MATHS

CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 1
3Mstand/renf – JtJ 2019
Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x)
Prérequis: Exponentielle et logarithme (2ème année), Études de fonctions Requis pour: Examen de maturité
8.1 Quelques rappels
Fonction exponentielle naturelle Fonction logarithme naturelle
① Définition: ① Définition:
② E
D =
② E
D =
③ Graphique ③ Graphique ④ Zéro de la fonction: ④ Zéro de la fonction:
⑤ Tableau de signes ⑤ Tableau de signes ⑥ Asymptote: ⑥ Asymptote:
Les fonctions exponentielles naturelles et logarithmes naturelles: Ce qu’il faut en savoir :
I
RI
R
* +
xe
x
Rappel: la base de l’exponentielle est le nombre e = 2,71828..
xln(x)
e
x
ln(x)
e
x
y
1
1
x
y
1
e
1
La fonction ln(x) a été définie comme la fonction réciproque de e
x
a 3 0
1

2 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2019
Introduction
La croissance de la population, l'augmentation du capital, l'inflation
sont des exemples d'utilisation des fonctions exponentielles.
En 2ème année, nous avons eu l'occasion de travailler avec des formules
contenant une expression exponentielle. Dans ce chapitre, nous
aborderons cette même notion sous une forme fonctionnelle. Nous
terminerons par des études de fonctions exponentielles.
Les règles de calculs de ex et ln(x) à connaître
e0 = 1
ln(1) = 0
e1 = e
ln(e) = 1
La plupart de ces règles
se trouvent dans votre formulaire
eln(x) = ln(ex) = x
si x et y ∈ …… si x et y ∈ ……
ex · ey = ex + y
ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
ex
ey=ex−y
ln x
y
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =ln(x)−ln(y)
ex
()
y=ex⋅y
ln(xn) = n · ln(x)
Exemples:
Résoudre les équations suivantes
a) ln(x – 2) = 4 b) e x + 4 = 5
c) ln(x + 3) = ln(2x + 7) d)
ln x+3
2−x
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0

CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 3
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Exercice 8.1 :
Préciser ED puis résoudre les équations suivantes:
a) ln(x) = 1 b) ln(x) = 0
c) ln(x – 4) = 4 d) ln(x2) = 0
e) ln(2x) – ln(5x – 8) = 0 f)
ln 2x
5x−8
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
= 0
g) e
x + 3 = 5 h) e2x – 1 = -8
i) e
x/10 = 7 j) e x2 = 4
Exemple:
Déterminer ED, les zéros et le tableau de signes de la fonction f
définie par:
f (x) =
ln(3 −x)
x
Exercice 8.2 :
Déterminer l’ED, les zéros et le signe de f définie par:
a)
f(x)=ln(2 −4x)
b)
f(x)=1
ln(x)
c)
f(x)=ln 2+x
1−x
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
d)
f(x)=ln(x)+3
ln(x)−2
e)
f(x)=x
2
−1
e
x
f)
f(x)=ex
2
+x
g)
f(x)=(x+3)e
1/x
h)
f(x)=e
1
x+3
8.2 Calculs de la dérivée de f (x) = ex et f (x) = ln(x)
Démarche:
Formellement, nous devrions déterminer la dérivée
′
f
de ces
fonctions exponentielle et logarithme en utilisant la formule:
′
f (a)=lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
En fait, nous nous contenterons d'estimer la valeur de la pente
de la tangente à f (x) = ex et à g(x) = ln(x) en certains points puis
nous tenterons d'en déduire la fonction dérivée
′
f
et
′
g
.

4 CHAPITRE 8
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Exercice 8.3 :
À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de
f (x) = ex et la pente de la tangente en ces points.
En déduire une proposition pour la dérivée de f.
-2
2 4 6 8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
1 2 3 4
x
y
Proposition de dérivée : si f(x) = e
x
alors f ’(x) = …………
4 3 2 1 0
p
ente de la
tan
g
ente
e
x
x
y = ex

CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 5
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Exercice 8.4 :
À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de
f (x) = ln(x) et la pente de la tangente en ces points.
En déduire une proposition pour la dérivée de f.
x
y
-3 -2 -1
1 2 3
3 2 1 6 5 4
0,5
0
p
ente de la
tan
g
ente
ln(x)x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
y = ln(x)
Proposition de dérivée : si f(x) = ln(x) alors f ’(x) = …………