THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS

THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES:
THEOREME :
Soit f une fonction continue sur un intervalle J. Si f prend sur J les valeurs m et M, alors f
atteint sur J toute valeur comprise entre m et M.
COMMENTAIRE :
f
Est continue sur un intervalle
;ab
.
; , ;f a f b au moinsunc a b telque f c
.
APPLICATION :
Soit f la fonction définie par :
352f x x x  
.
1. Démontrer que l’équation f(x) =0 admet au moins une solution dans
0;1
.
2. Déterminer une valeur approchée de à
2
10
.
THEOREMES DE LA BIJECTION
THEOREME 1 :
f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle J.
1. f réalise une bijection de J sur f(J).
2. f admet une bijection réciproque
-1
f
qui est définie ,continue et
strictement monotone sur f(J).
3. f et
-1
f
ont le même sens de variations.
APPLICATION :
Soit f la fonction définie par : f(x) = sin x. Montrer que f est une bijection de
;
22
sur un intervalle à préciser.
THEOREME 2 :
f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
;ab
. Si
x0f a f b
alors l’équation f(x) = 0 admet une solution unique dans
l’intervalle
;ab
.

THEOREME 3 :
f est une bijection de J sur K.
aJ
et
bK
tel que f(a) =b.
-1
f
est dérivable en b si f est dérivable en a et f ‘ (a) 0.
INEGALITES DES ACCROISSEMENTS FINIS
THEOREME 1 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J . S’il existe deux réels m et M tels que pour
tout x de J :
'm f x M
alors quels que soient les réels a et b de J avec
ab
on a :
( ) ( )m b a f b f a M b a    
.
THEOREME 2 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J . S’il existe un réel positif M tel que :
xJ
,
'f x M
alors pour tous réels a et b de J on a :
()f b f a M b a  