Feuille d`exercices n°18 Probabilités

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°18
Probabilités
Exercice 168
Soit nun nombre entier supérieur ou égal à 2. Un joueur lance une bille sur une planche percée de ntrous
numérotés de 1 à n. La bille tombe dans un trou et un seul. On sait que pour tout k∈ 1,n−1, la probabilité
que la boule tombe dans le trou numéro kest de 1
3k. Quelle est la probabilité que la boule tombe dans le trou
numéro n?
Exercice 169
On jette trois dés non truqués à 6 faces numérotées de 1 à 6.
1. Calculer la probabilité d’avoir exactement un 6.
2. Calculer la probabilité d’avoir au moins un 6.
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux faces identiques.
Exercice 170
Soit nun nombre entier supérieur ou égal à 3. Dans une urne, on place nboules numérotées de 1 à n. On tire
successivement, sans remise, au hasard, trois boules de l’urne.
1. Quelle est la probabilité que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens strict ?
2. Quelle est la probabilité que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens large ?
Exercice 171
Soit nun nombre entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient des boules, indiscernables au toucher, numé-
rotées de 1 à n. On suppose que pour tout k∈ 1,n, il y a kboules portant le numéro k. On tire une boule au
hasard dans l’urne.
1. On suppose que nest un nombre pair. Déterminer la probabilité pnd’obtenir une boule portant un
numéro pair. Comparer pnà1
2.
2. On suppose que nest un nombre impair. Déterminer la probabilité qnd’obtenir une boule portant un
numéro pair. Comparer qnà1
2.
3. Déterminer les comportements asymptotiques des deux suites ¡p2l¢l∈N∗et ¡q2l+1¢l∈N∗.
Exercice 172
Soient nun entier naturel non nul, bun nombre entier supérieur ou égal à 4. On place bboules blanches et n
boules noires dans une urne. On tire ensuite successivement 4 boules. À chaque tirage :
•si on tire une boule noire, on l’enlève ;
•si on tire une boule blanche, on la retire, et on ajoute une boule noire à la place.
Quelle est la probabilité de tirer 4 boules blanches à la suite ?
Exercice 173
Un commerçant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an. Pour chaque plante,
la première année, la probabilité de donner une fleur rose est de 3
4, celle de donner une fleur blanche est de 1 4.
Puis, les années suivantes, pour tout entier naturel n, on a :
•si l’année n, la plante a donné une fleur rose, alors l’année n+1, elle donnera une fleur rose ;
•si l’année n, la plante a donné une fleur blanche, alors l’année n+1, elle donnera de façon équiprobable
une fleur rose ou une fleur blanche.
On note pnla probabilité de l’évènement : « la plante a donné une fleur rose l’année n».
1. Démontrer que pour tout entier naturel n:
pn+1=1
2pn+1 2.
1

2. En déduire une expression de pnen fonction de n, pour tout entier naturel n.
3. Étudier la limite éventuelle de la suite (pn)n∈N.
4. Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs roses pendant les npremières années ?
5. Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs blanches pendant les npremières an-
nées ?
Exercice 174
Quatre pour cent des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les contrôler à l’aide
d’une machine.
•Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 98%.
•Si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de 99%.
1. Calculer la probabilité des évènements suivants :
A: « La pièce est défectueuse et elle est acceptée. » ;
B: « La pièce est bonne et elle est refusée. » .
2. Calculer P(A∪B). Interpréter ce résultat.
3. Calculer la probabilité que la pièce soit bonne sachant qu’elle a été refusée.
Exercice 175
On dispose de 5 pièces de monnaie équilibrées dont 4 possèdent un « PILE » et un « FACE » et dont une possède
deux « FACE ».
Soit nun nombre entier supérieur ou égal à 2. On choisit une des pièces au hasard et on la lance nfois.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir « FACE » au premier lancer ?
2. On a obtenu « FACE » au premier lancer, quelle est la probabilité d’avoir choisi la pièce à deux « FACE » ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir « FACE » aux npremiers lancers ?
4. On a obtenu « FACE » aux npremiers lancers, quelle est la probabilité pnd’avoir choisi la pièce à deux
« FACE » ?
5. Étudier la limite éventuelle de pnquand ntend vers +∞.
Exercice 176
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition d’un six soit de 1
2. On choisit un dé
au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé?
Exercice 177
1. Une puce se déplace sur les points entiers de la droite réelle. Elle est initialement placée sur l’origine.
Ensuite, à chaque seconde, elle saute sur l’un des deux points entiers à proximité de manière équipro-
bable. Calculer la probabilité qu’après nsecondes la puce revienne à l’origine, pour tout entier naturel
n.
2. Étudier le problème analogue en dimension 2.
Exercice 178
Soit Aet Bdeux évènements d’un espace probabilisé fini (Ω,P).
1. Calculer P³A∩B´en fonction de P(A) et P(B).
2. Démontrer que les événements Aet Bsont indépendants si et seulement si Aet Bsont indépendants.
Exercice 179
On dispose de deux dés D1et D2équilibrésà 6 faces. Les faces de D1sont numérotées de 1 à 6 tandis que D2
possède 5 faces portant le numéro 1 et 1 face portant le numéro 6. On choisit un dé au hasard et on le lance
deux fois. On considère les évènements :
E: « le premier lancer donne l’as » ;
F: « le deuxième lancer donne l’as ».
1. Calculer P(E) et P(F).
2. (a) Sachant que l’on a choisi le dé D2quelle est la probabilité de l’évènement E∩F?
(b) Calculer P(E∩F).
3. Les évènements Eet Fsont-ils indépendants ?
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