NOMBRES COMPLEXES

PSI NOMBRES COMPLEXES
I-RÈGLES DE CALCUL
1)Suites géométriques
∀z∈C,∀n∈N∗,
n
X
k=0
zk= 1 + z+z2+··· +zn=
1−zn+1
1−z=zn+1 −1 z−1si z 6= 1
n+ 1 si z = 1
2)Binôme de Newton
∀(a, b)∈C2,∀n∈N,(a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−k=
n
X
k=0 n
kan−kbk
∀z∈C,∀n∈N,(1 + z)n=
n
X
k=0 n
kzk=
n
X
k=0 n
kzn−k
3)Factorisation
∀(a, b)∈C2,∀n∈N∗, an−bn= (a−b) n−1
X
k=0
akbn−1−k!= (a−b) n−1
X
k=0
an−1−kbk!
∀z∈C,∀n∈N∗, zn−1=(z−1) n−1
X
k=0
zk!= (z−1) n−1
X
k=0
zn−1−k!
II -CONJUGUÉ - MODULE
1)Conjugué
déf. Soit zdans C:∃!(x, y)∈R2/ z =x+ i y.
Le complexe x−iys’appelle le conjugué de zet se note z.
th.
• ∀z∈C,Re (z) = z+z
2et Im (z) = z−z 2 i .
• ∀z∈C, z =z⇐⇒ z∈Ret z=−z⇐⇒ z∈iR.
• ∀(z, z0)∈C2, z +z0=z+z0et zz0=z.z0et ∀z∈C∗,1
z=1 z.
2)Module
déf.
Soit zdans C:∃!(x, y)∈R2/ z =x+ i y.
Le réel positif px2+y2=√zz s’appelle le module de zet se note |z|.
Remarque : Pour un réel x, le module de xest égal à la valeur absolue de x.
th.
• ∀z∈C,|z|2=z.z
• ∀z∈C,|z|= 0 ⇐⇒ z= 0
• ∀(z, z0)∈C2,|zz0|=|z||z0|et ∀z∈C∗,
1
z
=1
|z|
• ∀z∈C,|Re (z)|6|z|et |Im (z)|6|z|.
• ∀(z, z0)∈C2,|z+z0|6|z|+|z0|
et |z+z0|=|z|+|z0|si et seulement si zet z0sont R+proportionnels.
• ∀(z, z0)∈C2,|z|−|z0| 6|z−z0|.
Complexe - page 1

3)Nombres complexes de module 1
On note U={z∈C/|z|= 1}={a+ i b / (a, b)∈R2et a2+b2= 1}.
prop. z∈U⇐⇒ z.z = 1 ⇐⇒ 1
z=z
z∈U⇐⇒ ∃θ∈R/ z =cosθ + i sinθ ⇐⇒ ∃!θ∈[−π, π[/ z = cos θ+ i sin θ
déf.
On définit pour θdans R,eiθ= cos θ+ i sin θ.
Alors e−iθ= cos θ−i sin θ, eiθ= e −iθet 1
eiθ= e −iθ
On a donc les formules d’Euler :cos θ=eiθ+ e −iθ
2et sin θ=eiθ−e−iθ 2 i .
prop. ∀(θ, θ0)∈R2,ei(θ+θ0)= e iθeiθ0. On en déduit : ∀n∈Z,∀θ∈R,einθ = (e iθ)n.
D’où la formule de Moivre :∀n∈Z,∀θ∈R,cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ+ i sin θ)n.
4)Exponentielle complexe
déf. Soit z∈C. Alors ∃!(x, y)∈R2/ z =x+ i y.
On définit l’exponentielle complexe de z, notée ezpar : ez= e x.eiy= e x(cos y+ i sin y).
prop. • ∀(z, z0)∈C2,ez+z0= e z.ez0et ez6= 0 et e−z=1
ez
• ∀n∈Z,∀z∈C,(e z)n= e nz
III -ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
1)Définition
déf. 1
Soit zdans C∗. Alors z
|z|∈Udonc il existe θdans Rtel que z |z|= e iθ.
On appelle argument de ztout réel θtel que z
|z|= e iθ.
zadmet une infinité d’arguments et ils sont égaux modulo 2π. On notera arg zl’un quelconque d’entre eux.
Attention, 0 n’a pas d’argument.
déf. 2Forme exponentielle (ou trigonométrique) d’un complexe :
∀z∈C∗,∃!r∈R∗
+,∃θ∈R/ z =reiθc’est-à-dire z=|z|ei argz.
2)Propriétés
prop.
Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument modulo 2π.
∀(z, z0)∈C∗2,arg (zz0)≡arg (z)+arg (z0) (2π)et arg (z
z0)≡arg (z)−arg (z0) (2π)
∀z∈C∗,arg (1
z)≡ −arg (z) (2π)et arg (z)≡ −arg (z) (2π)
∀z∈C∗,∀n∈Z,arg (zn)≡narg (z) (2π)
∀z∈C,∃(x, y)∈R2/ z =x+ iyet ez= e x.eiy. Alors |ez|= e xet arg (z)≡y(2π)
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IV -ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
1)Racines n−ièmes d’un complexe
déf. Soient a∈Cet n∈Ntel que n>2.
On appelle racine n−ième de atout complexe ztel que zn=a.
a. Recherche des racines carrées
∃!(α, β)∈R2/ a =α+ i β. Soit z∈C.∃!(x, y)∈R2/ z =x+ i y.
z2=a⇐⇒ z2=α+ i β
|z|2=|a|⇐⇒ 
x2−y2=α
2xy =β
x2+y2=|a|⇐⇒ 
x2=α+|a|
2
y2=|a| − α
2
2xy =β
Les deux premières équations permettent de déterminer xet yau signe près.
La dernière équation permet de déterminer le signe de yen fonction de celui de x.
b. Racines n−ièmes de 1
On note Un={z∈C/ zn= 1}.
Alors Un={e2 i kπ
n/ k ∈Z}={e2 i kπ n/ k ∈[[0, n −1]]}et le cardinal de Unvaut n.
La somme des racines n−ièmes de 1est nulle.
c. Recherche des racines n−ièmes de a∈C∗
L’équation zn=aadmet nracines distinctes dans C, appelées racines n−ièmes de a.
Notons ϕ=Arg a. Alors a=|a|eiϕet l’ensemble des racines n−ièmes de aest :
{zk=n
p|a|ei(ϕ
n+2kπ n)/ k ∈[[0, n −1]]}
Les images de ces nracines n−ièmes sont les sommets d’un polygone régulier à nsommets
inscrit dans le cercle de centre Oet de rayon n
p|a|.
2)Equation du second degré
Soient a,b,ctrois complexes tels que a6= 0 et zdans C.
az2+bz +c= 0 ⇐⇒ az2+b
az+c a= 0
⇐⇒ (z+b
2a)2−b2 4a2+c a= 0
⇐⇒ (z+b
2a)2=b2−4ac 4a2
Le discriminant b2−4ac appartient à Cdonc ∃z0∈C/ z2
0=b2−4ac.
az2+bz +c= 0 ⇐⇒ (z+b
2a)2=z0 2a2
⇐⇒ z+b
2a=±z0 2a
⇐⇒ z∈ {−b+z0
2a,−b−z0 2a}
th. 1
Soit (a, b, c)∈C∗×C2et l’équation (∗)az2+bz +c= 0.
Alors (∗)admet deux racines complexes z1et z2telles que z1+z2=−b
aet z1z2=c a.
th. 2
Soient set pdeux nombres complexes fixés.
Alors les solutions du système z1+z2=s
z1.z2=psont les racines de l’équation : z2−sz +p= 0.
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V-APPLICATIONS TRIGONOMÉTRIQUES DES COMPLEXES
On peut retrouver les formules de trigonométrie classique.
1)Expression de cos(nx)et sin(nx)en fonction de sin(x)et cos(x)
∀n∈N∗,∀x∈R,cos(nx) = Re (e inx) = Re (cos(x) + i sin(x))n=. . .
sin(nx) = Im (e inx) = Im (cos(x) + i sin(x))n=. . .
2)Linéarisation de cosn(x)et sinn(x)
∀n∈N∗,∀x∈R,cosn(x) = eix+ e −ix
2n
=. . . et sinn(x) = eix−e−ix
2 i n
=. . .
Distinguer les cas npair et nimpair.
3)Progression arithmétique
Calculer pour ndans N∗et xdans R:
n
X
k=0
cos(kx)et
n
X
k=0
sin(kx).
4)Transformation de acos θ+bsin θ
Soit θ∈Ret (a, b)∈R2et S=acos θ+bsin θ.
Si (a, b) = (0,0) alors S= 0.
Si (a, b)6= (0,0) alors z=a+ i b∈C∗et z
|z|=a+ i b
√a2+b2∈Udonc ∃t∈R/z
|z|= e it.
Donc S=√a2+b2.a
√a2+b2+ib √a2+b2=√a2+b2.(cos tcos θ+ sin tsin θ) = √a2+b2cos(t−θ).
VI -COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE
1)Affixe, image
On se place dans le plan E, muni d’un repère orthonormé R(O, −→ ı , −→ ).
L’application de Cdans E, qui au complexe z=x+iy associe le point M(z)de coordonnées (x, y)dans R
est une bijection, c’est-à-dire qu’à chaque point de Eon associe par cette application un et un seul complexe z.
zest appelé affixe du point Met Mest l’image de zdans le plan E.
De même, on définit l’affixe d’un vecteur −→ ude coordonnées (x, y)dans (−→ ı , −→ )comme le complexe z=x+iy.
z=x+iy est alors l’affixe de Msi et seulement si il est l’affixe de −−→ OM.
2)Interprétation géométrique du module et de l’argument
prop. 1
Si le complexe non nul zest l’affixe de M
alors |z|=OM et arg (z)≡\ (−→ ı , −−→ OM) (2π).
prop. 2
Si Met M0ont pour affixes respectives zet z0tels que z6=z0
alors le vecteur −−−→ MM0a pour affixe z0−zet MM0=|z0−z|et arg (z0−z)≡\ (−→ ı , −−−→ MM0) (2π)
3)Transformations géométriques
L’application f:M(z)7−→ f(M)(z)est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe (Ox).
L’application f:M(z)7−→ f(M)(z+b)où b∈Cest la tranlation de vecteur d’affixe b.
L’application f:M(z)7−→ f(M)(k.z)où k∈R∗est l’hométhétie de centre Oet de rapport k.
L’application f:M(z)7−→ f(M)(e iθz)où θ∈Rest la rotation de centre Oet d’angle θ.
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