©Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
4. On dit qu’un ensemble est négligeable s’il possède une densité nulle. Que dire d’une partie d’un ensemble
négligeable ?
5. Soit Aun ensemble de densité δet Bun ensemble négligeable. Que dire de A∪B?
Partie III –
Soit Bun ensemble infini dont les éléments sont rangés en une suite strictement croissante (bn)n>1. On appelle
densité relative d’un ensemble Adans Bla limite, si elle existe, de la suite de terme général
δn(A|B) = card(A∩{bk, 1 6k6n})
n
On note alors cette densité relative δ(A|B).
1. On se propose tout d’abord d’établir le lemme suivant. Soit (un)une suite réelle et (pn)une suite d’entiers
divergeant vers +∞vérifiant pn6pn+16pn+1. Montrer que (un)est convergente si et seulement
si (upn)l’est et que dans ce cas, elles ont la même limite.
2. Soient Aet Bdeux ensembles tels que A∩Bet Bpossèdent une densité avec Bnon négligeable. Montrer
que pour tout nsuffisamment grand, δn(A|B) = δνn(B)(A|B)δn(B). En déduire que Apossède une densité
relative dans Bet que δ(A|B) = δ(A∩B)
δ(B).
3. On dit que deux ensembles Aet Bsont indépendants si A,Bet A∩Bpossèdent une densité et si
δ(A∩B) = δ(A)δ(B).
a. Montrer qu’un ensemble négligeable est indépendant de tout ensemble ayant une densité.
b. Soient Aet Bdeux ensembles possédant une densité non nulle. Montrer que Aet Bsont indépendants
si et seulement si Apossède une densité relative dans Bet δ(A|B) = δ(A).
4. Pour un entier p, on note Mpl’ensemble des entiers multiples de p. Étudier l’indépendance de Mpet Mq
pour des entiers pet q.
5. Soient Aet Bdeux ensembles infinis dont les éléments sont rangés en des suites strictement croissantes
(an)n>1et (bn)n>1. On note AB={abn, n ∈N∗}. Montrer que si Aet Bont des densité, alors ABégalement
et que, dans ce cas, δ(AB) = δ(A)δ(B).
Partie IV –
On note Pl’ensemble des nombres premiers et (pn)n>1la suite strictement croissante formée de ceux-ci. On
note Akl’ensemble des multiples de pkpour k>1.
1. Soit k>1. Justifier que
k
\
i=1
Aipossède une densité Pket que Pk=
k
Y
i=1
Å1−1
piã.
2. Montrer que lim
k→+∞
Pk=0.
3. En remarquant que
k
\
i=1
Aicontient tous les nombres premiers à partir de pk+1, justifier que lim sup
n→+∞
δn(P)6
Pk.
4. En déduire que Pest de densité nulle.
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