THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS

THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES:
THEOREME :
Soit f une fonction continue sur un intervalle J. Si f prend sur J les valeurs m et M, alors f
atteint sur J toute valeur comprise entre m et M.
COMMENTAIRE :
f Est continue sur un intervalle  a; b .
   f  a  ; f  b   ,  au moins un c  a; b tel que f c    .
APPLICATION :
Soit f la fonction définie par : f  x   x3  5x  2 .
1. Démontrer que l’équation f(x) =0 admet au moins une solution  dans 0;1 .
2. Déterminer une valeur approchée de
 à102 .
THEOREMES DE LA BIJECTION
THEOREME 1 :
f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle J.
1. f réalise une bijection de J sur f(J).
2. f admet une bijection réciproque f -1 qui est définie ,continue et
strictement monotone sur f(J).
3. f et f -1 ont le même sens de variations.
APPLICATION :
Soit f la fonction définie par : f(x) = sin x. Montrer que f est une bijection de
  
  2 ; 2  sur un intervalle à préciser.
THEOREME 2 :
f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle  a; b . Si
f  a  x f  b  0 alors l’équation f(x) = 0 admet une solution unique dans
l’intervalle  a; b .
THEOREME 3 :
f est une bijection de J sur K. a  J et b  K tel que f(a) =b.
f -1 est dérivable en b si f est dérivable en a et f ‘ (a)  0.
INEGALITES DES ACCROISSEMENTS FINIS
THEOREME 1 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J . S’il existe deux réels m et M tels que pour
tout x de J : m  f '  x   M alors quels que soient les réels a et b de J avec a b on a :
m  b  a   f  b  f (a)  M (b  a) .
THEOREME 2 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J . S’il existe un réel positif M tel que : x  J ,
f '  x   M alors pour tous réels a et b de J on a : f  b   f (a )  M b  a