire l'ensemble des nombres de la forme , avec n ∈ Z et k ∈ N. Démontrer que cet anneau est principal. n 10 k Indication Considérer un idéal I de D et utiliser que I ∩ Z est un idéal de Z , donc... Corrigé Soit I a ∈ Z a ∈ I un idéal de D. Alors I ∩ Z est un idéal de Z, qui est un anneau principal. Il existe donc tel que I ∩ Z = aZ. On va prouver que I = aD. Il est d'abord clair que aD ⊂ I puisque et que I est un idéal. Réciproquement, soit x = n ∈ I . Alors n = 10k x ∈ I ∩ Z et donc 10 n = am D pour un certain du type aD Exercice 23 m ∈ Z , avec a ∈ Z - Z/nZ . Ainsi, m x = 10 . k a ∈ aD k . Les idéaux de D sont donc les parties de est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit . Démontrer que tous les idéaux de l'anneau est-il principal? n ≥ 2 Z/nZ Z/nZ sont principaux. A quelle condition Indication "Remonter" un idéal de Z/nZ en un idéal de Z . Corrigé Soit I un idéal de Z/nZ, et J = {m ∈ Z; est non-vide, et si u, v ∈ J , k ∈ Z, alors m̄ ∈ I } ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ u + v = ū + v̄ ∈ I ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ku = k̄ × ū ∈ I . Alors J est un idéal de ⟹ u + v ∈ J ⟹ ku ∈ J . Z . Il est non-vide car I Ainsi, il existe a ∈ Z tel que J = aZ. De plus, on peut aussi remarquer que, puisque nZ ⊂ J , on doit avoir a|n. Démontrons alors que I = āZ/nZ. Puisque ā ∈ I , il est clair que āZ/nZ ⊂ I . Réciproquement, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ soit ū ∈ āZ/nZ. Alors ū = ā × k̄ = ak et donc u ∈ aZ + nZ = aZ puisque a|n. Ainsi, ū ∈ I , ce qui prouve l'inclusion réciproque. Ainsi, on a prouvé que tous les idéaux de Z/nZ sont principaux. Pour que l'anneau lui-même soit principal, il faut encore qu'il soit intègre. Ceci n'est vrai que si n est premier. Exercice 24 - Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit 2 Z[i] = {a + ib; a, b ∈ Z } . 1. Démontrer que Z[i] est un sous-anneau de (C, +, ×). 2. Quels sont les éléments inversibles de Z[i]? 3. Soit z ∈ C. Démontrer qu'il existe ω ∈ Z[i] tel que |z − ω| < 1. https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 16/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux 4. Soient u, v ∈ Z[i] avec v ≠ 0. Démontrer qu'il existe A-t-on unicité? 5. Démontrer que Z[i] est principal. q, r ∈ Z[i] avec u = qv + r et |r| < |v| . Indication 1. 2. Si a + ib est inversible dans Z[i], son inverse est nécessairement le même que dans 3. Approcher partie réelle et partie imaginaire par l'entier le plus proche. 4. Approcher u/v par la question précédente. 5. S'inspirer de la preuve de Z ou K[X] est principal. Le rôle du degré est joué par la valeur absolue. C . Corrigé 1. Il suffit de vérifier les propriétés… La preuve est laissée au lecteur! 2. Soit a + ib un élément de Z[i] inversible. Son inverse est nécessairement le même que dans C, c'est-à-dire 1 a = a + ib On ne peut pas avoir (a, b) = (0, 0) a . Si 2 + b |a| ≥ 2 2 b − i a , alors 2 + b même si |b| ≥ 2 b , 2 a +b 2 ne peut pas être un entier, et de a 2 a +b . 2 2 ne peut pas être un entier. On a donc |a| ≤ 1 et |b| ≤ 1 . Mais le cas ne convient pas non plus. Donc les seules possibilités sont (±1, 0) et (0, ±1) qui donnent effectivement des éléments inversibles. Z[i] possède donc 4 éléments inversibles : 1, −1, i, −i. 3. Écrivons z = x + iy. On approche x et y par l'entier le plus proche : il existe a ∈ Z et (a, b) = (±1, ±1) b ∈ Z tels que |x − a| ≤ 1 2 |z − ω| et 2 |y − b| ≤ = (x − a) 2 1 2 . Mais alors, si on pose + (y − b) 4. D'après la question précédente, il existe ∣ u ∣ v 2 1 ≤ q ∈ Z[i] − q ∣ ∣ 4 1 + 4 ω = a + ib , on obtient 1 ≤ 2 < 1. tel que < 1. Posons r = v ( uv − q) . Alors |r| < |v| et on a bien u = qv + r. On n'a pas en général unicité de cette "division euclidienne" car on n'a pas unicité dans l'approximation de la question précédente. Prenons par exemple u = 1 + i et v = 2, de sorte que u/v peut être approché par 0 ou 1 (ou aussi par i et 1 + i). On peut alors écrire les deux divisions 1 + i = 0 × 2 + (1 + i) 1 + i = 1 × 2 + (−1 + i) avec chaque fois le module du reste inférieur strict à 2. 5. Soit I un idéal de Z[i] non réduit à {0}. On considère a ∈ I ∖{0} tel que |a| est minimal. Ceci a un sens, car |z| ≥ 1 pour tout z ∈ Z[i]∖{0}, et il y a seulement un nombre fini d'éléments de Z[i] de module inférieur à un réel donné. On va alors démontrer que I est l'idéal engendré par a. Pour cela, prenons u ∈ I et effectuons la division euclidienne donnée par la question précédente : u = qa + r avec |r| < |a|. Mais alors, u ∈ I , qa ∈ prouve que u ∈ aZ[i]. I et donc r ∈ I . Par minimalité de |a| https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo , on doit avoir |r| = 0 , ce qui 17/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Exercice 25 - Suite d'idéaux et anneau principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A un anneau principal. 1. On suppose que toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est stationnaire. Montrer que A est un corps. 2. Démontrer que toute suite croissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est stationnaire. Indication 1. Considérer a un élément non nul, et la suite d'idéaux 2. L'union d'une suite croissante d'idéaux est un idéal... n In = (a ) . Corrigé 1. Soit a un élément non-nul de A, et In l'idéal engendré par an . Alors In+1 ⊂ In . En effet, si x ∈ In+1 , x s'écrit an+1 u, soit encore an (au). Ainsi, la suite (In ) est décroissante et donc stationnaire. Soit p un entier tel que Ip = Ip+1 . En particulier, ap est élément de Ip+1 , c'està-dire que ap = ap+1 u, u ∈ A. On peut réécrire ceci en ap (1 − au) = 0 ce qui implique, car n A est intègre et a, donc a , sont non-nuls, 1 − au = 0 ⟺ au = 1. Ainsi, a est inversible. Comme a est arbitraire dans A∖{0}, A est un corps. 2. Notons (In ) une suite croissante d'idéaux de A et posons I = ⋃n In . Alors il est facile de vérifier que I est un idéal. Puisque A est principal, il existe a ∈ I tel que I est l'idéal engendré par a. Mais alors, il existe N ∈ N tel que a ∈ IN . On prouve alors que pour tout n ≥ N , on a In = aA. En effet, on a In ⊂ I = aA, et a ∈ IN ⊂ In ⟹ aA ⊂ In . Algèbre Exercice 26 - Algèbre des matrices qui commutent avec une autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A ∈ Mn (R) . On note C = {M ∈ Mn (R); AM = M A} . Montrer que C est une algèbre. Indication Démontrer que c'est une sous-algèbre de Mn (R) . Corrigé Il suffit de démontrer que C est une sous-algèbre de Mn (R), c'est-à-dire à la fois un sousanneau et un sous-espace vectoriel de Mn (R). Remarquons que la matrice nulle 0 et In sont membres de C . De plus, pour tous M , N ∈ C et tout λ ∈ R, alors on vérifie facilement que 1. 2. 3. MN ∈ C λM ∈ C ; ; M − N ∈ C C'est bien que Exercice 27 C . est une algèbre. - Une algèbre de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Pour a, b, c ∈ R , on note https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 18/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux a b c M (a, b, c) = ⎜ c a b ⎟ c a ⎛ ⎝ et E = {M (a, b, c); a, b, c ∈ R}. Démontrer que qu'espace vectoriel. E b ⎞ ⎠ une algèbre, et en donner une base en tant Indication Démontrer que E est une sous-algèbre de M3 (R) . Corrigé On va prouver que E est une sous-algèbre de M3 (R) . Pour cela, notons 0 1 0 0 0 1 A = ⎜0 0 1 ⎟ et B = ⎜ 1 0 0⎟. 0 0 1 0 ⎛ ⎝ 1 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 0 ⎞ ⎠ Alors il est clair que E = vect(I3 , A, B) et que la famille (I3 , A, B) est libre. On en déduit que est un sous-espace vectoriel de M3 (R) de dimension 3. De plus, un calcul rapide montre que ′ ′ E ′ M (a, b, c)M (a , b , c ) = M (aa' + bc' + cb', ab' + a'b + cc', ac' + a'c + bb'). E est stable par produit matriciel, et c'est une sous-algèbre de Exercice 28 M3 (R) . - Algèbres commutatives intègres de dimension finie sur R . [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit A une algèbre commutative intègre de dimension finie où 1 est l'élément neutre de A pour la multiplication. n ≥ 2 sur 1. Démontrer que tout a ∈ A non-nul est inversible. 2. Soit a ∈ A et non dans R = vect(1). Prouver que la famille famille (1, a, a ) est liée. 3. En déduire l'existence de i ∈ vect(1, a) tel que i = −1. 4. En déduire que dim(A) = 2. 5. En déduire que A est isomorphe à C. R . On identifie (1, a) R avec R.1 , est libre, tandis que la 2 2 Indication 1. Démontrer que l'application (linéaire) x ↦ ax est bijective, pour tout a ∈ A, a ≠ 0. 2. Puisque A est de dimension finie, il existe un polynôme P tel que P (a) = 0. Factoriser alors P . 3. Partir du polynôme précédent…et essayer de trouver −1 comme un carré. 4. Raisonner par l'absurde. Trouver j ≠ i tel que j2 = −1 et conclure... 5. Corrigé 1. Soit a ∈ A∖{0}. Alors ϕ : A → A, x ↦ ax est une application linéaire si l'on voit A comme un R-espace vectoriel. Elle est injective, car A est intègre et donc son noyau est réduit à {0}. Comme A est de dimension finie, l'application est bijective. Il existe x ∈ A tel que ax = 1, ce qui prouve que a est inversible. 2. 1 et a sont non-nuls et a ∉ vect(1). Donc (1, a) est libre. Maintenant, puisque A est de dimension finie n, la famille (1, a, a2 , … , an ) qui est constituée par n + 1 vecteurs est liée. Il existe un polynôme P ∈ Rn [X] tel que P (a) = 0. On factorise P en produit d'irréductibles, P = P1 ⋯ Pr . Alors https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 19/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux P1 (a) ⋯ Pr (a) = 0. Puisque A est intègre, il existe un k tel que Pk (a) = 0. Mais Pk est de degré au plus 2, et il ne peut pas être de degré 1 puisque (1, a) est libre. Donc Pk est de degré 2 et (1, a, a2 ) est liée. 3. Soient α, β tels a2 + αa + β = 0, avec Δ = α2 − 4β < 0 (conséquence de la question précédente). On a alors 2 α (a + 2 ) α 2 = − 4β 4 ce qui entraîne 2 2a + α ( ) = −1. √4β − α2 On a trouvé notre i! 4. Si dim(A) > 2, on pourrait trouver b tel que la famille (1, a, b) soit libre. Comme à la question précédente, on trouverait j ∈ vect(1, b) tel que j2 = −1. Mais alors, (i − j)(i + j) = 0 et par intégrité de A, un des deux facteurs doit être nul. Dans un cas comme dans l'autre, cela implique j ∈ vect(1, a) et donc b ∈ vect(1, a), puisque qu'on peut aussi dire que b ∈ vect(1, j). C'est une contradiction, et donc la dimension de A est deux. 5. L'isomorphisme est donné par 1A ↦ 1C et iA ↦ iC , dont on vérifie facilement que c'est un morphisme d'algèbre. Discussions des forums Norme d'une forme linéair … Application de matrice in … Comparaison de bornes Construction tangente ave … Transitivité de l'isomorp … Transitivité de l'isomorp … somme bimoniale Domaine de définition d'u … L'ensemble vide et la not … Treillis de groupe Minimisation problème con … Trigonométrie et systèmes … Ensemble de structures bi … calcul d'un périmètre . Comparaison de normes Accéder aux forums Mathématicienne du mois https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 20/21 20/11/2021 12:19 Exercices corrigés -Anneaux Yvonne Choquet-Bruhat (1923 - ) Toutes les biographies Signaler une erreur/Nous contacterMentions LégalesConfidentialité ContactConfidentialitéMentions légales https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo 21/21