La cinématique I. Référentiel d’observation 1. Repère d’espace L’observateur est situé en O. Pour préciser la position du point M, il rapport l’espace à trois axes orthogonaux issus du pnt O choisi comme origine, et munis d’une base orthonormé directe (ex,ey,ez,) notée : B.O.N.D En mécanique classique, le temps est absolu et indépendant du référentiel R (O; ex,ey,ez) Pour un référentiel donné il existe une infinité de repères possibles ; certains sont fixes et d’autres sont mobiles. Pour un repère donné il n’existe qu’un référentiel associé. Le mvt du M est relatif car sa description dépend du référentiel d’étude R. 2. Repère du temps Le repérage dans le temps permet de suivre l’évolution des coordonnées du pnt M en fct du temps. Il nécessite le choix d’une origine (t = 0) et une durée unitaire π. OM =x(t).ex + y(t).ey + z(t).ez 3. Référentiel L’adjonction de temps t au repère d’espace définit le référentiel R. R (O; ex,ey, ez,t) II. Système de coordonnées et base de projection 1. Coordonnées cartésiennes a. La base cartésienne Bcart = (ex,ey,ez) est une base orthonormé directe, fixe dans le référentiel cad ⃗𝒙⊥𝒆 ⃗𝒚⊥𝒆 ⃗𝒛 Ortho : 𝒆 ⃗ 𝐱 ‖ = ‖𝐞 ⃗ 𝐲 ‖ = ‖𝐞 ⃗ 𝐳‖ Normé : ‖𝐞 Directe : b. Vecteur position Dans la Bcart = (ex,ey,ez) liée au référentiel : OM= OH +OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴= x.ex + y.ey +z.ez ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ቛ = ට𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ቛ𝑶𝑴 Si le pnt M est immobile dans le R, ses composantes x, y, z sont indépendants du 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 ( 𝒅𝒕 ) = ( 𝒅𝒕 ) = ( 𝒅𝒕 ) = 0 temps, cad : le vecteur vitesse est tangente à la trajectoire est orienté dans le sens du mvt si 𝑣(𝑀/𝑅 )= cte alors le mvt est rectiligne uniforme si ‖𝑣(𝑀/𝑅 )‖= cte alors le mvt est uniforme e. Vecteur accélération On a : 𝑎(𝑀/𝑅 ) = Donc : ⃗ (𝑀) 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ⃗ (𝑴/𝑹 ) = 𝒙̈ 𝒆 ⃗ 𝒙 + 𝒚̈ 𝒆 ⃗ 𝒚 + 𝒛̈ 𝒆 ⃗𝒛 𝒂 Si M est immobile dans R : ⃗ (𝑴) = ⃗𝟎 𝑒𝑡 𝒂 ⃗ (𝑴/𝑹 ) = ⃗𝟎 𝒗 2. Coordonnées cylindriques c. Vecteur de déplacement élémentaire On a : MM’= MO+OM’ = OM’ – OM = OM(t +dt) – OM(t) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑴′= d𝑶𝑴 Or : OM = x.ex + y.ey +z.ez D’où : dOM= dx.ex+dy.ey+dz.ez ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d𝑶𝑴 𝑴𝑴′= dx.ex+dy.ey+dz.ez d. Vecteur vitesse On a : 𝑣(𝑀/𝑅 ) = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 ⃗𝒗(𝑴/𝑹 ) = 𝒙̇ ⃗𝒆𝒙 + 𝒚̇ ⃗𝒆𝒚 + 𝒛̇ ⃗𝒆𝒛 a. Les coord cylindriques X= cos = (x2+y2)1/2 Y=sin = arct ( ) Z(t) z(t) 𝑥 𝑦 b. Base cylindrique : Bcyl = (e((t)), e((t)), ez) L’expression de Bcyl dans la base cartésienne : e=ex.e+ey.e = cos(ex. e)ex+cos(ey. e)ey = cos()ex+ cos(𝜋⁄2 + 𝜑)ey 𝒅𝒆𝝋 ( ) = −𝝆̇ 𝒆𝝆 𝒅𝒕 on obtient la dérivée de e et de e en 𝜋 e = cos()ex+sin()ey e= ex.e+ey.e = cos(ex. e)ex+cos(ey. e)ey = -cos( 𝜋⁄2 + 𝜑)ex+ cos()ey e = -sin()ex+cos()ey la dérivé de e et de e pivotant de dans le sens ou augmante 2 e e ez ex ey ez Cos() -sin() 0 Sin() Cos() 0 0 0 1 c. Vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴= e+ zez ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ቛ = ට𝝆𝟐 + 𝒛𝟐 ቛ𝑶𝑴 d. Vecteur de déplacement : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣(𝑀)𝑑𝑡 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑𝜌𝑒𝜌 + 𝜌𝑑𝜑𝑒𝜑 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝝆𝒆𝝆 + 𝝆𝒅𝝋𝒆𝝋 + 𝒅𝒛𝒆𝒛 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝒆𝝆 ( ) = 𝝋̇𝒆𝝋 𝒅𝒕 e. Vecteur vitesse : On a : 𝑣(𝑀) = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑒𝜌 Donc : 𝑣(𝑀) = ( 𝑑𝑧 ) + (𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡 ⃗ (𝑴) = 𝝆̇ 𝒆𝝆 + 𝝆𝝋̇𝒆𝝋 + 𝒛̇ 𝒆𝒛 𝒗 a. Vecteur position ‖𝒗 ⃗ (𝑴)‖ = ට𝝆̇ 𝟐 + (𝝆𝝋)̇ + 𝒛𝟐 f. Vecteur accélération 𝑎(𝑀/𝑅 ) = ⃗ (𝑀) 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑(𝝆̇ 𝒆𝝆 +𝝆𝝋̇𝒆𝝋 +𝒛̇ 𝒆𝒛 ) 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝒓 𝑶𝑴 = 𝒓𝒆 𝒅𝝆̇ 𝒆𝝆 = 𝝆̈ 𝒆𝝆 + 𝝆̇ 𝝋̇𝒆𝝋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑴)‖ = √𝒓𝟐 ‖𝑶𝑴 b. Vecteur vitesse 𝒅𝝆𝝋̇𝒆𝝋 = (𝝆̇ 𝝋̇ + 𝝆𝝋̈)𝒆𝝋 − 𝝆𝝋̇𝟐 𝒆𝝆 ⃗ (𝑴) = 𝒓̇ 𝒆 ⃗⃗⃗⃗𝒓 + 𝒓𝜽̇𝒆 ⃗⃗⃗⃗𝜽 𝒗 ‖𝒗 ⃗ (𝑴)‖ = ට𝒓̇ 𝟐 + (𝒓𝜽̇) 𝒅𝒛̇ 𝒆𝒛 = 𝒛̈ 𝒆𝒛 donc : c. Vecteur accélération ⃗𝒂(𝑴/𝑹 ) = (𝝆̈ − 𝝆𝝋̇𝟐 )𝒆𝝆 + (𝟐𝝆̇ 𝝋̇ + 𝝆𝝋̈)𝒆𝝋 + 𝒛̈ 𝒆𝒛 ‖𝒂 ⃗ (𝑴)‖ = √(𝝆̈ − 𝝆𝝋̇𝟐 )𝟐 + (𝟐𝝆̇ 𝝋̇ + 𝝆𝝋̈) + 𝒛𝟐 ⃗ (𝑴/𝑹 ) = (𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 )𝒆𝒓 + (𝟐𝒓̇ 𝜽̇ + 𝒓𝜽̈)𝒆𝜽 𝒂 + 𝒛̈ 𝒆𝒛 𝟐 ‖𝒂 ⃗ (𝑴)‖ = ට(𝒓̈ − 𝒓𝜽̇ )𝟐 + (𝟐𝒓̇ 𝜽̇ + 𝒓𝜽̈) + La base cylindrique est local dans R(o, ex,ey, ez) mais elle est fixe dans R’(o’ ; e’x,e’y,ez,) 3. Coordonnées polaires Lorsque le mvt est plan, il est avantageux de se déplacer à Z=0 et d’utiliser les coordonnées polaires 4. Coordonnées sphérique a. Coord sphériques X= cos Y= sin avec 0≤≤ 𝜋 et = rsin Z=rcos X= rsincos Y= rsinsin Z=rcos 𝜋 = cos ( + 𝜃) ⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 + cos (𝜃)𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 2 b. ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝜽 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽)⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝝋 − 𝐬𝐢𝐧(𝜽) ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒁 Dérivation de la base sphérique c. Base sphérique Bsph = (𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 , ⃗⃗⃗ 𝑒𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝜑 ) Avec ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝜃 est la tangent au cercle (O,r) orienté dans le sens ou augmente. Projection de base sphérique sur la base cylindrique : 𝑒⃗⃗⃗𝑟 = cos(⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 , 𝑒⃗⃗⃗𝑟 )⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 + cos(𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 , 𝑒⃗⃗⃗𝑟 ) ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝜑 𝜋 = cos(𝜃 ) ⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 + cos ( − 𝜃)𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 2 ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒓 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽)⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒛 + 𝐬𝐢𝐧(𝜽) ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝝋 𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 = cos(⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 , 𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 )⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 + cos(𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 , 𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 ) ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝜑 f. Vecteur vitesse ̇ 𝟐 ‖𝒗 ⃗ (𝑴)‖ = ට𝒓̇ 𝟐 + (𝒓 ̇) + (𝒓𝒔𝒊𝒏 𝝋) g. Vecteur accélération : e e ez er e e Sin() 0 Cos() 0 Cos() -sin() 1 1 0 d. Vecteur de position : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝒓 𝑂𝑀 = 𝒓𝒅𝒆 5. repère de frenet : e. Vecteur de déplacement première méthode: on écrit directement le déplacement élémentaire (en faisant la composition des déplacements élémentaires dus à chaque paramètre variant seul). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑑𝑒⃗⃗⃗𝑟 si r varie seul : 𝑑𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑑𝜃𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 si varie seul : 𝑑𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 si varie seul : 𝑑𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑑𝑒⃗⃗⃗𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 𝑑𝑂𝑀 première méthode: on dérive OM par rapport au temps. a. abscisse curviligne : à l’instant t : s(t) = M0M à l’instant t+dt : MM’= MM0+M0M’ = M0M’- M0M = s(t+dt)- s(t) MM’= ds ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑑𝑒⃗⃗⃗𝑟 → 𝑀 ∈ (𝑂𝑀) 𝑑𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑑𝜃𝑒⃗⃗⃗⃗𝜃 → 𝑀 ∈ 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 (𝑂, 𝑟) 𝑑𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑𝑒⃗⃗⃗⃗𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 (𝑂, 𝜌) 𝑑𝑂𝑀 b. Base de frenet la base de frenet est locale définie par : T : vecteur unitaire tg à la trajectoire et dérigé vers le sens de mvt N : vecteur perpendiculaire à T et dérigé vers le centre de mvt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en fct de dS c. Expression 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = M’(t+dt)- M(t) 𝑑𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ ⃗ = MM’. 𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = dS. ⃗𝑻 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑴)‖ = 𝒅𝒔 ‖𝑶𝑴 𝒅𝒗 𝒗𝟐 ⃗ + ⃗𝑵 ⃗ ⃗ (𝑴) = 𝒂 𝑻 𝒅𝒕 𝑹 d. Formule de frenet : III. Quelques définitions : Cinématique : elle permet d’étudier les 𝒅𝑻 𝒅𝒔 ቆ ቇ = ⃗⃗𝑵 𝒅𝒕 𝑹 mvts d’un mobile par rapport à un repère de référence en fct du temps indépendament de causes qui les produisent ou les effets qu’il pourrait produire elle décrit les mvts sans chercher à l’interpreter . Pnt matérièle : c’est un corps dont les Trouvons T en pivotant d’un angle de 𝜋 2 dans le sens ou augmente e. Vecteur vitesse 𝑣(𝑀) = ( 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 ⃗ )=𝑠̇𝑇 ‖𝒗 ⃗ (𝑴)‖ = 𝑺̇ f. Vecteur accélération dimensions sont négligeables devant celles de sa trajectoir décrit dans le référence Trajectoir : c’est l’ensemble des positions occupées successivement par le pnt M au cours du temps. Dans le cadre de la mécanique classique, on s’interesse à des corps dont : Ses dimensions echelle atomique vc avec c= 3.108 m/s
