Feuille d`exercices n°18 Probabilités

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Feuille d’exercices n°18
Probabilités
Exercice 168
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2. Un joueur lance une bille sur une planche percée de n trous
numérotés de 1 à n. La bille tombe dans un trou et un seul. On sait que pour tout k ∈ ‚1, n − 1ƒ, la probabilité
1
que la boule tombe dans le trou numéro k est de k . Quelle est la probabilité que la boule tombe dans le trou
3
numéro n ?
Exercice 169
On jette trois dés non truqués à 6 faces numérotées de 1 à 6.
1. Calculer la probabilité d’avoir exactement un 6.
2. Calculer la probabilité d’avoir au moins un 6.
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux faces identiques.
Exercice 170
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 3. Dans une urne, on place n boules numérotées de 1 à n. On tire
successivement, sans remise, au hasard, trois boules de l’urne.
1. Quelle est la probabilité que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens strict ?
2. Quelle est la probabilité que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens large ?
Exercice 171
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient des boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à n. On suppose que pour tout k ∈ ‚1, nƒ, il y a k boules portant le numéro k. On tire une boule au
hasard dans l’urne.
1. On suppose que n est un nombre pair. Déterminer la probabilité p n d’obtenir une boule portant un
1
numéro pair. Comparer p n à .
2
2. On suppose que n est un nombre impair. Déterminer la probabilité q n d’obtenir une boule portant un
1
numéro pair. Comparer q n à .
2
¡
¢
¡ ¢
3. Déterminer les comportements asymptotiques des deux suites p 2l l ∈N∗ et q 2l +1 l ∈N∗ .
Exercice 172
Soient n un entier naturel non nul, b un nombre entier supérieur ou égal à 4. On place b boules blanches et n
boules noires dans une urne. On tire ensuite successivement 4 boules. À chaque tirage :
• si on tire une boule noire, on l’enlève ;
• si on tire une boule blanche, on la retire, et on ajoute une boule noire à la place.
Quelle est la probabilité de tirer 4 boules blanches à la suite ?
Exercice 173
Un commerçant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an. Pour chaque plante,
la première année, la probabilité de donner une fleur rose est de 34 , celle de donner une fleur blanche est de 14 .
Puis, les années suivantes, pour tout entier naturel n, on a :
• si l’année n, la plante a donné une fleur rose, alors l’année n + 1, elle donnera une fleur rose ;
• si l’année n, la plante a donné une fleur blanche, alors l’année n +1, elle donnera de façon équiprobable
une fleur rose ou une fleur blanche.
On note p n la probabilité de l’évènement : « la plante a donné une fleur rose l’année n ».
1. Démontrer que pour tout entier naturel n :
p n+1 =
1
1
1
pn + .
2
2
2. En déduire une expression de p n en fonction de n, pour tout entier naturel n.
3. Étudier la limite éventuelle de la suite (p n )n∈N .
4. Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs roses pendant les n premières années ?
5. Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs blanches pendant les n premières années ?
Exercice 174
Quatre pour cent des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les contrôler à l’aide
d’une machine.
• Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 98%.
• Si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de 99%.
1. Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : « La pièce est défectueuse et elle est acceptée. » ;
B : « La pièce est bonne et elle est refusée. » .
2. Calculer P (A ∪ B). Interpréter ce résultat.
3. Calculer la probabilité que la pièce soit bonne sachant qu’elle a été refusée.
Exercice 175
On dispose de 5 pièces de monnaie équilibrées dont 4 possèdent un « PILE » et un « FACE » et dont une possède
deux « FACE ».
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2. On choisit une des pièces au hasard et on la lance n fois.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir « FACE » au premier lancer ?
2. On a obtenu « FACE » au premier lancer, quelle est la probabilité d’avoir choisi la pièce à deux « FACE » ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir « FACE » aux n premiers lancers ?
4. On a obtenu « FACE » aux n premiers lancers, quelle est la probabilité p n d’avoir choisi la pièce à deux
« FACE » ?
5. Étudier la limite éventuelle de p n quand n tend vers +∞.
Exercice 176
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition d’un six soit de
au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
1
. On choisit un dé
2
Exercice 177
1. Une puce se déplace sur les points entiers de la droite réelle. Elle est initialement placée sur l’origine.
Ensuite, à chaque seconde, elle saute sur l’un des deux points entiers à proximité de manière équiprobable. Calculer la probabilité qu’après n secondes la puce revienne à l’origine, pour tout entier naturel
n.
2. Étudier le problème analogue en dimension 2.
Exercice 178
Soit A et B deux évènements d’un espace probabilisé fini (Ω, P ).
³
´
1. Calculer P A ∩ B en fonction de P (A) et P (B).
2. Démontrer que les événements A et B sont indépendants si et seulement si A et B sont indépendants.
Exercice 179
On dispose de deux dés D 1 et D 2 équilibrésà 6 faces. Les faces de D 1 sont numérotées de 1 à 6 tandis que D 2
possède 5 faces portant le numéro 1 et 1 face portant le numéro 6. On choisit un dé au hasard et on le lance
deux fois. On considère les évènements :
E : « le premier lancer donne l’as » ;
F : « le deuxième lancer donne l’as ».
1. Calculer P (E ) et P (F ).
2. (a) Sachant que l’on a choisi le dé D 2 quelle est la probabilité de l’évènement E ∩ F ?
(b) Calculer P (E ∩ F ).
3. Les évènements E et F sont-ils indépendants ?
2