Feuille des exercices: MP Enoncés Anneaux, corps et algèbres Exercice 1. Un élément x d’un anneau A est dit nilpotent s’il existe un entier n > 1 tel que xn = 0. On fixe x, y deux éléments nilpotents de A tels que xy = yx. 1. Montrer que xy et x + y sont nilpotents. 2. Montrer que 1A − x est inversible. 3. Soit u, v ∈ A tel que uv est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent. Exercice 2 (Les entiers de Gauss). Soit Z[i] := a + ib | (a, b) ∈ Z2 l’anneau des entiers de Gauss. 2 Pour z = a + ib ∈ Z[i], on pose N (z) = |z| = a2 + b2 1. Vérifier que ∀z, z 0 ∈ Z[i]; N (z.z 0 ) = N (z) .N (z 0 ) 2. En déduire que U (Z[i]) = {1, −1, i, −i} Exercice 3 (Sous-corps de (Q, +, .)). Démontrer que Q n’admet pas d’autre sous-corps que lui-même. Exercice 4 (Les autmorphismes de (R, +, ×)). Soit σ un automorphisme de (R, +, ×) 1. Montrer que si x > 0 alors σ(x) > 0. 2. Montrer que σ est croissant. 3. Montrer que ∀r ∈ Q: σ(r) = r. Puis déterminer σ. Exercice 5. Établir ∀n > 3, ϕ(n) > n ln 2 ln n + ln 2 Exercice 6 (Indicatrice d’Euler). On note ϕ la fonction indicatrice d’Euler. Soit n ∈ N∗ . 1. Montrer que si H est un sous-groupe de Z , + , il existe a divisant n vérifiant H =< a >. nZ . 2. Observer que si d | n il existe un unique sous-groupe de Z , + d’ordre d. nZ . 3. Justifier que si d | n le groupe Z , + possède exactement ϕ (d) éléments d’ordre d. nZ P 4. Montrer que: ∀n ∈ N? , ϕ (d) = n. d|n Exercice 7 (Matrice de Smith). Soient T = (ti,j )16i,j6n ∈ Mn (R) déterminée par ti,j = 1 0 si i divise j sinon et D = diag(ϕ(1), . . . , ϕ(n)) ∈ Mn (R). Où ϕ la fonction indicatrice d’Euler. 1. Calculer le coefficient d’indice (i, j) de la matrice t T DT en fonction de pgcd(i, j); 2. En déduire la valeur du déterminant de la matrice de Smith S = (pgcd(i, j))16i,j6n Exercice 8. 7 Quel est le chiffre des unités de 77 ? 1 Feuille des exercices: MP Enoncés Anneaux, corps et algèbres Exercice 9 (Nombres de Fermat). m Pour m ∈ N, on pose Fm = 22 + 1. 1. Montrer que si m 6= n, Fm et Fn sont premiers entre eux. 2. Déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini Exercice 10. . Résoudre dans Z l’équation : x3 = 1. 19Z Exercice 11. ( . 6x + 7y Z le système : Résoudre dans 37Z 3x − 7y = 30 . =0 Exercice 12. Résoudre dans Z les systèmes suivants: ( x ≡ 3 [17] x ≡ 3 1. 2. x ≡ 4 x ≡ 4 [11] x≡5 ( [17] [11] [6] 3. x≡3 x≡1 [6] [10] Exercice 13. Soit K un corps et A = K × K. 1. L’anneau A est-il un corps ? 2. Déterminer les idéaux de A. Exercice 14 (Centrale MP). √ Soit A un anneau commutatif. Si I est un idéal de A, on appelle radical de I l’ensemble I défini par √ I = {x ∈ A; ∃n > 1, xn ∈ I} √ 1. Montrer que I est un idéal de A contenant. 2. Soient I, J deux idéaux de A et p > 1. Montrer que √ √ I.J = I ∩J = √ I∩ √ q J, √ √ I= √ I et Ip = √ I. 3. Si A = Z et I = kZ, k > 1, déterminer le radical de I. Exercice 15. On note D= n p o /p ∈ Z, n ∈ N 10n l’ensemble des nombres décimaux. 1. Montrer que (D, +, ×) est anneau. Quels sont ses éléments inversibles? 2. Montrer que les idéaux de D sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a ∈ D). Exercice 16 (Idéaux de Z2 ). Soit I un idéal de l’anneau produit Z2 , +, × . 2 Feuille des exercices: MP Enoncés Anneaux, corps et algèbres 1. On pose I1 = {x ∈ Z/(x, 0) ∈ I} et I2 = {y ∈ Z/(0, y) ∈ I}. Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de (Z, +, ×). 2. Etablir I = I1 × I2 . 3. Conclure que les idéaux de l’anneau (Z2 , +, ×) sont de la forme xZ2 avec x ∈ Z2 . Exercice 17. Soit A un anneau intègre dans lequel toute chaîne décroissante d’idéaux est finie. Démontrer que A est un corps. Exercice 18. Démontrer que les seuls idéaux d’un corps K sont {0} et K. Exercice 19 (Mines. MP 2018). Soit P ∈ R[X], tel que ∀x ∈ R, P (x) > 0. Montrer qu’il existe B, C ∈ R[X] de même degré tels que P = B2 + C 2. Exercice 20. Déterminer deux polynômes U et V vérifiant U X n + V (1 − X)m = 1 et deg(U ) < m et deg(V ) < n. Exercice 21. Déterminer les polynômes de C[X] tels que P (X 2 ) = P (X)P (X + 1). Exercice 22. Former la décomposition primaire dans R [X] de P = X 2n+1 − 1 (avec n ∈ N). Exercice 23. 0 1 Déterminer le polynôme minimal de la matrice A = 1 0 Exercice 24. Soit A ∈ Mn (K). Montrer que A et Exercice 25. t 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 . 1 0 A ont le même polynôme minimal. A C Soit M une matrice triangulaire par blocs avec A ∈ Mp (K) et B ∈ Mq (K). On suppose que 0 B P est un polynôme annulateur de A et que Q est un polynôme annulateur de B. Déterminer un polynôme annulateur de M . Exercice 26. Soit A une K-algèbre et a ∈ A admettant un polynôme minimal 1. Soit β ∈ K[a] et Q ∈ K[X] tels que β = Q(a). Montrer que β est inversible dans K[a] si, et seulement si, Q ∧ πa = 1. 2. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes (a) K[a] est intègre. (b) K[a] est un corps. (c) πa est irréductible sur K. 3