Exercices corrigés -Anneaux

20/11/2021 12:19
Exercices corrigés -Anneaux
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo
1/21
[email protected]
Rechercher sur le site...
Bibm@th
Rechercher sur le site...
Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum
Bibliothèque d'exercicesBibliothèque de problèmesAutomatismes
Accueil
Lycée
Collège
Seconde
Supérieur
Math Sup 2020
Math Sup 2021
Math Spé
Capes
Agreg interne
BTS
Bibliothèques
Bibliothèque d'exercices
Bibliothèque de problèmes
Automatismes
Références
Dictionnaire
Biographie de mathématiciens
Formulaire
Lexique français/anglais
Thèmes
Cryptographie et codes secrets
Jeux et énigmes
Carrés magiques
Mathématiques au quotidien
Dossiers
Forum
Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'algèbre >
Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >
Exercices corrigés - Anneaux

20/11/2021 12:19
Exercices corrigés -Anneaux
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo
2/21
Structure d'anneaux
Exercice 1 - Éléments nilpotents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un élément d'un anneau est dit nilpotent s'il existe un entier tel que . On
suppose que est commutatif, et on fixe deux éléments nilpotents.
1. Montrer que est nilpotent.
2. Montrer que est nilpotent.
3. Montrer que est inversible.
4. Dans cette question, on ne suppose plus que est commutatif. Soit tels que
est nilpotent. Montrer que est nilpotent.
Indication
Soient tels que et .
1. Calculer avec .
2. Calculer .
3. Calculer .
4. Si , montrer que .
Corrigé
Soient tels que et .
1. Puisque et commutent, on a .
2. Remarquons d'abord que pour , on a . D'après la formule du
binôme, . Mais, pour ,
. D'autre part, pour , on a et donc
. Ainsi, . On pourrait même se contenter
de prendre la puissance .
3. L'idée est d'utiliser l'identité remarquable (toujours valable dans un anneau)
Si on l'applique pour , alors on obtient
ce qui implique que est inversible d'inverse .
4. Soit tel que . Alors
Ainsi, est nilpotent.
Exercice 2 - Anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un anneau est un anneau de Boole si, pour tout , . On fixe un tel
anneau.
1. Démontrer que, pour tout , .
2. Montrer que est commutatif.
Indication
1. Appliquer la propriété à

20/11/2021 12:19
Exercices corrigés -Anneaux
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo
3/21
2. Fixer et appliquer la propriété à .
Corrigé
1. On applique la propriété à l'élément . Il vient
Après simplification, on trouve , soit .
2. Soient . On doit prouver . Appliquons la propriété à l'élément . On
a
Après simplification, on trouve soit , soit en appliquant le
résultat de la question précédente.
Exercice 3 - Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un groupe commutatif. On note l'ensemble des endomorphismes de sur
lequel on définit la loi par . Démontrer que est un
anneau.
Indication
Vérifier tous les points de la définition d'un anneau.
Corrigé
On remarque d'abord que et sont bien des lois de composition interne sur . Ensuite,
on vérifie tous les points de la définition d'un anneau.
1. est un groupe commutatif. En effet, la loi est associative et
commutative, l'application est un élément neutre pour la loi , et tout
élément admet un inverse .
2. La loi est associative.
3. La loi possède un élément neutre, qui est l'application identité.
4. La loi est distributive par rapport à la loi : pour tous et tout
,
et
Ainsi, est un anneau.
Exercice 4 - Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit (c'est-à-dire que est l'ensemble des rationnels à
dénominateur impair). Démontrer que est un anneau. Quels sont ses éléments
inversibles?
Indication
Démontrer que c'est un sous-anneau de . Pour déterminer les éléments inversibles,
partir de qu'on suppose inversible, écrire que pour un certain , et en
déduire une condition nécessaire sur . Démontrer ensuite que cette condition est suffisante.

20/11/2021 12:19
Exercices corrigés -Anneaux
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo
4/21
Corrigé
On va démontrer que est un sous-anneau de . Pour cela, soient et
. Alors :
Comme , produit de deux nombres impairs, est impair, et que est non vide puisqu'il
contient , on en déduit que est bien un sous-anneau de .
Déterminons ensuite les inversibles de . Soit inversible, et soit tel que
. On en déduit que . En particulier, est nécessairement impair.
Réciproquement, si avec impair, alors est dans (si jamais , il suffit
d'écrire pour vérifier qu'il est bien dans ), et . Ainsi, les inversibles de sont
les éléments avec , , et impairs.
Exercice 5 - Décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'ensemble des nombres décimaux,
Démontrer que est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Démontrer qu'il s'agit d'un sous-anneau de . Pour déterminer les éléments inversibles,
partir de inversible, écrire avec , et obtenir une condition nécessaire
sur . Prouver ensuite que cette condition est suffisante.
Corrigé
On va prouver que est un sous-anneau de . On remarque d'abord que ,
puis que . De plus, soient et deux éléments de . Alors
sont clairement des éléments de , et est bien un sous-anneau de .
Déterminons ensuite les inversibles de . Soit inversible, d'inverse . Alors
On en déduit que les seuls diviseurs premiers de sont et , autrement dit que s'écrit
pour . Réciproquement, soit et montrons que est inversible dans . Posons
. Il suffit de vérifier que est élément de . Mais on peut aussi écrire
Ainsi, les inversibles de sont les éléments , avec .
Exercice 6 - Un anneau d'entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé

20/11/2021 12:19
Exercices corrigés -Anneaux
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/anneaux&type=fexo
5/21
On considère .
1. Montrer que est un anneau.
2. On note . Montrer que, pour tous de , on a
.
3. En déduire que les éléments inversibles de sont ceux s'écrivant avec
.
Indication
1. Montrer que c'est un sous-anneau de .
2. Il suffit simplement de vérifier l'égalité.
3. Si est inversible d'inverse , on a . Réciproquement,
simplifier en utilisant la quantité conjuguée.
Corrigé
1. Il suffit de prouver que c'est un sous-anneau de . Mais est
stable par la loi + : .
stable par la loi :
.
stable par passage à l'opposé .
De plus, , ce qui achève la preuve du fait que est un sous-anneau de .
2. Posons et . En tenant compte de la formule pour le produit
obtenue à la question précédente, on a
D'autre part,
3. Soit . Supposons d'abord que est inversible, d'inverse . Alors
, et donc . Puisque et sont tous les deux des
entiers, on a nécessairement . Réciproquement, si , alors, en
utilisant la quantité conjuguée :
ce qui montre que est inversible, d'inverse .
Exercice 7 - Caractéristique d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un anneau. On appelle caractéristique de l'ordre de dans le groupe additif .
Dans la suite, on supposera que est de caractéristique finie .
1. Démontrer que, pour tout , .
2. Démontrer que si est intègre, est un nombre premier.