NOMBRES COMPLEXES

NOMBRES COMPLEXES
PSI
I - RÈGLES DE CALCUL
1) Suites géométriques
∀ z ∈ C,

n+1
z n+1 − 1
 1−z
=
k
2
n
z = 1 + z + z + ··· + z =
1−z
z−1

k=0
n+1
n
X
∀ n ∈ N∗ ,
si z 6= 1
si z = 1
2) Binôme de Newton
2
∀ (a, b) ∈ C ,
n
∀ n ∈ N,
(a + b) =
n X
n
k=0
∀ z ∈ C,
k
k n−k
a b
=
n X
n
k
k=0
an−k bk
n n X
n k X n n−k
n
(1 + z) =
z =
z
k
k
∀ n ∈ N,
k=0
k=0
3) Factorisation
∀ n ∈ N∗ ,
∀ (a, b) ∈ C2 ,
n−1
X
an − bn = (a − b)
!
k n−1−k
n−1
X
= (a − b)
a b
k=0
∀ z ∈ C,
∗
∀n ∈ N ,
n
z − 1 = (z − 1)
n−1
X
z
a
b
k=0
!
k
!
n−1−k k
= (z − 1)
k=0
n−1
X
!
z
n−1−k
k=0
II - CONJUGUÉ - MODULE
1) Conjugué
déf.
Soit z dans C : ∃ !(x, y) ∈ R2 / z = x + i y.
Le complexe x − i y s’appelle le conjugué de z et se note
• ∀ z ∈ C,
th.
• ∀ z ∈ C,
z.
z+z
z−z
et Im (z) =
.
2
2i
z = z ⇐⇒ z ∈ R et z = −z ⇐⇒ z ∈ i R.
Re (z) =
• ∀ (z, z 0 ) ∈ C2 ,
z + z0 = z + z0
et
zz 0 = z.z 0
et
∀ z ∈ C∗ ,
1
1
= .
z
z
2) Module
déf.
2
Soit z dans C : p∃ !(x, y) ∈ R
√ / z = x + i y.
Le réel positif
x2 + y 2 = zz s’appelle le module de z et se note
|z|.
Remarque : Pour un réel x, le module de x est égal à la valeur absolue de x.
• ∀ z ∈ C,
|z|2 = z.z
• ∀ z ∈ C,
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
0
2
• ∀ (z, z ) ∈ C ,
th.
• ∀ z ∈ C,
0
0
0
|zz | = |z||z |
| Re (z)| 6 |z|
2
• ∀ (z, z ) ∈ C ,
et
• ∀ (z, z 0 ) ∈ C2 ,
Complexe - page 1
et
∗
et ∀ z ∈ C ,
1
= 1
z |z|
| Im (z)| 6 |z|.
0
|z + z | 6 |z| + |z 0 |
0
0
|z
+ z | =|z| + |z | si et seulement si
|z| − |z 0 | 6 |z − z 0 |.
z et z 0 sont R+ proportionnels.
3)
Nombres complexes de module 1
On note
prop.
U = {z ∈ C / |z| = 1} = {a + i b / (a, b) ∈ R2
1
=z
z
z ∈ U ⇐⇒ ∃ θ ∈ R / z = cosθ + i sinθ ⇐⇒ ∃ !θ ∈ [−π, π[ / z = cos θ + i sin θ
z ∈ U ⇐⇒ z.z = 1 ⇐⇒
On définit pour θ dans R,
Alors
déf.
e
−iθ
e
iθ
= cos θ − i sin θ,
= cos θ + i sin θ.
e
iθ
1
= e −iθ
e iθ
e iθ +e −iθ
e
cos θ =
et sin θ =
2
=e
On a donc les formules d’Euler :
prop.
et a2 + b2 = 1}.
∀ (θ, θ0 ) ∈ R2 ,
e
i(θ+θ 0 )
=e
iθ
e
i θ0
.
−iθ
et
On en déduit : ∀ n ∈ Z,
D’où la formule de Moivre : ∀ n ∈ Z,
iθ
∀ θ ∈ R,
−e
2i
e
−iθ
i nθ
.
= (e
iθ n
) .
cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ)n .
∀ θ ∈ R,
4) Exponentielle complexe
Soit z ∈ C. Alors ∃ !(x, y) ∈ R2 / z = x + i y.
On définit l’exponentielle complexe de z, notée e z par :
déf.
prop.
• ∀ (z, z 0 ) ∈ C2 ,
• ∀ n ∈ Z,
III -
e
z+z 0
∀ z ∈ C,
= e z .e
z0
(e z )n = e
et
e
z
6= 0
z
e
e
et
=e
−z
x
=
.e
iy
= e x (cos y + i sin y).
1
ez
nz
ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
1) Définition
z
z
∈ U donc il existe θ dans R tel que
= e i θ.
|z|
|z|
z
On appelle argument de z tout réel θ tel que
= e i θ.
déf. 1
|z|
z admet une infinité d’arguments et ils sont égaux modulo 2π. On notera arg z l’un quelconque d’entre eux.
Soit z dans C∗ .
Alors
Attention, 0 n’a pas d’argument.
Forme exponentielle (ou trigonométrique) d’un complexe :
∀ z ∈ C∗ , ∃ !r ∈ R∗+ , ∃ θ ∈ R / z = rei θ c’est-à-dire
déf. 2
z = |z| e
i argz
.
2) Propriétés
Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument modulo 2π.
∀ (z, z 0 ) ∈ C∗2 ,
prop.
∀ z ∈ C∗ ,
∀ z ∈ C∗ ,
∀ z ∈ C,
arg (zz 0 ) ≡ arg (z)+arg (z 0 ) (2π)
arg (
et
z
) ≡ arg (z)−arg (z 0 ) (2π)
z0
1
arg ( ) ≡ −arg (z) (2π) et arg (z) ≡ −arg (z) (2π)
z
∀ n ∈ Z, arg (z n ) ≡ n arg (z) (2π)
∃ (x, y) ∈ R2 / z = x + iy
et
e
z
=e
x
.e
iy
.
Alors
|e z | = e
x
et
arg (z) ≡ y (2π)
Complexe - page 2
IV - ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
1) Racines n−ièmes d’un complexe
Soient a ∈ C et n ∈ N tel que n > 2.
On appelle racine n−ième de a tout complexe z tel que
déf.
z n = a.
a. Recherche des racines carrées
∃ !(α, β) ∈ R2 / a = α + i β.
2
z = a ⇐⇒
z2 = α + i β
|z|2 = |a|
Soit z ∈ C. ∃ !(x, y) ∈ R2 / 
z = x + i y.
α + |a|
 2

2


 x − y2 = α
 x =
2
|a| − α
2xy = β
⇐⇒
⇐⇒
2
y
=
 2


x + y 2 = |a|

2

2xy = β
Les deux premières équations permettent de déterminer x et y au signe près.
La dernière équation permet de déterminer le signe de y en fonction de celui de x.
b. Racines n−ièmes de 1
On note Un = {z ∈ C / z n = 1}.
2 i kπ
2 i kπ
Alors Un = {e n / k ∈ Z} = {e n / k ∈ [[0, n − 1]]}
La somme des racines n−ièmes de 1 est nulle.
et
le cardinal de Un vaut n.
c. Recherche des racines n−ièmes de a ∈ C∗
L’équation z n = a admet n racines distinctes dans C, appelées racines n−ièmes de a.
Notons ϕ =Arg a. Alors a = |a| e i ϕ et l’ensemble des racines n−ièmes de a est :
p
ϕ
2kπ
{zk = n |a| e i( n + n ) / k ∈ [[0, n − 1]]}
Les images de ces n racines n−ièmes sont les sommets
d’un polygone régulier à n sommets
p
inscrit dans le cercle de centre O et de rayon n |a|.
2) Equation du second degré
Soient a, b, c trois complexes tels que a 6= 0 et z dans C.
az 2 + bz + c = 0
b
c
a z2 + z +
=0
a
a
b2
b
c
(z + )2 − 2 + = 0
2a
4a
a
b
b2 − 4ac
(z + )2 =
2a
4a2
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Le discriminant
b2 − 4ac
∃ z0 ∈ C / z02 = b2 − 4ac.
appartient à C donc
az 2 + bz + c = 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
th. 1
th. 2
Soit (a, b, c) ∈ C∗ × C2
et
l’équation (∗)
b 2
z0 2
) =
2a
2a
b
z0
z+
=±
2a
2a
−b + z0 −b − z0
z∈{
,
}
2a
2a
(z +
az 2 + bz + c = 0.
Alors (∗) admet deux racines complexes z1 et z2 telles que
Soient s et p deux nombres complexes
fixés.
z1 + z2 = s
Alors les solutions du système
z1 .z2 = p
Complexe - page 3
z1 + z2 = −
b
a
et
z1 z2 =
c
.
a
sont les racines de l’équation : z 2 − sz + p = 0.
V - APPLICATIONS TRIGONOMÉTRIQUES DES COMPLEXES
On peut retrouver les formules de trigonométrie classique.
1)
Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de sin(x) et cos(x)
∀ n ∈ N∗ ,
2)
cos(nx) = Re (e i nx ) = Re (cos(x) + i sin(x))n = . . .
sin(nx) = Im (e i nx ) = Im (cos(x) + i sin(x))n = . . .
∀ x ∈ R,
Linéarisation de cosn (x) et sinn (x)
∀ n ∈ N∗ ,
∀ x ∈ R,
cosn (x) =
e
ix
+e
2
− i x n
= ...
et
sinn (x) =
e
ix
−e
2i
− i x n
= ...
Distinguer les cas n pair et n impair.
3)
Progression arithmétique
n
X
Calculer pour n dans N∗ et x dans R :
cos(kx)
et
k=0
θ∈R
et
Si (a, b) = (0, 0)
sin(kx).
k=0
a cos θ + b sin θ
4) Transformation de
Soit
n
X
(a, b) ∈ R2
et
S = a cos θ + b sin θ.
alors S = 0.
a + ib
z
z
=√
∈ U donc ∃ t ∈ R /
= e i t.
Si (a, b) 6= (0, 0) alors z = a + i b ∈ C∗ et
2
2
|z|
|z|
a +b
√
√
√
a
ib
2
2
Donc S = a + b . √
+√
= a2 + b2 .(cos t cos θ + sin t sin θ) = a2 + b2 cos(t − θ).
2
2
2
2
a +b
a +b
VI - COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE
1) Affixe, image
On se place dans le plan E, muni d’un repère orthonormé
−ı , →
− ).
R(O, →
L’application de C dans E, qui au complexe z = x + iy associe le point M (z) de coordonnées (x, y) dans R
est une bijection, c’est-à-dire qu’à chaque point de E on associe par cette application un et un seul complexe z.
z est appelé affixe du point M et M est l’image de z dans le plan E.
−
−ı , →
− ) comme le complexe z = x + iy.
De même, on définit l’affixe d’un vecteur →
u de coordonnées (x, y) dans ( →
−−→
z = x + iy est alors l’affixe de M si et seulement si il est l’affixe de OM .
2)
Interprétation géométrique du module et de l’argument
le complexe non nul z est l’affixe de M
−−→
−ı\
|z| = OM et arg (z) ≡ ( →
, OM ) (2π).
Si
prop. 1
alors
M et M 0 ont pour affixes respectives z et z 0 tels que z 6= z 0
−−−→
le vecteur M M 0 a pour affixe z 0 − z et M M 0 = |z 0 − z|
Si
prop. 2
alors
et
−−−→
−ı \
arg (z 0 − z) ≡ ( →
, M M 0 ) (2π)
3) Transformations géométriques
L’application
L’application
L’application
L’application
f
f
f
f
: M (z)
: M (z)
: M (z)
: M (z)
7−→
7−→
7−→
7−→
f (M )(z) est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe (Ox).
f (M )(z + b) où b ∈ C est la tranlation de vecteur d’affixe b.
f (M )(k.z) où k ∈ R∗ est l’hométhétie de centre O et de rapport k.
f (M )(e i θ z) où θ ∈ R est la rotation de centre O et d’angle θ.
Complexe - page 4