Objectifs DÉRIVÉE ET VARIATIONS D'UNE FONCTION Connaissances (A SAVOIR) Capacités (A SAVOIR FAIRE) Sécantes à une courbe passant par un point. Tangente à une courbe en un point. Nombre dérivé. Équation réduite de la tangente à une courbe en un point. Fonction dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle. Notation f ’. Fonctions dérivées des fonctions affines et carré. Règles de dérivation : dérivée du produit d’une fonction dérivable par une constante, dérivée de la somme de deux fonctions dérivables. Lien entre signe de la dérivée d’une fonction sur un intervalle et sens de variation de cette fonction sur cet intervalle. Extremum d’une fonction sur un intervalle donné. Extremum local et extremum global. Fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Fonction inverse. Construire en un point la tangente à la courbe représentative d’une fonction f à l’aide d’outils numériques. Déterminer, par une lecture graphique, lorsqu’il existe, le nombre dérivé d’une fonction f en l’abscisse d’un point de la courbe représentative de cette fonction. Construire en un point la tangente à la courbe représentative d’une fonction f connaissant le nombre dérivé en ce point. Écrire l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point lorsqu’elle existe. Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Étudier, sur un intervalle donné, les variations d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variations. Déterminer un extremum d’une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation. Dresser le tableau de variations d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Étudier la fonction inverse : dérivée, variations, représentation graphique. Dresser son tableau de variations. 1. Tangente à une courbe en un point 1.1. Tangente et nombre dérivé La droite qui approche au mieux la courbe représentative d’une fonction au voisinage d’un point A est appelée tangente à la courbe au point A (elle coupe la courbe qu’en un seul point). y f(x) = x3 – 2x2 + 30 60 50 40 30 1 f 20 10 0 1re PRO +15 A T 1 Nombre dérivé = Coefficient directeur de la tangente Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente au point A d’abscisse xA. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point de coordonnées (xA ; f(xA)) est appelé nombre dérivé de f en xA. Le nombre dérivé de f en xA est noté f ’(xA). f ’(3) = 15 2 xA = 3 4 x 1/3 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D'UNE FONCTION 1.2. Équation d’une tangente Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente au point A d’abscisse xA. L’équation réduite de cette tangente est y = f ’(xA)×(x – xA) + f(xA) 2. Fonction dérivée 2.1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant, pour tout x de l’intervalle I, un nombre dérivée f ’(x). La fonction qui, à tout x de l’intervalle I associe le nombre dérivé f ’(x) de f est appelée fonction dérivée de f : elle est notée f ’. 2.2. Fonctions dérivées des fonctions élémentaires Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a et b deux nombres réels donnés : Fonction f Dérivée f ’ Ensemble de définition I : f(x) = a f ’(x) = 0 f(x) = ax + b f ’(x) = a f ’(x) = 2x 2 f(x) = x Soient f et g deux fonctions admettant sur l’intervalle I des dérivées f ’(x) et g’(x). Soit a un nombre réel donné. Dans ces conditions, pour tout x de I on a : Fonction Dérivée a.f(x) a.f ’(x) f(x) + g(x) f ’(x) + g’(x) 3. Études de fonction à l’aide de la dérivée 3.1. Sens de variation Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b] et admettant sur cet intervalle une dérivée f ’ • Si pour tout x de [a ; b] on a f ’(x) > 0, alors la fonction f est croissante sur [a ; b]. • Si pour tout x de [a ; b] on a f ’(x) < 0, alors la fonction f est décroissante sur [a ; b]. x a f ’(x) b + f x a f ’(x) b – f • Si pour tout x de [a ; b] on a f ’(x) = 0, alors la fonction f est constante sur [a ; b]. 3.2. Extremums Si la dérivée s’annule en changeant de signe en un point x0, alors la fonction admet un extremum en x0. Un extremum est un minimum ou un maximum. x a x0 b x a x0 b f ’(x) – 0 + f ’(x) – 0 + f(x0) f f f(x0) la fonction f possède pour x0 un minimum la fonction f possède pour x0 un maximum égal à f(x0) égal à f(x0) 1re PRO 2/3 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D'UNE FONCTION 4. Fonction inverse 1 Soit la fonction f qui à tout x non nul associe le nombre . x 1 Cette fonction est définie par f(x) = (pour x 0). x 1 Sa fonction dérivée est f ’(x) = – 2 (pour x 0). x 1 Pour tout x 0, on a x2 > 0 donc – 2 < 0 soit f ’(x) < 0 et on peut alors en déduire le tableau de x variation de la fonction f suivant : x – f ’(x) 0 – + f(x) = – y 1 x 8 6 f 4 La double barre sous le zéro indique que la fonction n’est pas définie en x = 0. 2 -4 La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. -2 0 2 4 x -2 -4 -6 -8 1re PRO 3/3