Devoir à la maison n 7

©Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Devoir à la maison no7
Problème 1 —
Dans tout ce problème, le mot entier désignera un entier naturel supérieur ou égal à 1et le mot ensemble
désignera un ensemble de tels entiers.
Partie I –
Pour un ensemble Aet un entier n, on définit :
Ile nombre νn(A)d’éléments de Acompris entre 1et ni.e. νn(A) = card(A∩J1, nK);
Ila proportion δn(A)d’entiers de Aparmi ceux compris entre 1et ni.e. δn(A) = νn(A)
n.
La limite de la suite (δn(A)), si elle existe, est appelée densité de Adans N∗et est notée δ(A).
1. Déterminer, si elles existent les densités de
a. N∗;
b. d’un ensemble fini E;
c. de l’ensemble 2Ndes entiers pairs ;
d. de l’ensemble Cdes carrés d’entiers ;
e. de A=[
k∈N
K22k, 22k+1K;
f. de l’ensemble Ddes entiers dont l’écriture décimale ne comporte pas de 0.
2. Soient (an)n>1une suite strictement croissante d’entiers et A={an, n ∈N∗}.
a. Que vaut νan(A)?
b. Montrer que si Apossède une densité, alors δ(A)est la limite de la suite Ån
anã.
c. Montrer que aνn(A)6n<aνn(A)+1.
d. Montrer que si la suite Ån
anãpossède une limite l, alors δ(A) = l.
3. a. Soient p∈Net q∈N∗. Déterminer la densité de l’ensemble Ades entiers congrus à un entier p
modulo q.
b. Soit αun réel supérieur ou égal à 1. Déterminer la densité de A={bnαc|n∈N∗}.
Partie II –
1. Soient Aet Bdeux ensembles. Montrer que si trois des quatre ensembles A,B,A∪Bet A∩Bont une
densité, alors le quatrième également et qu’alors
δ(A) + δ(B) = δ(A∪B) + δ(A∩B)
2. Que dire dans le cas où Aet Bsont deux ensembles disjoints possédant une densité ?
3. Si Apossède une densité, montrer que A=N∗\Apossède également une densité. Que vaut celle-ci ?
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4. On dit qu’un ensemble est négligeable s’il possède une densité nulle. Que dire d’une partie d’un ensemble
négligeable ?
5. Soit Aun ensemble de densité δet Bun ensemble négligeable. Que dire de A∪B?
Partie III –
Soit Bun ensemble infini dont les éléments sont rangés en une suite strictement croissante (bn)n>1. On appelle
densité relative d’un ensemble Adans Bla limite, si elle existe, de la suite de terme général
δn(A|B) = card(A∩{bk, 1 6k6n})
n
On note alors cette densité relative δ(A|B).
1. On se propose tout d’abord d’établir le lemme suivant. Soit (un)une suite réelle et (pn)une suite d’entiers
divergeant vers +∞vérifiant pn6pn+16pn+1. Montrer que (un)est convergente si et seulement
si (upn)l’est et que dans ce cas, elles ont la même limite.
2. Soient Aet Bdeux ensembles tels que A∩Bet Bpossèdent une densité avec Bnon négligeable. Montrer
que pour tout nsuffisamment grand, δn(A|B) = δνn(B)(A|B)δn(B). En déduire que Apossède une densité
relative dans Bet que δ(A|B) = δ(A∩B)
δ(B).
3. On dit que deux ensembles Aet Bsont indépendants si A,Bet A∩Bpossèdent une densité et si
δ(A∩B) = δ(A)δ(B).
a. Montrer qu’un ensemble négligeable est indépendant de tout ensemble ayant une densité.
b. Soient Aet Bdeux ensembles possédant une densité non nulle. Montrer que Aet Bsont indépendants
si et seulement si Apossède une densité relative dans Bet δ(A|B) = δ(A).
4. Pour un entier p, on note Mpl’ensemble des entiers multiples de p. Étudier l’indépendance de Mpet Mq
pour des entiers pet q.
5. Soient Aet Bdeux ensembles infinis dont les éléments sont rangés en des suites strictement croissantes
(an)n>1et (bn)n>1. On note AB={abn, n ∈N∗}. Montrer que si Aet Bont des densité, alors ABégalement
et que, dans ce cas, δ(AB) = δ(A)δ(B).
Partie IV –
On note Pl’ensemble des nombres premiers et (pn)n>1la suite strictement croissante formée de ceux-ci. On
note Akl’ensemble des multiples de pkpour k>1.
1. Soit k>1. Justifier que
k
\
i=1
Aipossède une densité Pket que Pk=
k
Y
i=1
Å1−1
piã.
2. Montrer que lim
k→+∞
Pk=0.
3. En remarquant que
k
\
i=1
Aicontient tous les nombres premiers à partir de pk+1, justifier que lim sup
n→+∞
δn(P)6
Pk.
4. En déduire que Pest de densité nulle.
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