Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices
Corrigé TD-E4 : Modulation et démodulation du signal
Exercice 1 : caractéristiques d’un signal modulé en amplitude et puissance transportée
1. Lestroiscomposantesspectralescorrespondentauxfréquences,et+.Onmesuregraphi-
quement=3Het=200H.
2. LacomposanteàlafréquenceapouramplitudeA,tandisquecelleà+vautA×
2.Lamesure
graphiquedurapportdesdeuxamplitudesnousdonne
2018,onendéduit=036
Exercice 2 : Caractéristiques d’un signal modulé en amplitude et puissance transportée
1. Voirfigure.
2. Onmesure9×T=11 d’=82H.OnmesureT=11 d’=909H.
3. (a) Ilyatroiscomposantesspectrales:=162H,+=172Het=152H.Labande
passante autorise un spectre du signal dont le contenu spectral va jusqu’à environ 9
2= 45H,
toutes les hautes fréquences (aigües) ne sont donc pas restituées, d’où un son de faible qualité
sonore.
(b) ()=Ahcos(2π +φ)+
2cos2π++φ+
2cos2π+φi
()2=A2cos(2π +φ)2+2
4cos2π++φ2+2
4cos2π+φ2+termescroisés
()2=R×P=A21
2+2
8+2
8
P=P+2×P
P=P
1+2
2=1561W
P=PP
2=220W
Lessentieldelapuissancedusignalestcontenusurl’ondeporteuse,lesignalaudiointéressantne
correspondqu’àunefaiblepuissancedusignaltotaltransmis.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices
Exercice 3 : Débruitage d’un signal par détection synchrone
1. ()=10×[()×()]×Acos(2π+φ)
()
10 =UA cos(2π)cos(2π+π)+AP cos2πcos(2π+φ)
=UP
2[cosφ+cos(4π+φ)]+AP
2cos2πφ+cos2π++φ
Lespectredusignalensortiedumultiplieurestreprésentésurlafigureci-dessous:
2. Il faut choisir de telle sorte que < . Ainsi, en sortie du filtre passe-bas ne passera que la
composantecontinuedez(t).
3. Ilfautavoir|cosφ|=1,c’est-à-direchoisirφ=π[π].
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Exercice 4:Transmission d’un signal périodique par modulation d’amplitude
1. On sait que le signal périodique si(t), de période T0, peut se mettre sous la forme suivante (cf. annexe 2) :
si(t)=
−∞
cnexp j2pnt
T
avec :
cn=1
T0
s0n
T0=Am
T0T0/2
T0/2
cos pt
T0exp(j2pft)dtf=n
T0
Calculons cn:
cn=Am
2T0T0/2
T0/2exp jpt
T0+exp jpt
T0exp(j2pft)dt
=Am
2T0T0/2
T0/2exp j2ptf1
2T0+exp j2ptf+1
2T0dt
L’intégration donne un sinus cardinal. Il vient alors, en faisant f=n/T0:
cn=Am
2sinp(n1/2)
p(n1/2)+sinp(n+1/2)
p(n+1/2)d’où c0=2Am
pc1=2Am
3pc2=2Am
15p
On en déduit, puisque cn=cn:
an=cn+cn=2cnet bn=cncn=0
Finalement si(t)peut se mettre sous la forme :
si(t)=A1+2
3cos(v0t)2
15 cos(2v0t)+···avec A=2Am
pet v0=2pf0
Sur la figure S16.2 on a représenté graphiquement le spectre de Fourier
si(f)jusqu’à l’ordre deux inclus.
0f
2f02f0
f0f0
ˆ
si(f)
FIG. S16.2.
98 16. Solutions des exercices
2. Le spectre du signal modulé en amplitude, s(t)=ap,m+si(t)cos(vpt), s’obtient en prenant la Trans-
formée de Fourier :
s(f)= 1
2ap,md(f)+
si(f)d(ffp)+d(f+fp)=1
2ap,md(ffp)+
si(ffp)+1
2ap,md(f+fp)+
si(f+fp)
Par définition, le signal analytique sa(t)associé à s(t)a le spectre suivant :
sa(f)=ap,md(ffp)+
si(ffp)=ap,md(f)+
si(f)d(ffp)d’où sa(t)=ap,m+si(t)exp(jvpt)
3. Si l’on veut transmettre les deux premiers harmoniques, la bande passante doit être :
Df=2×2f0=4f0=4kHz
Les fréquences caractéristiques du signal s(t)transmis sont donc, en dehors de fp=1MHz :
fpf0=0,999 MHz fp2f0=0,998 MHz fp+f0=1,001 MHz et fp+2f0=1,002 MHz
4. Le signal analytique sa,1(t), correspondant à s1(t), admet comme spectre :
sa,1(f)=ap,md(ffp)+Ad(ffp)+ A
3d(ffpf0)
d’où :
sa,1(t)=(ap,m+A)exp(jvpt)+ A
3exp[j(vp+v0)t]=ap,m+A+A
3exp(jv0t)exp j(vpt)
ce qui s’écrit aussi :
sa,1(t)=A(t)exp j(vpt)=|A(t)|exp j[vpt+f(t)] avec A(t)=ap,m+A+A
3exp(jv0t)
On en déduit l’amplitude réelle |A(t)|et la phase f(t):
|A(t)|=ap,m+A+A
3cos(v0t)2
+A2
9sin2(v0t)1/2
=a2
p,m+10A2
9+2A(ap,m+A)
3cos(v0t)+2ap,mA1/2
et :
tan f=(A/3)sin(v0t)
ap,m+A+(A/3)cos(v0t)
Pour ap,m=2V et A=1V,ontrouve:
|A(t)|=9,1+2cos(v0t)1/2et tan f(t)= sin(v0t)
9+cos(v0t)
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Exercice 5 : Démodulation par détection d’enveloppe (d’après CCP PSI 2005)
1. =+donc=.Onendéduitlesdeuxrégimesdefonctionnementpossible:
Ladiodeestbloquéetantque> (<0),alorslecondensateursedéchargedanslarésistance
avecuneconstantedetempsτ=RC et()=(0)
τ.Aucoursdeladéchargeilexisteuninstant
telque=,ladiodedevientalorspassante.
Ladiodeestpassantetantque=(=0).Lecondensateursechargeavec()=().
SiletempsdedéchargeestgranddevantlapériodeT,alorsona()V,c’est-à-direestégaleà
l’amplitudedesoscillations,i.e.àV(1+cosω).Letempsτnedoitpasnonplusêtrechoisitropgrand
devantTsinononrisquedeneplussuivrelescrêtesdusignal: T < τ < 2T.
2. Loidesnœuds: =C
 +1
R.
=CVω sinω +1
RV(1+cosω)
=V
Rh1+ωRCω(ω+π
2)i
=V
R1+ω(1RCω)
=V
R1+ωφq1+(RCω)2avec tanφ=RCω
()= V
R[1+cos(ω+φ)]avec tanφ=RCω et =q1+(RCω)2
3. ()>01+cos(ω+φ)>0 < 1
21+(τω)2<1
τ < 1
ωr1
21 ( < 1)
4. D’après la question 3, l’application numérique conduit à la condition sur τ:τ < 325µ. D’après la
question1),τ > 2π
.Finalement: 20µ < τ < 325µ
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