Exercices d'Algèbre 1 : Structures Mathématiques

Institut Galilée – Licence Informatique et Mathématiques
Algèbre 1 : Introduction aux structures mathématiques 2024-2025
Pour se connecter dans le salon discord
Tous les documents et les instructions du cours sont dans le salon discord Pam2-Algebre dont le lien est
https ://discord.gg/Hy5Ewk3uFj
Pour vous inscrire dans le salon et avoir accès au salon contenant les documents qui vous sont destinés,
il faut obtenir le rôle d’étudiant, c’est-à-dire vous inscrire en utilisant le nom et le prénom figurant sur votre
carte d’étudiant.
Pour cela, si vous avez déjà un compte personnel sur discord,
(i)Appuyez en haut a droite pour voir la liste des membres. (ii) Appuyez sur votre compte.
(iii) Changez votre profil sur le serveur. (iv) Rentrez votre nom et prenom.
Pour se connecter à la classe WIMS PAM2-ALGEBRE-2025
Attention : privilégier firefox plutôt que Safari (pour les Mac)
1. Aller sur le lien https ://sercalwims.ig-edu.univ-paris13.fr/wims/
Aller dans zone élève
Entrer le Mot clef : PAM2
Descendre un peu la page et cliquer sur s’inscrire Le mot de passe de la classe pour l’inscription
de l’élève est hypatia, cliquer sur Envoyer et procéder à l’inscription.
Pour que votre note WIMS puisse être prise en compte dans le contrôle continu vous devez choisir
comme
nom le nom inscrit sur votre carte d’étudiant
prénom : celui inscrit sur votre carte d’étudiant
identifiant : votre numéro d’ étudiant
Tous les comptes qui ne respectent pas ces consignes seront systématiquement supprimés.
2. le Mot de passe (personnel) est celui que vous utiliserez pour vous connecter à cette classe. Conservez-
le bien, car si vous le perdez, vous perdrez un demi point sur la note WIMS pour vous en faire attribuer
un nouveau.
3. l’adresse électronique vous permettra de recevoir des informations spécifiques à la classe WIMS, en
particulier, vous pourrez participer au forum.
4. Quand vous êtes inscrit, cliquer sur aller travailler
Ensuite, pour retrouver la classe, vous utiliser le même lien. Penser à le rafraichir en cas de problème.
Le but des feuilles WIMS est de vous inciter à travailler le cours avant vos TD. Une ou deux feuilles sont
ouvertes lundi soir et mardi après le cours et fermées le jeudi soir. Une fois fermée, il n’est plus possible
d’être noté, mais les feuilles sont disponibles à tout moment ultérieur pour vous permettre de réviser.
Les problèmes liés à WIMS ne sont traités que le lundi, mardi ou mercredi.

1
Institut Galilée – Licence Informatique et Mathématiques
Parcours aménagé 2 Algèbre 2025
Feuille d’exercices 1
Exercice 1.1. Parmi ces énoncés, lesquels sont des propositions logiques, pourquoi ?
1. Bonjour la terre.
2. La terre est grande.
3. La terre est plus grande que la lune.
4. la terre est plus petite que la lune.
5. La terre est bleue comme une orange.
6. Protégez la terre!
7. Le soleil tourne autour de la terre.
8. Les extraterrestres existent.
9. Les humains sont mortels.
10. Merci!
11. Le nombre 2est positif.
12. 3×3=8.
13. Soit un triangle isocèle.
14. Posons 90◦=
π
2.
15. 90◦=
π
2.
16. Calculez la dérivée de sin(x2+x+1).
17. √11 est un nombre entier.
18. √nest un nombre entier.
19. Certains nombres entiers sont premiers.
20. Tous les nombres décimaux sont rationnels.
21. Soit ∆=b2−4ac.
22. b2−4ac <a.
23. On note 2Nl’ensemble des entiers naturels
pairs.
24. 10100 est un grand nombre.
25. 10100 est plus petit que 3.
26. 10100 est plus grand que 3.
27. Dessine-moi un mouton.
Exercice 1.2. Jouer avec les quantificateurs du français
Dans la logique d’Aristote (384-322 AEC) il n’y a que 4 types de propositions logiques :
A : tout S est P : Tout Athénien est mortel
I : il y a au moins un S qui est un P : Quelques Athéniens sont mortels
E : Tout S est non P : Tout Athénien est immortel
O : il y a au moins un S qui est non P : Quelques Athéniens sont immortels
1. Attribuer le bon type à chacun de ces énoncés, en expliquant si c’est naturel ou par défaut (parce que
la classification n’est pas assez fine)
(a) Tous les Athéniens sont mortels.
(b) Tous les Athéniens ne sont pas mortels.
(c) Tous les Athéniens sont immortels.
(d) Pas un Athénien n’est immortel.
(e) Aucun Athénien n’est mortel.
(f) Il y a des Athénien qui sont immortels.
(g) Il y a des Athéniens qui sont mortels.
(h) Au moins un Athénien est mortel.
(i) Certains Athéniens sont mortels.
(j) La plupart des Athéniens sont immortels.
(k) Peu d’Athéniens sont immortels.
(l) Plusieurs Athéniens ne sont pas immortels.
2. Reprendre les questions précédentes de l’exercice avec P="être pair" et S= "entier naturel". Dire
quelles sont les propositions vraies.

2
Exercice 1.3. Négation d’une proposition
Donner pour chacune des propositions logiques suivantes sa négation (selon la logique du tiers exclu).
(a) Tous les chats sont blancs.
(b) Tous les carrés sont des losanges.
(c) Tout nombre entier est pair.
(d) Il y a des nombres réels qui sont négatifs.
(e) Quelques étudiants n’ont pas assisté au cours.
Exercice 1.4. Apprendre à respecter une définition
Nombres pairement pairs
1. Nicomaque de Gérase ∼( 60, 120) a défini parmi les nombres entiers naturels non nuls le concept de
nombre pairement pair comme celui des nombres pairs dont les moitiés sont soit l’unité soit aussi
un nombre pairement pair.
(a) Parmi les nombres suivant, lesquels sont pairement pairs?
a. 2b. 3c. 4d. 6e. 8f. 100 h. 1024 i. π
2. Peut-on parler de l’ensemble des nombres pairement pairs?
si oui, peut-on exprimer en extension cet ensemble?
3. Parmi les définitions suivantes, laquelle correpond à une définition en intension de l’ensemble des
nombres pairement pairs?
(a) L’ensemble des entiers naturels strictement positifs multiples de 2.
(b) L’ensemble des entiers naturels puissances de 2 autres que 1 ∗.
(c) L’ensemble des entiers naturels strictement positifs multiples de 4.
(d) L’ensemble des entiers naturels puissances de 4 autre que 1.
4. Euclide d’Alexandrie ∼( -325, -265) a défini les nombres pairement pairs comme étant les nombres
pairs que l’on peut obtenir comme produit de deux nombres pairs. Appelons E u l’ensemble de ces
nombres.
Est-ce que ces deux définitions définissent le même concept (le même ensemble).
Exercice 1.5. Soit les ensembles suivants : A={a,b,c,i}B={a,b}C={c,i}D={b,c}E=
{a,b,{c}} F=∅G={{a,b},{c,i},i}H={{a,b},a,b}
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses?
1. c∈A
2. c∈B
3. c∈E
4. c∈F
5. c∈G
6. i∈A
7. i∈G
8. c⊆A
9. {c} ∈ A
10. {c} ∈ B
11. {c} ∈ E
12. {c} ∈ G
13. {i} ⊆ A
14. {c} ⊆ B
15. {c} ⊆ E
16. {c} ⊆ G
17. {{c}} ⊆ E
18. B⊆A
19. D⊆A
20. G⊆A
21. A⊆C
22. D⊆E
23. F⊆A
24. E⊆F
25. B∈G
26. B⊆G
27. {B} ⊆ G
28. D⊆G
29. {D} ⊆ G
30. B∈H
31. B⊆H
32. G⊆A
∗. Jusqu’à la Renaissance, 0 et 1 n’était pas considéré comme des nombres. 0 n’existait même pas!

3
Exercice 1.6. Soit E un ensemble quelconque.
1. Répondez aux questions suivantes puis écrire l’assertion vraie associée en langage mathématique.
(a) E est-il un élément de {E}?
(b) {E}est-il élément de {E}?
(c) {E}est-il un sous-ensemble de {E}?
2. Quel est l’ensemble ayant pour seul élément {E}?
Exercice 1.7. Soit E un ensemble quelconque, et les ensembles suivants :
S1={{∅},{E},E}S2=E S3={E}S4={{E}} S5={E,{E}}
S6=∅S7={∅} S8={{∅}} S9={∅,{∅}}
Parmi ces ensembles, lesquels sont
1. éléments de (i) S1? (ii) S9? (iii) S4?
2. des sous-ensembles/parties de (i) S1? (ii) S9? (iii) S4?
Exercice 1.8. Donner en extension les ensembles suivants :
1. P(∅)
2. (i) P({I}) (ii) P({a}) (iii) P({∅})
Une remarque?
3. (i) P({I,◦}) (ii) P({◦,I}) (iii) P({a,b}) (iv) P({∅,{∅}})
Une remarque?
4. Après avoir observer attentivement les résultats obtenus en 1. et 2.
(a) Comment exprimer en extension P({I,◦,}) rapidement est sans oublier d’éléments.
5. Ecrire une procédure en français expliquant comment ’exprimer en extension P(E), sachant que
l’ensemble E a été obtenu en ajoutant un élément à l’ensemble F dont on possède une experssion en
extension de P(E).
L’expérimenter sur P({I,Π,◦,}).
Exercice 1.9. Écrivez en extension les ensembles suivants.
1. L’ensemble Γdes entiers naturels supérieurs à 3 et plus petits ou égaux à √99.
2. L’ensemble des entiers plus petits que 100 qui sont divisibles par 5 mais pas par 3.
3. L’ensemble de toutes les expressions fractionnaires de 3
5dont le numérateur est plus petit que 20.
4. Le sous-ensemble Λdes lettres de notre alphabet ayant dans l’écriture majuscule d’imprimerie
ci-dessous au moins un axe de symétrie.
Exercice 1.10. Ecrire en compréhension les sous-ensembles de Nsuivants :
1. Le sous ensemble Pdes nombres premiers plus petits que 30.
2. Σ={1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19}.