La cinématique G

La cinématique
I. Référentiel d’observation
1. Repère d’espace
L’observateur est situé en O.
Pour préciser la position du point M, il
rapport l’espace à trois axes orthogonaux
issus du pnt O choisi comme origine, et
munis d’une base orthonormé directe
(ex,ey,ez,) notée : B.O.N.D
2. Repère du temps
Le repérage dans le temps permet de
suivre l’évolution des coordonnées du pnt
M en fct du temps.
Il nécessite le choix d’une origine (t = 0) et
une durée unitaire π.
OM =x(t).ex + y(t).ey + z(t).ez
3. Référentiel
L’adjonction de temps t au repère
d’espace définit le référentiel R.
R (O; ex,ey, ez,t)
 En mécanique classique, le temps
est absolu et indépendant du
référentiel
R (O; ex,ey,ez)
 Pour un référentiel donné il existe
une infinité de repères possibles ;
certains sont fixes et d’autres sont
mobiles.
 Pour un repère donné il n’existe
qu’un référentiel associé.
 Le mvt du M est relatif car sa
description dépend du référentiel
d’étude R.
II. Système de coordonnées
et base de projection
1. Coordonnées cartésiennes

a. La base cartésienne
Bcart = (ex,ey,ez) est une base orthonormé
directe, fixe dans le référentiel cad
Ortho : 
Normé : 
Directe :
b. Vecteur position
Dans la Bcart = (ex,ey,ez) liée au référentiel :
OM= OH +OZ
= x.ex + y.ey +z.ez
Si le pnt M est immobile dans le R, ses
composantes x, y, z sont indépendants du
temps, cad : 
= 0
c. Vecteur de déplacement
élémentaire
On a : MM’= MO+OM’
= OM’ – OM
= OM(t +dt) – OM(t)
= d
Or : OM = x.ex + y.ey +z.ez
D’où : dOM= dx.ex+dy.ey+dz.ez
d
= 
= dx.ex+dy.ey+dz.ez
d. Vecteur vitesse
On a : 
 = 
 le vecteur vitesse est tangente à la
trajectoire est orienté dans le sens du
mvt
 si = cte alors le mvt est
rectiligne uniforme
 si = cte alors le mvt est
uniforme
e. Vecteur accélération
On a : 
Donc : 
Si M est immobile dans R :
2. Coordonnées cylindriques
a. Les coord cylindriques
X= cos = (x2+y2)1/2
Y=sin = arct (
)
Z(t) z(t)
b. Base cylindrique :

Bcyl = (e((t)), e((t)), ez)
L’expression de Bcyl dans la base
cartésienne :
e=ex.e+ey.e
= cos(ex. e)ex+cos(ey. e)ey
= cos()ex+ cos(
)ey
e = cos()ex+sin()ey
e= ex.e+ey.e
= cos(ex. e)ex+cos(ey. e)ey
= -cos( 
)ex+ cos()ey
e = -sin()ex+cos()ey
la dérivé de e et de e
on obtient la dérivée de e et de e en
pivotant de 
 dans le sens ou  augmante
ex
ey
ez
e
Cos()
Sin()
0
e
-sin()
Cos()
0
ez
0
0
1
c. Vecteur position
= e+ zez
d. Vecteur de déplacement :
e. Vecteur vitesse :
On a : 
Donc : 

f. Vecteur accélération
donc :
La base cylindrique est local dans
R(o, ex,ey, ez) mais elle est fixe dans
R’(o’ ; e’x,e’y,ez,)
3. Coordonnées polaires
Lorsque le mvt est plan, il est avantageux
de se déplacer à Z=0 et d’utiliser les
coordonnées polaires
a. Vecteur position
b. Vecteur vitesse
c. Vecteur accélération
4. Coordonnées sphérique
a. Coord sphériques
X= cos
Y= sin avec 0≤≤ et = rsin
Z=rcos
X= rsincos
Y= rsinsin
Z=rcos

b.
c. Base sphérique
Bsph = (
Avec 
est la tangent au cercle (O,r)
orienté dans le sens ou  augmente.
Projection de base sphérique sur la base
cylindrique :
Dérivation de la base sphérique