TS Ex. sur la fonction exponentielle (1) version 10-9-2021

TS Exercices sur la fonction exponentielle (1)
1 Simplifier les expressions suivantes :
a.
A exp 3 exp 2
 b.
B exp 2 exp – 2
 c.
exp
C
exp3
x
x
 d.
3
Dexp
x
On pensera à vérifier les résultats avec l’application « Photomath » sur téléphone portable.
2 Simplifier les expressions suivantes, pour
x
:
a.
52
A exp exp 2
xx
 b.
3
Bexp31exp
xx
3 Simplifier les expressions suivantes :
a.
34
Aee
b.
55
Bee
 c.
3
2
Cee
4 Simplifier les expressions suivantes :
a.
4
2
ee
Ae
x
x
 b.
23
Beeeee
xxxxx
5 Établir, pour
x
, les égalités suivantes :
a. 2
2
1e
ee
e
x
xx
x
 b.
e11e
e11e
xx
xx
6 On considère la fonction f : x
22
ee ee
xx xx
 définie sur .
1°) Vérifier que la fonction f est constante.
2°) Faire apparaître la courbe représentative de f sur l’écran de la calculatrice. On choisira une fenêtre
graphique assez large en abscisse (par exemple, pour
20;20
x et
5;5
y ).
On pourra éventuellement faire afficher la courbe sur un écran d’ordinateur à l’aide d’un logiciel de tracé de
courbe tel que Geogebra.
Qu’observe-t-on ? Comment peut-on expliquer le phénomène ?
7 Démontrer que la fonction f : x
e1
e1
x
x
est impaire (voir rappels plus loin page 4 sur les fonctions paires et
impaires).
8 Factoriser les expressions suivantes :
a. 2
Aee
xx
b. 2
Be1
x
c. 2
C 4e 4e 1
xx
d.
3
De3e
xx
x
Pour les trois premières expressions, on donnera le résultat sous forme d’un produit ne contenant que
e
x
.
Dans les exercices 9 à 22 , résoudre dans  les équations ou inéquations données.
9 a.
exp e
x
b.
exp 1
x
c.
exp – 2
x
10 a.
exp–0
x b.
exp–1
x c.
exp–e
x
11 a.
213
ee
x
b.
2
e1
x
c. 41
1
e
e
x
12 a.
ee0
xx
b.
ee0
xx
13 a.
4
4
ee
xx
 b.
2
2
42
ee
xx
14 2
e2e10
xx
(on pourra poser
e
x
X
)
15 2
e3e40
xx
16 2
ee20
xx
17
2
e1eee0
xx
18 a. 2
ee
x
b.
e1
x
19 a. 5
ee
xx
b.
2
2
ee
xx
20 2
e3e40
xx
21
2
e1eee0
xx
22
ee2
xx
23 Étudier le signe des expressions suivantes :
2
Aee
xx
;
Bee
xx
 ; 21
Ce1
x
;
22
D1e
x
x  ;
22
E13e
x
x
24 Calculer la dérivée de la fonction f définie sur .
a. f : x
3e2
x
x
b. f : x2
24e1
x
x c. f : x
3e
2
x
25 Calculer la dérivée de la fonction f définie sur .
Donner les résultats sous forme factorisée.
a. f : x
e
x
x
b. f : x
21e
x
x c. f : x
5
3e1
x
26 Calculer la dérivée de la fonction f définie par :
a.
e
x
fx
x
 sur * b.
e
e1
x
x
fx sur * c.
2
e1
x
fx sur 

27 Faire le tableau de variations de la fonction f définie sur .
a. f : x
2
3e
x
x b. f :x
e
x
x c. f : x
3
e1
x
28 On considère la fonction f :x
e
x
et l’on note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère
O, ,
ij
.
1°) Déterminer une équation de la tangente
a
T
àC au point d’abscisse a (a réel quelconque).
2°) Déterminer l’abscisse du point A de C en lequel la tangente passe par le point B(1 ; 0).
On rédigera ainsi
« B
a
T
si et seulement si … ».
Faire un graphique sur une demi-page en prenant le centimètre pour unité graphique et le repère orthonormé.
Tracer la courbe C puis la tangente passant par le point B.
29 Démontrer que, pour tout réel x, on a : e1
x
x
en étudiant les variations de la fonction
f : xe1
x
x
.
30 On considère la fonction f :x
e
e1
x
x
définie sur  et l’on note C sa courbe représentativedans le plan
muni d’un repère
O, ,
ij
.
1°) Étudier le sens de variation de f sur .
2°) Écrire une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse 0.
3°) Soit g la fonction définie sur  par
1
42
x
gxfx
 .
a) Calculer
'
gx
(donner le résultat sous forme factorisée).
b) Déterminer le sens de variation de g.
c) Calculer
0
g.
d) En déduire la position de C par rapport à T.
Vérifier le résultat en utilisant une calculatrice graphique ou un logiciel de tracé de courbe.
4°) Démontrer que C admet le point A pour centre de symétrie.
31 On considère la fonction f :x
333e
x
xx définie sur .
1°) Calculer
'
fx
et
''
fx
.
2°) Étudier les variations de
'
f
.
3°) En déduire le signe de
'
fx
pour tout réel x puis le sens de variation de f.
32 Résoudre dans  les équations suivantes.
a.
e4
x
b.
e30
x
c. 2
e2
x
d. 3
e30
x
e.
2e30
x
f. 21
e5
x
g.
e1e20
xx
33 Résoudre dans  les inéquations suivantes.
a.
e7
x
b.
2e0
x
c. 5
e8
x
34 Résoudre dans
2
le système
ee5
ee1
xy
xy
.
Fonctions paires, fonctions impaires
À savoir par cœur
La notion de nombre pair ou impair pour les entiers relatifs est abordée au collège.
La notion de fonction paire ou impaire n’a pas de rapport.
La notion de fonction paire ou impaire fait intervenir la notion de sous-ensemble de  symétrique par rapport à
0 ou centré en 0.
Définition :
On dit qu’un sous-ensemble de  est symétrique par rapport à zéro ou centré en zéro pour exprimer que
xD
xD
.
Exemples : ,
2;2
,
2;2
,*
Contre-exemples:
1;2
,
2;2
Définition :
f est une fonction définie sur un domaine
D
centré en zéro (c’est-à-dire que
xD
xD
).
 On dit qu’une fonction f est paire pour exprimer que
xD
fxfx
 .
 On dit qu’une fonction f est impaire pour exprimer que
xD
fxfx
 .
Exemples :
 Les fonctions constantes, « valeur absolue », « carré », puissances d’exposant entier pair, cosinus sont paires.
 Les fonctions linéaires, « inverse », « cube », puissances d’exposant impair, sinus sont impaires.
Deux questions :
Une question : Quelles sont les fonctions à la fois paires et impaires ?
La seule fonction à la fois paire et impaire.
Une question : Toute fonction est-elle paire ou impaire ?
Une fonction peut-être ni paire ni impaire (exemples : fonction « racine carrée », fonction « partie entière »,
fonction x3
1
x ).

Propriété graphique (propriété de symétrie) :
 Une fonction f est paire si et seulement si sa représentation graphique dans un repère orthogonal admet
l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
 La représentation graphique d’une fonction impaire dans un repère quelconque admet l’origine du
repère pour centre de symétrie.
Intérêt (application) :
La parité d’une fonction permet de limiter l’étude à la « moitié » du domaine D .
Propriété admis sans démonstration :
Toute fonction s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction constante égale à 0, appelée fonction identiquement
nulle.
On notera que le domaine de définition est important pour la parité d’une fonction.
Une petite propriété des fonctions impaires :
Soit D un sous-ensemble de  centré en 0 tel que 0
D
.
Si f est une fonction impaire définie sur D, alors
00
f
.
La démonstration est quasiment évidente.
Il faut savoir la refaire sans difficulté.
Comme 0
D
et que f est impaire, on peut écrire
00
ff soit
00
ff .
On obtient finalement,
200
f .
Par conséquent,
00
f
.
Corrigé des exercices
On peut vérifier les résultats des exercices 1 à 4 grâce à l’application « Photomath » sur téléphone portable
ou un logiciel de calcul formel.
1 Simplifications d’expressions
a.
A exp 3 exp 2
a. A
exp32
a. A
exp5
b.
B exp 2 exp – 2
exp 2 – 2
exp 0
1
c.
exp
C
exp3
x
x
exp–3
xx
exp – 2
x
d.
3
Dexp
x
d. D
exp3
x
Pour B, on arrive à
exp 0
que l’on simplifie en 1.
2 Simplification d’expressions
a.
52
A exp exp 2
xx
exp 5 exp – 4
xx
exp
x
b.
3
Bexp31 exp
xx
exp – 3 1 exp 3
xx
exp 1
e
3 Simplifications d’expressions
a.
34
Aee
1
e
e
b.
55
Bee
0
e
1
c.
3
2
Cee
6
ee
7
e
4 Simplifications d’expressions
a.
4
2
ee
Ae
x
x
14
2
e
e
x
x
142
e
xx
12
e
x
b.
23
Beeeee
xxxxx
22
22
e2eeeee
x xxx xx
2
ex 2 2ex  2 ex
2
e
x
–2
Pour l’expression B, on a des sommes ou des différences d’exponentielles.
On ne peut donc rien faire.
En revanche, on peut appliquer les règles usuelles de calcul algébrique.
On peut en particulier appliquer les identités remarquables.

5 Égalités
« établir » signifie « prouver », « démontrer » (on le retrouve dans l’expression : « Il est établi que »).
On part du membre de gauche pour arriver au membre de droite.
a.
x
222
1e1e
eee
xx
xxx
x
22
ee
xxx
x
2
ee
xx
b. Il y a 3 méthodes à noter.
1ère méthode : On part du premier membre de l’égalité et on multiplie le numérateur et le dénominateur par
e
x
.
x
ee1
e1
e1
ee1
xx
x
xxx
x
eee
ee
e
e1
1e
xxx
xx
x
xx
x
0
0
ee
ee
e1
e1
x
x
x
x
x
1e1
e1
e
1e
x
x
x
x
2e méthode : On part du premier membre de l’égalité et on force la factorisation du numérateur par
e
x
.
x
e
e1
e1
x
x
x
1
1
e
e
x
x
1
1
e
x
x
1
1
e
1
1
e
e1
e1
x
x
x
x
x
1e1
e1
e
1e
x
x
x
x
3e méthode : On part du second membre de l’égalité
1e
1e
x
x
 et l’on transforme pour arriver au premier
membre.
x
1
1
1e
e
1
1e 1
e
x
x
x
x
x
e
1e
1
e1
e
e
1
e
x
x
x
x
x
x
x
e
1
ee 1
1
1
e
x
x
x
x
6
f : x
22
ee ee
xx xx
 définie sur 
1°) Vérifions que la fonction f est constante.
x
22
ee ee
xx xx
fx   (la présence du quantificateur précédant l’égalité est essentielle)
x
2
ex fx
2
2eee
xxx
2
ex
2
2eee
xxx
l’une des deux lignes
x
2
ex fx2 2eee
xxx
 2 ex
2
2eee
xxx
x
22
fx
x
4
fx
On en déduit que la fonction f est constante sur .
2°) La bizarrerie observée sur l’écran de la calculatrice est liée au dépassement de capacité (dépassement de
capacité de calcul).
On observe que la fonction semble constante nulle en dehors de l’intervalle
15;15
. Cela tient au fait que la
calculatrice a du mal a faire des calculs sur de très grands nombres.
On sait que exx .
Or
1
e
e
x
x
 donc
e0
xx
.
Pour de « grandes » valeurs de x, la calculatrice fait le calcul
22
ee0
xx
.

7
f : x
e1
e1
x
x
Démontrons que la fonction fest impaire.
La fonction fest définie sur  (en effet, pour tout réel x, on a :
e10
x
donc
e10
x
).
Le domaine de définition est donc centré en 0.
x
e1
e1
x
x
fx 
x
1
1
e
1
1
e
x
x
fx
x
1e
e
1e
e
x
x
x
x
fx
x
1e
1e
x
x
fx 
x
e1
e1
x
x
fx
x
e1
e1
x
x
fx
x
f
x
xf
On en déduit que la fonction f est impaire (on ne dit pas « impaire sur  »).
On peut vérifier que la courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à l’origine O du repère
en la traçant sur l’écran de la calculatrice.
8 Factorisations d’expressions
a. 2
Aee
xx
a.
2
A
ee
xx
a. eeA
e
xxx
ee1
xx
b. 2
Be1
x
2
2
e1
x
identité remarquable
e1e1
xx
c. 2
C 4e 4e 1
xx
2
2e1
x
identité remarquable
d.
3
De3e
xx
x
2
e3e
xx
x
Autre façon pour l’expression A :
2
1
Ae1
e
x
x
Attention à la factorisation fausse :
2
Aeee
x
.
Autre façon un peu tordue pour le B :
2
Be1
x
2
eeB
e
xxx
Beee
xxx
Autre façon un peu tordue pour le C :
2
C 4e 4e 1
xx
2
4e4eeC
e
xxxx
e4eC4e
xxx
9 Résolutions d’équations de la forme exp
xa
Les équations et inéquations doivent toujours être « équilibrées » en exp (2 exponentielles de chaque côté).
C’est comme pour les équations en cos et/ou sin.
On peut vérifier les solutions grâce à l’application « photomath » sur le téléphone portable.
Il est intéressant également de vérifier les résultats avec un logiciel de calcul formel.
a. Résolvons dans  l’équation
expe
x (1).
(1) Û
exp exp 1
x
Û
1
x
Soit
1
S
l’ensemble des solutions de (1).
1
1
S
b. Résolvons dans  l’équation
exp1
x (2).
(2) Û
exp exp 0
x
Û
0
x
Soit
2
S
l’ensemble des solutions de (2).
2
0
S