Exos AnneauxCorpsAlgebres Eno

Feuille des exercices: MP Enoncés
Anneaux, corps et algèbres
Exercice 1.
Un élément xd’un anneau Aest dit nilpotent s’il existe un entier n>1tel que xn= 0. On fixe x, y deux
éléments nilpotents de Atels que xy =yx.
1. Montrer que xy et x+ysont nilpotents.
2. Montrer que 1A−xest inversible.
3. Soit u, v ∈Atel que uv est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent.
Exercice 2 (Les entiers de Gauss).
Soit Z[i] := a+ib |(a, b)∈Z2l’anneau des entiers de Gauss.
Pour z=a+ib ∈Z[i], on pose N(z) = |z|2=a2+b2
1. Vérifier que ∀z, z0∈Z[i];N(z.z0) = N(z).N (z0)
2. En déduire que U(Z[i]) = {1,−1, i, −i}
Exercice 3 (Sous-corps de (Q,+, .)).
Démontrer que Qn’admet pas d’autre sous-corps que lui-même.
Exercice 4 (Les autmorphismes de (R,+,×)).
Soit σun automorphisme de (R,+,×)
1. Montrer que si x>0alors σ(x)>0.
2. Montrer que σest croissant.
3. Montrer que ∀r∈Q:σ(r) = r. Puis déterminer σ.
Exercice 5.
Établir ∀n>3, ϕ(n)>nln 2
ln n+ ln 2
Exercice 6 (Indicatrice d’Euler).
On note ϕla fonction indicatrice d’Euler. Soit n∈N∗
1. Montrer que si Hest un sous-groupe de Z.
nZ,+, il existe adivisant nvérifiant H=< a >.
2. Observer que si d|nil existe un unique sous-groupe de Z.
nZ,+d’ordre d.
3. Justifier que si d|nle groupe Z.
nZ,+possède exactement ϕ(d)éléments d’ordre d.
4. Montrer que: ∀n∈N?,P
d|n
ϕ(d) = n.
Exercice 7 (Matrice de Smith).
Soient T= (ti,j )16i,j6n∈Mn(R)déterminée par ti,j =1si idivise j
0sinon et D=diag(ϕ(1), . . . , ϕ(n)) ∈
Mn(R). Où ϕla fonction indicatrice d’Euler.
1. Calculer le coefficient d’indice (i, j)de la matrice tT DT en fonction de pgcd(i, j);
2. En déduire la valeur du déterminant de la matrice de Smith S= (pgcd(i, j))16i,j6n
Exercice 8.
Quel est le chiffre des unités de 777?
1

Feuille des exercices: MP Enoncés
Anneaux, corps et algèbres
Exercice 9 (Nombres de Fermat).
Pour m∈N, on pose Fm= 22m+ 1.
1. Montrer que si m6=n,Fmet Fnsont premiers entre eux.
2. Déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini
Exercice 10.
Résoudre dans Z.
19Zl’équation : x3= 1.
Exercice 11.
Résoudre dans Z.
37Zle système :(6x+ 7y= 30
3x−7y= 0 .
Exercice 12.
Résoudre dans Zles systèmes suivants:
1. (x≡3 [17]
x≡4 [11] 2. 
x≡3 [17]
x≡4 [11]
x≡5 [6]
3. (x≡3 [6]
x≡1 [10]
Exercice 13.
Soit Kun corps et A=K×K.
1. L’anneau Aest-il un corps ?
2. Déterminer les idéaux de A.
Exercice 14 (Centrale MP).
Soit Aun anneau commutatif. Si Iest un idéal de A, on appelle radical de Il’ensemble √Idéfini par
√I={x∈A;∃n>1, xn∈I}
1. Montrer que √Iest un idéal de Acontenant.
2. Soient I, J deux idéaux de Aet p>1. Montrer que
√I.J =√I∩J=√I∩√J, q√I=√Iet √Ip=√I.
3. Si A=Zet I=kZ,k>1, déterminer le radical de I.
Exercice 15.
On note
D=np
10n/p ∈Z, n ∈No
l’ensemble des nombres décimaux.
1. Montrer que (D,+,×)est anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
2. Montrer que les idéaux de Dsont principaux (c’est-à-dire de la forme aDavec a∈D).
Exercice 16 (Idéaux de Z2).
Soit Iun idéal de l’anneau produit Z2,+,×.
2

Feuille des exercices: MP Enoncés
Anneaux, corps et algèbres
1. On pose I1={x∈Z/(x, 0) ∈I}et I2={y∈Z/(0, y)∈I}.
Montrer que I1et I2sont des idéaux de (Z,+,×).
2. Etablir I=I1×I2.
3. Conclure que les idéaux de l’anneau (Z2,+,×)sont de la forme xZ2avec x∈Z2.
Exercice 17.
Soit Aun anneau intègre dans lequel toute chaîne décroissante d’idéaux est finie. Démontrer que Aest un
corps.
Exercice 18.
Démontrer que les seuls idéaux d’un corps Ksont {0}et K.
Exercice 19 (Mines. MP 2018).
Soit P∈R[X], tel que ∀x∈R, P (x)>0. Montrer qu’il existe B, C ∈R[X]de même degré tels que
P=B2+C2.
Exercice 20.
Déterminer deux polynômes Uet Vvérifiant UXn+V(1 −X)m= 1 et deg(U)< m et deg(V)< n.
Exercice 21.
Déterminer les polynômes de C[X]tels que P(X2) = P(X)P(X+ 1).
Exercice 22.
Former la décomposition primaire dans R[X]de P=X2n+1 −1(avec n∈N).
Exercice 23.
Déterminer le polynôme minimal de la matrice A=
0110
1001
1001
0110
.
Exercice 24.
Soit A∈Mn(K). Montrer que Aet tAont le même polynôme minimal.
Exercice 25.
Soit Mune matrice triangulaire par blocs A C
0Bavec A∈Mp(K)et B∈Mq(K). On suppose que
Pest un polynôme annulateur de Aet que Qest un polynôme annulateur de B. Déterminer un polynôme
annulateur de M.
Exercice 26.
Soit Aune K-algèbre et a∈Aadmettant un polynôme minimal
1. Soit β∈K[a]et Q∈K[X]tels que β=Q(a).
Montrer que βest inversible dans K[a]si, et seulement si, Q∧πa= 1.
2. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes
(a) K[a]est intègre.
(b) K[a]est un corps.
(c) πaest irréductible sur K.
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